第3講第章直梁的彎曲

1、第第7 7章章 直梁的彎曲直梁的彎曲 主要內(nèi)容主要內(nèi)容: :1.1.直梁平面彎曲的概念直梁平面彎曲的概念 2.2.梁的類型及計(jì)算簡圖梁的類型及計(jì)算簡圖 3.3.梁彎曲時(shí)的內(nèi)力（剪力和彎矩）梁彎曲時(shí)的內(nèi)力（剪力和彎矩） 4.4.梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 5.5.梁彎曲時(shí)的變形和剛度條件梁彎曲時(shí)的變形和剛度條件 梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 1.1.梁純彎曲的概念梁純彎曲的概念 在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、反在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、反向的一對力偶。在梁的橫截面上只有彎矩向的一對力偶。在梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力，且彎矩為一常數(shù)，這種彎曲而沒有剪力，且

2、彎矩為一常數(shù)，這種彎曲為純彎曲為純彎曲 。平面彎曲平面彎曲剪力彎曲剪力彎曲純彎曲純彎曲剪力FQ0彎矩M 0剪力FQ=0彎矩M 0平面假設(shè)：平面假設(shè)：梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。2.2.梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 1 1）變形特點(diǎn)）變形特點(diǎn) : :橫向線橫向線仍為直線，只是仍為直線，只是相對變形前轉(zhuǎn)過了一個(gè)相對變形前轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度，但仍與縱向線正角度，但仍與縱向線正交。交?？v向線縱向線彎曲成弧線，彎曲成弧線，且靠近凹邊的線縮短了，且

3、靠近凹邊的線縮短了，靠近凸邊的線伸長了，靠近凸邊的線伸長了，而位于中間的一條縱向而位于中間的一條縱向線既不縮短，也不伸長。線既不縮短，也不伸長。 如果設(shè)想梁是由無數(shù)層縱向纖維組成的，由于橫截面保如果設(shè)想梁是由無數(shù)層縱向纖維組成的，由于橫截面保持平面，說明縱向纖維從縮短到伸長是逐漸連續(xù)變化的，持平面，說明縱向纖維從縮短到伸長是逐漸連續(xù)變化的，其中必定有一個(gè)既不縮短也不伸長的其中必定有一個(gè)既不縮短也不伸長的中性層中性層（不受壓又（不受壓又不受拉）。不受拉）。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中中性層與橫截面的交線，稱為性層與橫截面的交線，稱為中性軸中性軸，如圖

4、所示。變形時(shí)，如圖所示。變形時(shí)橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。 2 2）梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律）梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律 由平面假設(shè)可知，純彎由平面假設(shè)可知，純彎曲時(shí)梁橫截面上只有正曲時(shí)梁橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。由于應(yīng)力而無切應(yīng)力。由于梁橫截面保持平面，所梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹的。以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，邊是壓應(yīng)力，使梁縮

5、短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長，橫截面上同一高度長，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。分布如圖所示。分布如圖所示。 3 3）梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式）梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式 在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為點(diǎn)的正應(yīng)力為 ：ZMyIM PamaxmaxZMyImaxZMW即：即：最大正應(yīng)力為最大正應(yīng)力為(MPa)(MPa)：M M和和y y均以絕對值代入，至于均以絕對值代入，至于

6、彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。受壓側(cè)的為負(fù)。 M-M-截面上的彎矩截面上的彎矩(N.mm) (N.mm) Y-Y-計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離(mm) (mm) Iz-Iz-橫截面對中性軸慣性矩橫截面對中性軸慣性矩Wz-Wz-抗彎截面模量抗彎截面模量 3mm4mm梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，即

7、力不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，即 maxzMWMM危險(xiǎn)截面處的彎矩（危險(xiǎn)截面處的彎矩（N.mmN.mm）WzWz危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（mm mm ） 材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 (Mpa)(Mpa) 3提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 合理安排梁的支承合理安排梁的支承 1.1.降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施 合理布置載荷合理布置載荷 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 合理布置載荷合理布置載荷 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 2.2.合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得合理選擇梁的截面，用

8、最小的截面面積得到大的抗彎截面模量。到大的抗彎截面模量。 形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量不相同量不相同 。面積相等時(shí)，工字鋼和槽鋼的抗彎截面模量最大，面積相等時(shí)，工字鋼和槽鋼的抗彎截面模量最大，空心圓截面次之，實(shí)心圓截面的抗彎截面模量最小，空心圓截面次之，實(shí)心圓截面的抗彎截面模量最小，承載能力最差承載能力最差。 2.2.合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得到大的抗彎截面模量。到大的抗彎截面模量。 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的

9、主要措施 截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng)。截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng)。 對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料塑性材料，宜采用中性軸對，宜采用中性軸對稱的截面，如圓形、矩形、工字形等。對抗拉強(qiáng)度小稱的截面，如圓形、矩形、工字形等。對抗拉強(qiáng)度小于抗壓強(qiáng)度的于抗壓強(qiáng)度的脆性材料脆性材料，宜采用中性軸偏向受拉一側(cè)，宜采用中性軸偏向受拉一側(cè)的截面形狀。的截面形狀。 max1max2llyyyyY Y1 1和和Y Y2 2之比接近于下列關(guān)系之比接近于下列關(guān)系, ,最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。 3.3.采用等強(qiáng)度梁采用等強(qiáng)度梁等截面梁在

10、彎曲時(shí)各截面的彎矩是不相等的，如果以最大彎矩來確定截面尺寸，則除彎矩最大的截面外，其余截面的應(yīng)力均低于彎矩最大的截面，這時(shí)材料就沒有得到充分利用，為了減輕自重，并充分發(fā)揮單位材料的抗彎能力，可使梁截面沿使梁截面沿軸線變化，以達(dá)到各截面上的最大正應(yīng)力都近似軸線變化，以達(dá)到各截面上的最大正應(yīng)力都近似相等相等，這種梁稱為等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁。但等強(qiáng)度梁形狀復(fù)雜，不便于制造，所以工程實(shí)際中往往制成與等強(qiáng)度梁相近的變截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐漸減小的形狀，較好地體現(xiàn)了等強(qiáng)度梁的概念。而機(jī)械中的多數(shù)圓軸則制成了變截面的階梯軸。 彎矩圖的規(guī)律彎矩圖的規(guī)律 1.梁受梁受集中力或集中力偶集中力或集中力偶作用時(shí)，彎矩圖作用時(shí)，彎矩圖為為直線直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變突變，突，突變量為集中力偶的大小。變量為集中力偶的大小。 2.2.梁受到梁受到均布載荷均