數(shù)學(xué)解題的靈魂變奏曲—轉(zhuǎn)化思想

1、數(shù)學(xué)解題的靈魂變奏曲”-轉(zhuǎn)化思想把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的重要的方法，著名數(shù)學(xué)家、教育家G微利亞在怎樣解題一書(shū)中說(shuō)道：不斷地變換你的問(wèn)題，我們必須一再地變換它，重新敘述它、變換它，直到最后成功地找到有用的東西為止我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把復(fù)雜、生疏、抽象、困難、未知的問(wèn)題變成簡(jiǎn)單、熟悉、具體、容易、已知的問(wèn)題來(lái)解決.這是一種思想方法，也是一種策略。它把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到化生為熟，化繁為簡(jiǎn)的目的，不僅可以節(jié)省時(shí)間和精力，巧妙簡(jiǎn)捷地解題，還可以提高我們的思維水平，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。下面例析問(wèn)題轉(zhuǎn)換幾種基本途徑及方法.一、等與不等的轉(zhuǎn)化等與不等的轉(zhuǎn)化主要體

2、現(xiàn)為化不等為相等及化等為不等。在等與不等的矛盾轉(zhuǎn)化中，基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)等常發(fā)揮著重要作用，它們是聯(lián)系著等與不等的紐帶，是等與不等矛盾差異間的內(nèi)在聯(lián)系。等與不等是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的關(guān)系，把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相等問(wèn)題，可以減少運(yùn)算量，提高正確率；把相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等問(wèn)題，能突破難點(diǎn)找到解題的突破口。例i:若正數(shù)口/滿足他=a+b+3，則ab的取值范圍是【解法一】為正數(shù)，:a+b之2而必=q+b+3,:而2冊(cè)+3,:-2一330,1(舍去)或石分之3,【解法二】由ab=a+b+3,得3=匕些次一14=ab=a-1+a-+5=91a-1當(dāng)且僅當(dāng)】一1二:，即a=3時(shí)取等號(hào)a-l則腦的范圍為9,例【點(diǎn)評(píng)

3、】：將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式，是求變量取值范圍的一個(gè)重要方法。鞏固練習(xí)題：已知x,y同為非負(fù)數(shù)，且滿足四廿+1)+電口+4)=電8砂，求x,y的值。1I、3*例2：已知a,b,c均為正整數(shù)，且a2+b2+c2+484a+6b+12c,求一十一十一的值.abc；【解答】因?yàn)樵坏仁絻蛇吘鶠檎麛?shù)，所以不等式a2+b2+c2+484a+6b+12c與不等式a2+b2+c2+48+1wa+6b+12c等價(jià)，這個(gè)等價(jià)不等式又可化為11混于是可得上+1+1abc)0=2(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2勺，故，占=3c=6【點(diǎn)評(píng)】將等式與不等式對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化，是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的、有效的

4、手段|二、正與反的轉(zhuǎn)化解決某些問(wèn)題時(shí)，若按習(xí)慣從芷面進(jìn)攻”難已解決或運(yùn)算繁雜。此時(shí)可從相反的方向去探求，有可能會(huì)轉(zhuǎn)化為我們較熟悉或簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2、正與反的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些從芷面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問(wèn)題，可先攻其反面，從而使正面問(wèn)題得以解決。當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從正面處理較難時(shí)，不妨從反面思考，如逆推法、分析法、反證法、補(bǔ)集法等都是重要的反面思維方法.例3已知拋物線y=x2+4ax4a+3,y=x2+(a1)x+a2,y=x2+2ax2a中至少有一條與x軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：此題先從正面入手，要對(duì)各種可能f逐一分析相當(dāng)繁瑣.若逆向思維求其反面：求三條拋物線都不與x軸相交時(shí)a的取值范圍

5、.再求其補(bǔ)集，則簡(jiǎn)潔得多.解：先求結(jié)論的反面，都無(wú)交點(diǎn)，即人y一4(3一甸0&0故所求a的取值范圍是例4：在由數(shù)字0,1,個(gè)。=(a-1/一0,解得a0,.1.(2m+1)(6m2-2m+1)。恒成立等價(jià)于40)0fza+l0,D1即S4一.I的取值范圍為g(2)0xa+2x+l0【點(diǎn)評(píng)】：此方法在解決原函數(shù)與反函數(shù)的問(wèn)題時(shí)也很實(shí)用。鞏固練習(xí)題：設(shè)不等式2x1掰a？1)對(duì)滿足|川|工2的一切實(shí)數(shù)m均成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。主元向輔元的轉(zhuǎn)化主元與輔元是人為的相對(duì)的，可以相互切換，當(dāng)確定了某一元素為主元時(shí)，則其他元素是輔元。例9：已知關(guān)于X的方程：x3-ar2-2ax+a2-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)

6、根，求實(shí)數(shù)(L的取值范圍。分析：顯然，題目中的X是主元，G為輔元，但方程中I的最高次數(shù)為3,求根比較困難，注意到a的最高次數(shù)為2,故可視a為主元，原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次方程。解：原方程可代為J+2x)a+9-1=0,解得q=I-1或”-+1+1即工=4+1底/+工+1-g=0，原方程有唯一實(shí)根，/+x+l-u=0無(wú)實(shí)根，Ay0,即:五原命題與逆否命題的轉(zhuǎn)化由于原命題與逆否命題等價(jià)，因此我們?cè)谂袛嘣}的真假有困難時(shí)，可以通過(guò)判斷逆否命題達(dá)到目的。例10:已知函數(shù)/（K）是R上的增函數(shù)，a,bR,若則a+b0,試判斷該命題的真假?！痉治觥浚褐苯优袛嘣}的真假難以入手，若改為判斷逆否命題，就比

7、較方便。解：原命題的逆否命題是：已知函數(shù)J是R上的增函數(shù)，若a+b0,則/。）+/）1（一力+，（一方）判斷：函數(shù)是,是R上的增函數(shù)，且a,bR,a+b0,即a-b淚-,陽(yáng)+:0）.該命題是真命題，原命題也是真命題。鞏固練習(xí)題：“萃?！笔恰皊in律x”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件六、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化通過(guò)挖掘已知條件的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性解決問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。a.bBbBeBcbaCdDaDbD-ba+M+Q/+/（1-療+（1-之2應(yīng)&廠、”工I分析：不等式右端為2也，可看為單位正方形的兩條對(duì)角線之和，從題目的整體結(jié)構(gòu)j容

8、易聯(lián)想到勾股定理。一證明：作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,作兩組平行線把正方形分成四個(gè)矩形，那么不等1山式左端二（PA+PC）+（PB+PD）之AC+BD=272，當(dāng)且僅當(dāng)P在正方形中心處，即2七、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。例14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知AA8C的頂點(diǎn)幺（-4。）和C（4,Q）,頂點(diǎn)B在橢圓L+r=i,則吧上妊259sinB解析：這里頂點(diǎn)3是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以sin乂、sin5、胃口。不易確定。但根據(jù)般成立特殊一定成立”可將這個(gè)一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化化行為j

9、點(diǎn)在特殊句置（橢圓短軸端點(diǎn)）來(lái)處理較易。當(dāng)然：注意到a、c是兩焦點(diǎn)，利用正弦定理，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果答案：頂點(diǎn)s取橢圓短軸端點(diǎn)，即與，則皿32525.血350孫鄧=竺，.蚪巫=2225525sin54點(diǎn)評(píng)：象這種特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應(yīng)用。一般與特殊，辯證轉(zhuǎn)化辯證思維告訴我們，事物發(fā)展總存在一般性和特殊性，且可以互相轉(zhuǎn)化.一般性寓于特殊性之中，有些一般性問(wèn)題很難找到解題方法，不妨將其向特殊方向轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化在選擇題及填空題中比較常見(jiàn).例15（1）在&中，已知tan:二一一一1A-B.人人“二smC,給出以下四個(gè)論斷:2一一，一:二1E,-匚sin?二1c

10、oJA+m$2B=sin3C其中正確的是（A）（B）（C）（D）的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,d=rn（OA+dS+OC）,則實(shí)數(shù)m=.分析：本題的兩個(gè)小題直接從條件出發(fā)推理，顯然是小題大做，在考場(chǎng)上就會(huì)浪費(fèi)寶貴的時(shí)間.對(duì)于客觀題完全可用特殊化法加以解決，即選擇特殊的直角三角形即可.解：取符合題意的直角三角形，令A(yù)=30；B=60；C=90：則tan30?cot60用；sinA+sinB=Mosin230：cos260之,co,30+cos260二sin290故選（B）.取等腰直角三角形ABC,則外接圓的圓心為斜邊上中點(diǎn)O,兩直角邊上的高為直角頂點(diǎn)h（c）,即有0A+OB+OC=

11、0R,即OW=mOH，故m=i.應(yīng)填1.已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=2an+1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Snl【分析】這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但又看到其中既含等差數(shù)列又含等比數(shù)列：比如把遞推式中的常數(shù)1去掉，則變成等比數(shù)列，把系數(shù)2換成1則變成等差數(shù)列為此，破題工作在化歸上尋找入口：向等比（等差）數(shù)列轉(zhuǎn)換|【解答】在遞推式an+1=2an+1兩邊加1）化為（an+1+1）=2（an+1）,數(shù)列an+1為等比數(shù)列,公比q=2.所以an+1=2n-1（a1+1）,即an=2n-1,且Sn=2n-n-Lan+i=kan+b（kwQ1,bwQ）有人稱其為等差比數(shù)列”等k=1,或

12、b=0時(shí)的特殊情況.用換元法化歸為等比數(shù)列【插語(yǔ)】本數(shù)列的一般形式為：差、等比數(shù)列都是它的特例，分別是的常數(shù)匹配”可用待定系數(shù)法求得:設(shè)an+i+c=k（an+c）=kan+kc=an+i=kan+kc-c二kc-c=b,c=,i-1對(duì)于上題，b=1,k=2,因此解得c-|.【點(diǎn)評(píng)】化歸開(kāi)門(mén)體現(xiàn)在本題中：把我們不熟悉的等差比數(shù)列”化歸到我們熟悉的等比數(shù)列來(lái)解化歸米用的辦法是換兀,實(shí)際上是an+i+c=bn+1=kbn|說(shuō)來(lái)也很滑稽，對(duì)中學(xué)生來(lái)講，不向等比（等差）”化歸，還有什么別的出路呢？點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是每年高考的必考內(nèi)容。已知數(shù)列的遞推公式或已知數(shù)列前n項(xiàng)和S與意的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)也是?？純?nèi)容。若

13、已知數(shù)列的遞推公式為4二乂4.1+3（4S/QAhI）的形式，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)常通過(guò)變形使之轉(zhuǎn)化為形式的等比數(shù)列來(lái)解決；若已知數(shù)列前n項(xiàng)和區(qū)與4的關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)，則常用XS.產(chǎn)心將工與質(zhì)的關(guān)系式化歸轉(zhuǎn)化為外同it|T也T/A超代與4（或年與-1）間的遞推關(guān)系再進(jìn)一步求解。抽象向具體轉(zhuǎn)化有些題目看起來(lái)較為抽象，貌似不易解決，但結(jié)合具體數(shù)學(xué)情境，聯(lián)系相知，建立模型，以啟迪解題思路，尋找解決問(wèn)題的突破口。例16：已知為常數(shù)，且#+加之T，問(wèn)/w是不是周期函數(shù),若是1一了求出周期，若不是說(shuō)明理由。分析：由9聯(lián)想到tan（x+-）=1+.x,找到一個(gè)具體函數(shù),1-/W41-tanx=刖破。=,而函數(shù)了二

14、tank的周期T二矛二44猜想了是一個(gè)周期為L(zhǎng)：的函數(shù)。1+上+。）這樣方向明，思路清。證明：二.I1/+旬=/也+助+為=-二/二/的周期7=4./(x+2a)個(gè)別向一般的轉(zhuǎn)化華羅庚說(shuō)過(guò)：善于退，足夠地退，退到起始，而不失去重要地步，是學(xué)好數(shù)學(xué)的決竅。對(duì)于表面上難于解決的問(wèn)題，需要我們退步考慮，研究特殊現(xiàn)象，再運(yùn)用分析歸納、遷移、演繹等手法去概括一般規(guī)律，使問(wèn)題獲解。例17：已知數(shù)列3g/）是首項(xiàng)為小,公比為q的等比數(shù)列。1） 求和：。制+的點(diǎn)即弓_”；2） 由（1）的結(jié)果歸納出關(guān)于正整數(shù)月的一個(gè)結(jié)論，并加以證明。分析：（1）4視；-好;+=的-201g+的勺=醒1（1-0）（h=2）同理可

15、得：.,：二,：+j：二_.1：,一,-：+：-:-ij:-一-=-.1-：-，Jn-初+丘；-+（-1廣亦：二儀IQ-力,八、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化整體由局部構(gòu)成，研究某些整體問(wèn)題可以從局部開(kāi)始。零整割補(bǔ)變換，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化求解幾何問(wèn)題，如果僅根據(jù)題目給出的圖形解題困難時(shí)，可考慮將圖形按一定規(guī)則分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形或通過(guò)增添輔助線、而補(bǔ)成一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟知或易于研究的問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn).這種方法是解幾何綜合題的常用的重要方法.：局部向整體的轉(zhuǎn)化從局部入手，按部就班地分析問(wèn)題，是常用思維方法，但對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細(xì)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問(wèn)題，不單打獨(dú)斗。

16、例18一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是J5，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積為（）a、珈b、47rc、3后現(xiàn)d、6開(kāi)分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過(guò)程冗長(zhǎng)，容易出錯(cuò)，但把正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為及,所以正方體棱長(zhǎng)為1,從而外接球半徑為R=S通=3不，應(yīng)選（A）。2q例19如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且aa風(fēng)m均為正三角形，EF/AB,EF=2,則該多面體的體積為（）甘_j出招43二7：（嘰,二分析：本題所給幾何體運(yùn)用中學(xué)知識(shí)，無(wú)法直接體積公式加以計(jì)算，這時(shí)需用割補(bǔ)y變換，實(shí)施轉(zhuǎn)

17、化，可分割為兩個(gè)等積的三棱錐和一個(gè)三棱柱，故所求多面體的體積-S為此三部分體積之和.解：如圖，過(guò)BC作EF的直截面BCG,作面ADM/面BCG,FOB2，四ra，3興4邛,匕二七俳-皿/二俳g，匕二叫一核二乂乂鼻X5v)Jr,乙Lu5瞑二匕故選(A).點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用典型的分割法，即將一個(gè)幾何體分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單幾何體，使問(wèn)題顯現(xiàn)在其中之一內(nèi)，其思想方法是化整為零，各個(gè)擊破例20設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在a,b上7T的面積，已知函數(shù)y=sinnx在0,一上的面積為一(nCN)，y=sin3x在0,上的面積,、一k4天為;(2)y=sin(3x-

18、JT)+1在一,上的面積為.33分析：本題是一道很好的理性思維信息開(kāi)放性定義型題，能很好地考查學(xué)生分析思維能力及割補(bǔ)法.7T解：由新定義的面積公式，知丫=$訪3乂在0,一上的面積為一，據(jù)對(duì)稱性,故得；,_五由誘導(dǎo)公式，得丫=sin3x+1,如圖，由定義知在一,4開(kāi)-上的面積為Si+S2+S3+S4,由對(duì)稱性知S4=S5,根據(jù)割補(bǔ)法得Si+S2+S3+S4=Si+/我處皿=：+,.點(diǎn)評(píng)：本題把已知不規(guī)則的圖形適當(dāng)?shù)卦黾虞o助線y=i,而使之成為一個(gè)完整的特殊的幾何圖形，這樣便于從整體出發(fā)，揭示圖形的內(nèi)在聯(lián)系，使問(wèn)題得到解決.此法指導(dǎo)思想是聚零為整，統(tǒng)籌考慮九、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化事物的空間形成，總

19、是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，通過(guò)降維轉(zhuǎn)化，可把問(wèn)題有一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)領(lǐng)域而得以解決，這種轉(zhuǎn)化在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見(jiàn)。空間與平面，維數(shù)轉(zhuǎn)化在高等代數(shù)中常見(jiàn)有高維數(shù)的問(wèn)題，如果把它向低維問(wèn)題轉(zhuǎn)化，問(wèn)題往往變得簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)單的由三維向二維空間轉(zhuǎn)化，即把三維的空間的立體圖形轉(zhuǎn)化為二維的平面圖形來(lái)研究,也是研究立體幾何問(wèn)題的重要方法之一.例21一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為jT,則球的表面積為(A)、匚(B)&(C)了!.；2T(D)二解:作出球的大圓截面圖，由截面小圓的面積為弁,即TTr2=咒，得r=1.R=f則%=4TR2=8jT,而選(B).明了.最點(diǎn)評(píng)：展示大圓的特征圖是將空間的球問(wèn)題平面化的重要途徑.對(duì)于球問(wèn)題通常要抓住其特征Rt來(lái)解決(即球半徑、小圓半徑及圓心距構(gòu)成的直角三角形).十、模式向創(chuàng)造的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，雖然不存在固有的解題模式和千篇一律的解題方法，但只要我們破除思維定勢(shì)，樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)行發(fā)散思維，左掛右聯(lián)，巧思妙想，分析題目結(jié)構(gòu)特征，還是可以找到令人耳目一新的解法例22:已知：%+為