數(shù)學(xué)建模_炮彈射擊問(wèn)題

1、問(wèn)題2:射擊問(wèn)題作者：摘要本文就兩種不同的情況，建立了兩個(gè)炮彈的模型，利用了矢量分析和畫圖的方法求解得出了一致結(jié)果即最大射程和最佳發(fā)射角。在模型一、二中，我們建立了炮彈發(fā)射的理想化的模型，用matlab軟件，分析得到：h0時(shí)，最大射程為Xm2v02cosa*sina最佳發(fā)射角為45；h0時(shí)，最大射程為maxs仁如2gh*；Lh”h,222最佳發(fā)射角度為aarccos02gl2v0§問(wèn)題重述設(shè)炮彈的發(fā)射角為a,發(fā)射初速度為v0,試研究：當(dāng)炮彈在高度為h時(shí)的最大射程和最佳發(fā)射角考慮到炮彈發(fā)射時(shí)應(yīng)滿足以下條件:1、發(fā)射角度最佳;2、射程最大；3、離地高度一定;由此我們?nèi)菀紫氲接脙?yōu)化理論解決

2、問(wèn)題。§題目假設(shè)1、本題以中國(guó)解放軍裝備的93式60毫米遠(yuǎn)射程迫擊炮為研究對(duì)象。據(jù)查相關(guān)資料中國(guó)解放軍93式60毫米遠(yuǎn)射程迫擊炮最大初速：329米/秒；最大射程：5564米；高低射界：45度-85度；圓周射界：360度。2 、炮彈發(fā)射時(shí)，是以炮彈在不同高度的最大射程和最佳發(fā)射角進(jìn)行發(fā)射；3 、在考慮不同高度發(fā)射時(shí)，發(fā)射角、發(fā)射程與初速度之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)的；4 、假設(shè)炮彈發(fā)射時(shí)空氣阻力與推力相互抵消。§變量說(shuō)明§模型建立與求解模型一：研究h0根據(jù)炮彈斜拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：炮彈斜上拋的仰角為a,拋出的初速度為v0o我們先將V0正交分解為水平分速度VX和豎直分速度Vy。根據(jù)數(shù)學(xué)

3、關(guān)系可以得出：若把它看作是可忽略空氣影響-J的“理想拋體”，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)分解國(guó)2了的理論可知:斜上拋物體水平方向不受力，應(yīng)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度為VxV0cosa?其位移方程應(yīng)為：xv0cosa*t斜上拋物體豎直方向受向下的重力，與豎直向上的初速度VyV0sina的方向相反，應(yīng)作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，其位移方程應(yīng)為：yv0sina*t1.22gt(2)由上列的(1)式可以導(dǎo)出:v0cosa將(3)式代入(2)式:導(dǎo)出:(4)ytana*x2gxc222v0cosa這里稱導(dǎo)出的(4)式為“斜上拋物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程”(4)式(即“軌道方(即“射程”):(5)(6)“射程”是斜上拋物體運(yùn)動(dòng)的最大水平位移。因?yàn)?/p>

4、斜上拋炮彈是在水平面上發(fā)射的，所以它的拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上(這實(shí)際上是日常最常見(jiàn)的斜上拋情況)，也就是說(shuō)物體在豎直方向的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位移y0。因此我們將y0代入前面導(dǎo)出的程”)，就可推導(dǎo)出最大水平位移XmgXmsina*Xm222v0cosacosaxm將(5)式兩邊約去可得：cosa2v02cosa*sinaXmg根據(jù)數(shù)學(xué)中的“三角學(xué)網(wǎng)”知識(shí)我們知道：sin2a2sina*cosa(7)將(7)式代入(6)式：v02sin2a(8)Xm若以s表示“射程”(即最大水平位移xm)2v0sin2as則g(9)我們稱(9)式為斜上拋物體運(yùn)動(dòng)的“射程公式”?，F(xiàn)在我們根據(jù)“射程公式”討論前面所提

5、出的問(wèn)題：當(dāng)vo不變時(shí)，以多大的仰角a斜上拋出的物體射程最遠(yuǎn)？據(jù)射程公式：可以看出g是常量，若v0不變，則決定s大小的因素就只有sin2a的數(shù)值了。用matlab軟件繪圖4,觀察其解：程序如下：a=0:pis=329A2*sin(2*a)/plot(a,s)Gridon則s最大時(shí):即：a45當(dāng)拋物的初速度V。不變時(shí)，以45的仰角斜上拋出的物體射程最遠(yuǎn)。模型二：h0我們先將初速度M進(jìn)行水平、豎直兩個(gè)方向的正交分解（如圖所示）a為V。與vx之間的夾角：再接斜下拋物體的運(yùn)動(dòng)分解為：水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)；豎直方向的豎直下拋運(yùn)動(dòng)。它們的運(yùn)動(dòng)方程如下：xVocosa*t；（1）1.2yV。sina*t-

6、gt.將已知量h代入豎直方向運(yùn)動(dòng)方程（2）中:.-1,2hVoSina*t2或；又因?yàn)橛赡Ｐ鸵恢?Xmv02sin2a；(4)由（1）知tv0cosa(5)Sis2XmX；(6)ti2v0sinag；t2v02sin2a2ghv0sina,v02sin2a2ghv0sinatit2-rrv0cosa*即水平射程是：v0cosa*s22sina2ghv0sina)令bcosa；2.4v°b424_2242所以sbb2ghv0bv0b對(duì)其求導(dǎo)，關(guān)于b的方程:令s02.V0gh2V02cos即2.V0gh2V02arccos2.V0gh2V02又由函數(shù)的單調(diào)性可知:arccos2.V0g

7、h2V02,函數(shù)單調(diào)遞增;,函數(shù)單調(diào)遞減;“arccosa2.V0gh2V02a即在aarccos2.V0gh2V02時(shí),s最大。§結(jié)果分析當(dāng)高度為h=0時(shí),2v02cosa*sinaXmg水平方向?yàn)閄距離靠角度來(lái)控制,要使X盡可能的遠(yuǎn),則要保證拋射角為45當(dāng)高度為h>0時(shí)：v0cosa*('v02sin2a2ghv0sina)sg可以通過(guò)此公式來(lái)計(jì)算水平位移saarccos3V2gh其中22vo2§小結(jié)要控制炮彈的射程，在高度和速度一定時(shí)，可以通過(guò)控制角度來(lái)控制射程只要不超過(guò)最大射程，也就是說(shuō)在炮彈任意射程以內(nèi)都可以打到。§參考文獻(xiàn)1中國(guó)鐵血網(wǎng)（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物