淺談初中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)美剖析

1、1、對(duì)美的理解在提倡素質(zhì)教育，培養(yǎng)全面發(fā)展人才的今天，提到美，人們便會(huì)自然而然的聯(lián)想到音樂、繪畫、舞蹈、影視、文藝等視覺藝術(shù)和聽覺藝術(shù)。而作為研究自然規(guī)律的一門學(xué)科數(shù)學(xué)中，是否存在美？這是歷來數(shù)學(xué)研究者們關(guān)注的問題。古代希臘時(shí)期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派第一次提出了“美是合諧與比例”的觀點(diǎn)。古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯也斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美”。羅素說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種泛而嚴(yán)肅的美。這種美，不是投合我們天性的微弱的一面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地。

2、”量子力學(xué)的創(chuàng)始人海森堡說：“自然界把我們引向極其簡(jiǎn)單而美麗的數(shù)學(xué)形式我被自然界向我們顯示的數(shù)學(xué)體系的簡(jiǎn)單性和美強(qiáng)烈地吸引住了。”開普勒甚至認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型。”從這些論述中，我們可以清楚地看到：數(shù)學(xué)研究者在其科研活動(dòng)中深刻感受到了數(shù)學(xué)美的存在，并以追求數(shù)學(xué)美來推動(dòng)數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展。2、數(shù)學(xué)美的幾種形式數(shù)學(xué)美的含義是豐富多彩的，如數(shù)學(xué)概念的精確，數(shù)學(xué)定理的概括，數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)捷、齊整，數(shù)學(xué)圖形的和諧、對(duì)稱，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)、完備，數(shù)學(xué)方法的奇妙、多樣等等，這就決定了數(shù)學(xué)美具有簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性、奇異性、秩序性等表現(xiàn)形式。21簡(jiǎn)單性數(shù)學(xué)家們常常以簡(jiǎn)單性作為自己的追求目標(biāo)，那種最簡(jiǎn)

3、潔的數(shù)學(xué)理論最能給人以美的享受。狄德羅曾指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題是指一個(gè)難于解決的問題，所謂美的解答則指一個(gè)困難、復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單回答。”高斯在回顧二次互反律的證明過程時(shí)也曾說：“去尋找一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?。”最能說明簡(jiǎn)單性是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展與創(chuàng)造的美學(xué)因素之一的典型例子便是為了避免重復(fù)的加法和乘法運(yùn)算而引進(jìn)乘法與幕的運(yùn)算：3+3+3+3=3X4ddda質(zhì)能公式E=m，如此深刻地揭示了微觀、宏觀世界的種種質(zhì)能變化規(guī)律，因而其內(nèi)容極為豐富，但其表述卻又如此簡(jiǎn)單明了。尤拉公式：e=cosx+isinx指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中看不出任何聯(lián)系，而在復(fù)數(shù)域中卻發(fā)現(xiàn)了它們可以

4、互相轉(zhuǎn)化，并且被一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的關(guān)系式聯(lián)系在一起。表面上看來復(fù)雜得使人眼花繚亂的對(duì)象，一旦理出了頭緒，卻顯得異常的簡(jiǎn)明，從而會(huì)喚起理性上的美感。應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)中所說的簡(jiǎn)潔并不是指純數(shù)學(xué)方面的考慮，如證明、計(jì)算的簡(jiǎn)單，而且也包括了邏輯方面的考慮，即要求數(shù)學(xué)理論在邏輯結(jié)構(gòu)方面也應(yīng)是簡(jiǎn)單的。如：由于數(shù)學(xué)理論是邏輯地展開的，因此，出于簡(jiǎn)單性的考慮，數(shù)學(xué)家們就提出了公理的獨(dú)立性問題，即認(rèn)為：如果一條公理能由其他的公理推導(dǎo)出來，這一公理在邏輯上就是不必要的。另外，就每一個(gè)公理而言，數(shù)學(xué)家們又認(rèn)為它們應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的、清晰的，而不應(yīng)當(dāng)是復(fù)雜的、難以琢磨的。這樣，簡(jiǎn)潔性的考慮就直接促進(jìn)了公理化方法及數(shù)學(xué)的發(fā)展。

5、22統(tǒng)一性數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性，是指數(shù)學(xué)中部分與部分，部分與整體之間的和諧一致。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，美在數(shù)學(xué)對(duì)客觀世界和諧協(xié)調(diào)、井然有序的真實(shí)反映上。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，使人們對(duì)數(shù)學(xué)能夠居高臨下、攬括一切，增強(qiáng)人們洞察世界的深度、廣度。例如:（1）代數(shù)與幾何是兩個(gè)獨(dú)立的分支，然而通過坐標(biāo)系的建立，使點(diǎn)與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)，從而把代數(shù)研究的對(duì)象和幾何研究的對(duì)象方程與曲線聯(lián)系了起來，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。（2）作為有理數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)完美統(tǒng)一的象征之一的式子e+1=0是我們已知的，這個(gè)式子可說是各種數(shù)的一個(gè)大統(tǒng)一。（3）在體積計(jì)算中就有所謂的“萬能計(jì)算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺(tái)

6、的體積計(jì)算：V=h（s+s，+ss7）。（4）初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常見到的代數(shù)式可以理解為：a、表示點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)的距離；b、表示復(fù)數(shù)x+iy的模；c、若x、y均為正數(shù)，可表示為以x、y為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng)。像這種不同的內(nèi)容統(tǒng)一為同一個(gè)式子,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)高度的統(tǒng)一性。（5）平面解析幾何中圓、橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一性，有如下表現(xiàn)：a、從方程的形式看，在直角坐標(biāo)系中，這幾種曲線的方程都是二元二次方程，我們把它們稱為二次曲線。b、從點(diǎn)的集合（或軌跡）的觀點(diǎn)看，除圓外，它們都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的集合（或軌跡）,只是由于離心率e取值的不同而分為橢圓、雙曲線和拋物線。c、從天體運(yùn)

7、行的軌道看，由于天體運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌跡分別是圓、橢圓、雙曲線和拋物線。d、四種曲線又可以看作不同的平面截圓錐體所得的截面的截線，因此它們又統(tǒng)稱為圓錐曲線。e、除圓外，它們?cè)跇O坐標(biāo)下的極坐標(biāo)方程統(tǒng)一。（6）再如勾股定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，即。將其進(jìn)行推演可以得到a、三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即cosC（余弦定理）。b、長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和，即（三度平方和定理）。d、兩條異面直線&、b所成的角為0，它們的公垂線AA'的長(zhǎng)度為d，在直線&、b上

8、分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A,E=m，AF=n，EF=l，貝I（異面直線上兩點(diǎn)間距離公式）。e、在以DABC為三個(gè)直三面角的四面體DBCD中，第四個(gè)面的面積等于三個(gè)直三面角的三個(gè)面的面積的平方和，即。以上各推演在本質(zhì)上都統(tǒng)一于勾股定理，如果能夠看到不同形式下的相同內(nèi)核，那么就能更加深刻的理解各個(gè)知識(shí)，提高對(duì)他們的應(yīng)用能力。以上各例列舉的知識(shí)統(tǒng)一，恰恰證明了數(shù)學(xué)家希爾伯特的論斷：“盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬別，我們?nèi)匀磺宄恼J(rèn)識(shí)到，在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系。同時(shí)，在它的不同部分之間，也有大量的相似之處。我們還注意到，數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加協(xié)調(diào)一致，并且一向

9、相互隔絕的分支之間也會(huì)顯露出原先意想不到的關(guān)系。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機(jī)的特性不會(huì)喪失，只會(huì)更清楚地呈現(xiàn)出來?！?3對(duì)稱性所謂對(duì)稱，即指整體的各個(gè)部分之間的勻稱和對(duì)等。對(duì)稱美，美在反映事物的秩序、簡(jiǎn)潔、完整及由此及彼的聯(lián)系，美在表現(xiàn)了事物運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。在現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱的形象是很多的。例如人體的外形，顯示出左右對(duì)稱。樹葉以其主脈為對(duì)稱軸，蜂巢、蛛網(wǎng)呈正多邊形。畢達(dá)哥拉斯曾說：“一切立體圖形中，最美的是球形。一切平面圖形中最美的是圓形?！睏钶x三角，以非常整齊的三角形排列，得出了二項(xiàng)式不同方次的展開系數(shù)；大家都非常熟悉的“九九歌”，如果把九的口訣從左向右做好整齊的排列，也是一個(gè)

10、非常嚴(yán)整的直角三角形。對(duì)稱性還表現(xiàn)為某種相應(yīng)性。例如，加與減、乘與除、正弦與余弦、指數(shù)與對(duì)數(shù)、有限與無限、微積與積分等等都是如此。再如，在一定條件下，有一個(gè)關(guān)于極大值的命題，就相應(yīng)地有一個(gè)關(guān)于極小值的命題。“如果三角形的周長(zhǎng)一定，則當(dāng)這個(gè)三角形是正三角形時(shí)面積最大'，與“如果三角形的面積一定，則當(dāng)這個(gè)三角形是正三角形時(shí)周長(zhǎng)最小”就是相應(yīng)的命題。24奇異性奇異性是指數(shù)學(xué)中原有的習(xí)慣法則和統(tǒng)一格局被新的事物(思想、方法、理論)所突破，或出乎意料，超乎想像的結(jié)果所帶來的新穎和奇特。弗朗西斯培根曾說：“沒有一個(gè)極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異?！毙炖我舱J(rèn)為：“奇異是一種美，奇異到極度更是一

11、種美?！痹跀?shù)學(xué)史上，種種悖論導(dǎo)致一系列數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)研究者們?cè)谡痼@之余又去苦苦尋找解決危機(jī)的方法。力圖使猜想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)的種種研究，這些都是數(shù)學(xué)奇異美的結(jié)果，它不同程度的推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。在歐幾里德幾何占統(tǒng)治地位的時(shí)代，非歐幾何的思想是奇異而“荒誕”的思想。但奇異所造成的并不總是消極的影響，恰好相反，在它們之間常常孕育著新的巨大發(fā)展的可能性。再如小學(xué)生都能運(yùn)用自如的分配律a(b+c)=ab+ac就不能推出sin(a+0)=sina+sin0以及l(fā)g(a+b)=lga+lgb(a>0,b>0)。這就迫使我們?nèi)で笄耙蚝蠊?；又如?jīng)常見到的各種各樣的典型錯(cuò)題辯析，常常因“常規(guī)”而致，要想解

12、決這些問題,就得弄清相關(guān)知識(shí)的來龍去脈,使其更具科學(xué)化、系統(tǒng)化、完整化。3、數(shù)學(xué)美的教育作用31數(shù)學(xué)美可以培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)中充滿美的因素，“不論是優(yōu)美的幾何圖形，還是簡(jiǎn)潔美麗的計(jì)算公式，都可以給學(xué)習(xí)它的人一種美的享受”。圖形中的對(duì)稱，公式中的類比，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的想象力，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分挖掘數(shù)學(xué)中多種美的因素，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展將起著非常重要的作用。32數(shù)學(xué)美可以使邏輯思維與形象思維有機(jī)結(jié)合現(xiàn)代腦科學(xué)證明，人的左腦主管邏輯思維，右腦主管形象思維。人們一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是推理，其實(shí)數(shù)學(xué)中存在大量美的因素，如優(yōu)美的幾何圖形及其用幾何圖形表示的某種運(yùn)算關(guān)系

13、的形象表示，充分顯示數(shù)學(xué)中也大量存在著形象思維，例如想象、直覺頓悟。因而，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)美，可以增強(qiáng)形象思維，使左右腦配合，共同發(fā)揮作用，使邏輯思維與形象思維更好地結(jié)合，提高學(xué)生的思維能力，這也正是全面發(fā)展人才的一個(gè)必備條件。33數(shù)學(xué)美可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力許多事例說明，追求數(shù)學(xué)美，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力之一。一個(gè)人要想進(jìn)行開創(chuàng)性的工作，必須破除思維定勢(shì)，增強(qiáng)發(fā)散思維，數(shù)學(xué)中的類比、歸納、思辨，都是一種發(fā)散思維，只有充分發(fā)掘數(shù)學(xué)美的因素，才能不被邏輯思維所定勢(shì)，從而思想活躍，思維發(fā)散，達(dá)到增強(qiáng)創(chuàng)新能力的目的。4、怎樣在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)美我們要把數(shù)學(xué)美的教育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中去，孜求于美，寓教于樂，

14、使學(xué)生在潛移默化中激發(fā)興趣、獲得修養(yǎng)、提高素質(zhì)、弄清本質(zhì)。41教學(xué)中應(yīng)揭示教材里潛在的關(guān)系因素，使學(xué)生自覺地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的美。對(duì)于潛在于數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)美，教師應(yīng)當(dāng)采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，從審美的角度提出問題，創(chuàng)造思維情景，使學(xué)生沉浸在渴望求得具有美學(xué)特征的新知識(shí)情感之中，通過必需而且精煉的實(shí)踐去獲得感知，并在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生，愉快而又順其自然地再發(fā)現(xiàn)具有美感的新知識(shí)。在這樣的過程中，學(xué)生的審美直覺能力必然會(huì)得到培養(yǎng)和提高。42教學(xué)中提供創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)。在課堂教學(xué)中，若能經(jīng)常發(fā)掘教材中的數(shù)學(xué)點(diǎn)，就能大大提高學(xué)生感受美和鑒賞美的能力，逐步使學(xué)生達(dá)到運(yùn)用數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法去進(jìn)行美的創(chuàng)造的初步能力。把創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的活動(dòng)與培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維工作結(jié)合起來的教學(xué)必然會(huì)收到極好的效果。教師要善于挖掘和發(fā)