線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(第1、2章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)（第1、2章）（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積5

2、、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘 6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則7、n階（n2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開9、按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值1、2、n，則

3、 （7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則 11、克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。（六）矩陣的運(yùn)算12、矩陣乘法注意事項：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。13、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=

4、kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A（七）矩陣的逆14、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|015、逆的性質(zhì)：（5條）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A16、逆的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）初等行變換（E|A-1）（八）矩陣的初等變換17、初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非

5、零常數(shù)c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）18、初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。19、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)）（九）矩陣的秩20、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（An×n）=n（滿秩） |A|0 A可逆；r（A）n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r階子式非零且所有

6、r+1子式均為0。21、秩的性質(zhì)：（7條）（1）A為m×n階矩陣，則r（A）min（m,n）（2）r（A±B）r（A）±（B）（3）r（AB）minr（A），r（B）（4）r（kA）=r（A）（k0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）n22、秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A初等行變換階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（十）伴隨矩陣23、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2·A（8）r