第7章采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ)2

1、第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 7.4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念 在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)z變換與離散輸入信號(hào)z變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。( )( )( )Y zG zR z第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 應(yīng)該指出，多數(shù)實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，在這種情況下，可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作。 這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的概念。第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞

2、函數(shù)一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性固有特性； 它除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)系，還與采采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)。第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 1、兩個(gè)環(huán)節(jié)有采樣開關(guān)時(shí)、兩個(gè)環(huán)節(jié)有采樣開關(guān)時(shí)tr* sG1trty*1ty1 sG2ty*ty12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z 當(dāng)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)等效脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 2、兩個(gè)環(huán)節(jié)沒有采樣開關(guān)時(shí)、兩個(gè)環(huán)

3、節(jié)沒有采樣開關(guān)時(shí))()()(2121zGzGzGGtr* sG1tr sG2ty*ty 當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)無采樣開關(guān)時(shí),系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換變換。12( )( )( )( )Y zG zGG zR z第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 3、有零階保持器時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)、有零階保持器時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) a) tr* tr G s ty* ty h1 eTsG ssb) tr*1 tr ssG ty* tyeTs有零階保持器時(shí)的開環(huán)采樣系統(tǒng) 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 有零階保持器時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù))()1 ()()()(1

4、ssGZzzXzYzGp第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) tr ty* ty sG2 sH td te te* td* sG112( )( )( )( )( )( )E zR zB zB zE z GG H z12( )( )1( )R zE zGG H z第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 121212( )( )( ) ( )( )1( )GGzY zGGz E zR zGG H z閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù) 12( )1( )( )1( )eE zG zR zG G H z閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為12B12( )( )( )( )1( )G Gz

5、Y zGzR zG G H z系統(tǒng)輸出第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 當(dāng)系統(tǒng)有擾動(dòng)作用時(shí)當(dāng)系統(tǒng)有擾動(dòng)作用時(shí) ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差誤差與擾動(dòng)擾動(dòng)間的脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)為 212( )( )( )1( )G H zE zD zGG H z 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出與擾動(dòng)擾動(dòng)之間的脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 122212( )( )( )( )( )1( )GG z G H zY zG zD zGG H z由于系統(tǒng)中有采樣器的存在，所以一般情況下 ( )( )1( )1( )G zG sZG zG s第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 對(duì)于有些采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)，無法寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)只能寫出輸出的輸出

6、的Z變換變換 sG sY sH sR sG1 sYsH sRsG2 1RG zY zHG z 12121RGz GzY zGG H z第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 1）穩(wěn)定性的基本概念）穩(wěn)定性的基本概念 穩(wěn)定性是指在擾動(dòng)的作用下，系統(tǒng)會(huì)偏離原來的平衡位置，在擾動(dòng)撤除后，系統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的能力； 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；7.5 采樣控制系統(tǒng)的性能分析采樣控制系統(tǒng)的性能分析 7.5.1 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如果能夠衰減到0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第七章 采樣

7、控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) Z變換稱為采樣拉氏變換采樣拉氏變換, 它是從拉氏變換直接引申出來的一種變換方法。 為了把連續(xù)系統(tǒng)在為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)態(tài)性能的結(jié)平面上分析穩(wěn)態(tài)性能的結(jié)果移植到果移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,首先需要研究這兩個(gè)復(fù)平面的關(guān)系。 2） s平面與平面與z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之間變化，對(duì)應(yīng)z平面單位圓內(nèi)； S平面的虛軸 ，對(duì)應(yīng)z平面的單位圓； 當(dāng) 由 變到 時(shí)，jsezTs,sTTzez2arg,00z2s2s第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 圖圖 s平面上虛軸在平面上虛

8、軸在z平面上的映像平面上的映像 js平面Tj0TTImz平面Re101Tj第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 對(duì)于采樣控制系統(tǒng), 其特征方程式為 1+GH(z)=0 系統(tǒng)的特征根為z1,z2, , zn即為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)的極點(diǎn)。3）穩(wěn)定條件）穩(wěn)定條件第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 根據(jù)以上分析可知, 閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是分必要條件是: 系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi), 或者所有根的模均小于或者所有根的模均小于1, 即即|zi|1(i=1, 2, , n)。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 對(duì)于

9、線性采樣系統(tǒng)線性采樣系統(tǒng), 不能直接應(yīng)用勞斯判據(jù), 因?yàn)閯谒古袚?jù)只能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否只能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否在在s平面虛軸的左半部平面虛軸的左半部, 而采樣系統(tǒng)中希望判別的是特征方程式的根是否在z平面單位圓的內(nèi)部平面單位圓的內(nèi)部。4 4）線性采樣系統(tǒng)線性采樣系統(tǒng)勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 因此, 必須采用一種,使z平面上的單位圓映射為新坐標(biāo)系的虛軸。這種坐標(biāo)變換稱為雙線性變換雙線性變換, 又稱為W變換變換。11wwz則 11zzw 注意, 因z=eTs是超越方程超越方程, 故不能將特征方程式變換為代數(shù)方程。令 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 令復(fù)變量 z=x+j

10、y w=u+jv 代入雙線性變換公式得 2222) 1(2) 1(11yxyjyxjyxjyxjvu對(duì)于對(duì)于w平面上的虛軸平面上的虛軸, 實(shí)部實(shí)部u=0, 即即 x2+y2-1=0 這就是z平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓單位圓的方程。單位圓內(nèi)x2+y21, 對(duì)應(yīng)于w平面上u為負(fù)數(shù)的虛軸左半部虛軸左半部; 單位圓外x2+y21, 對(duì)應(yīng)于w平面上u為正數(shù)的虛軸右半虛軸右半部。部。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) u ju平面wz平面xy j z平面上單位圓內(nèi)(x2+y21)對(duì)應(yīng)著w平面實(shí)部為負(fù)數(shù)的左半平面。z平面上單位圓外(x2+y21)對(duì)應(yīng)著w平面實(shí)部為正數(shù)的右半平面。z平面與w平面的映射關(guān)系所示

11、。第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 例例 7-10 判斷圖7-17所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s 時(shí)的穩(wěn)定性 圖 7-17 采樣系統(tǒng) 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 解解 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )(1() 1()(1()(1) 1()1 (1111)1 () 1(1)1 () 1(11)(221212TTTTTsTsezzzezzezTezzzzzTzzsssZzsseZssseZzG第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )(1)()(zGzGzGc閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0) 1()(2zezTT即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0 當(dāng)T=1 s時(shí), 系統(tǒng)的特征方程為

12、 z2-z+0.632=0 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 直接解得極點(diǎn)為z1,2=0.5j0.618。由于極點(diǎn)都在單位圓內(nèi), 所以系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng)T=4s時(shí), 系統(tǒng)的特征方程為z2+2z+0.927=0 解得極點(diǎn)為z1=-0.73, z2=-1.27。有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓外, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 從這個(gè)例子可以看出, 一個(gè)原來穩(wěn)定的系統(tǒng), 如果加長(zhǎng)采樣周期采樣周期, 超過一定程度后, 系統(tǒng)就會(huì)不穩(wěn)定。通常, T越大, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 圖 7-18 采樣系統(tǒng) R(s)T)4( ssKC(s) 例例 7-11 設(shè)采樣系統(tǒng)

13、如圖7-18所示, 采樣周期T=0.25s, 求 能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 解解 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )(1(14144114)4()(444TTTezzeKezzzzKssKZssKZzG閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )(1)()(zGzGzGc第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT令 ,25. 0,11sTwwz代入上式得 011158. 0368. 011111wwKwwww第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 整理后可得 0.158K2+1.264+(2.736-0.158K)=0 勞斯表為 w2 0.158K 2

14、.736-0.158Kw1 1.264w0 0 2.736-0.158K 要使系統(tǒng)穩(wěn)定, 必須使勞斯表中第一列各項(xiàng)大于零, 即 0.158K0 和 2.736-0.158K0 所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0K17.3。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 開環(huán)增益開環(huán)增益K和采樣周期采樣周期T對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時(shí)，增加開環(huán)增益K會(huì)使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)開環(huán)增益K一定時(shí), 采樣周期T越長(zhǎng)，丟失的信息越多，對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 5）數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差）數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 圖 單位

15、反饋采樣控制系統(tǒng) R(s)TG(s)C(s)E(s)E*(s)第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 與連續(xù)系統(tǒng)類似, 系統(tǒng)的誤差 )()(11)(zRzGzE設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定, 根據(jù)終值定理終值定理可以求出在輸入信號(hào)作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值穩(wěn)態(tài)誤差終值 )()(11) 1(lim)(lim1zRzGzteeztsr第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 在連續(xù)系統(tǒng)中在連續(xù)系統(tǒng)中, 如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有個(gè)s=0的極點(diǎn), 則由z=eTs可知相應(yīng)G(z)必有個(gè)z=1的極點(diǎn)。 把開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有s=0的極點(diǎn)數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn), 并分別把=0, 1, 2, 的系統(tǒng)稱

16、為0型、型和型系統(tǒng)等。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 同樣, 在離散系統(tǒng)中離散系統(tǒng)中, 也可把開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點(diǎn)數(shù)的極點(diǎn)數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn), 分別把G(z)中=0, 1, 2, 的系統(tǒng)稱為0型、型和型(離散)系統(tǒng)等。 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù):)(1 lim1zGKzp 穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù): )() 1(lim1zGzKzv穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù): )() 1(lim21zGzKza 與連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)的3種誤差系數(shù)以及不同型別的穩(wěn)態(tài)誤差(表 7-1)直接列出如下, 不再推導(dǎo)。第七章 采

17、樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 表表 7-1 單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)、參數(shù)參數(shù)和輸入信輸入信號(hào)號(hào)有關(guān)外，還與采樣周期采樣周期有關(guān)，縮小采樣周期可縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。以減小穩(wěn)態(tài)誤差。第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 如果離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(z)=C(z)/R(z), 其中R(z)=z/(z-1)通常為單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù), 則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù) )(1)(zGzzzCc將上式展成冪級(jí)數(shù), 通過Z反變換, 可以求出輸出信號(hào)的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同, 故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲

18、線單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 7.5.2 采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 例例 7-12 設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-19所示, 其中, 368. 0368. 1264. 1)(2zzzzG采樣周期T=0.1 s, 求系統(tǒng)指標(biāo)ts和的近似值。 解解 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 368. 0104. 0264. 1)(1)()(2zzzzGzGzGc系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 368. 0472. 0104. 1264. 11368. 0104. 0264. 1)()()(2322zzzzzzzzzzRzGzGc第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 用長(zhǎng)除法得 C(z)=1.264z-1+1.395z-2+0.943z-3+0.848z-4 +1.004z-5+1.055z-6+1.003z-7+ 輸出信號(hào)的脈沖序列為 c*(t)= 1.264(t-T)+1.395(t-2T)+0.943(t-3T)+0.848(t-4T) +1.004(t-5T)+1.055(t-6T)+1.003(t-7T)+ 第七章 采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 圖 7-20 階躍響應(yīng)曲線 c*(t)10T2T3T4