定積分的應(yīng)用94125

1、1定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分應(yīng)用的常用公式定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) badxxfA)(

2、 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)

3、弧長(zhǎng) drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為為線線密密度度x (7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF232

4、2)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體體積積及及表表面面積積體體它它繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)它它的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)它它所所圍圍成成的的面面積積求求星星形形線線已已知知 ataytaxa aoyx解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)設(shè)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為由對(duì)稱性由對(duì)稱性

5、,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 體體積積為為設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的表表面面積積為為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再將將滿滿池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度時(shí)時(shí)水水求求在在池池中中水水深深內(nèi)內(nèi)注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半徑徑為為以

6、以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).0()(222RyRRyx 半圓的方程為半圓的方程為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn)于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 時(shí)時(shí)水水池池內(nèi)內(nèi)水水的的體體積積為為為為的的球球缺缺的的體體積積即即水水深深故故半半球球內(nèi)內(nèi)高高為為的的立立體體軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成圓圓繞繞因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th時(shí)時(shí)已已注注水水的的時(shí)時(shí)間間為為又又設(shè)設(shè)水水深深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì),t,)2(2

7、adtdhhRh 故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即將將池池內(nèi)內(nèi)將將滿滿池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功約約為為所所需需降降到到抽抽水水時(shí)時(shí)使使水水位位從從dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素oxyRh故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3在第一象限內(nèi)求曲線在第一象限內(nèi)

8、求曲線 上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，12 xy使該點(diǎn)處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍成的使該點(diǎn)處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積。圖形面積為最小，并求此最小面積。解解 設(shè)要求的點(diǎn)為（設(shè)要求的點(diǎn)為（x1，y1），）， y1= - x12+1 ,.2|11xyxx 過（過（x1，y1）的切線方程為）的切線方程為)(2111xxxyy 令令x=0,y=0得切線的截距得切線的截距 :, 1210 xy121021xxx 于是，所求面積為于是，所求面積為.32)12(41)1(21)(1131210001 xxxdxxyxxS, 0)1)(13(41)123(41)(:11112

9、1211 xxxxxxxS令令311 x, 0)26(41)(3113113111 xxxxxS又又面面積積取取最最小小值值處處所所以以在在,311 x)332(9231 S唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn):解解 ,21xy xy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(tt處的切線處的切線l方程為方程為)(21txtty 即即221txty 所圍面積所圍面積3241221)(20 ttdtttxttS令令, 02121)(2123 tttS得得t=1。又又, 0)1( S故故t=1時(shí)，時(shí)，S 取最小值。此時(shí)取最小值。此時(shí)l的方程為的方程為212 xy 求曲線求曲線xy 的一條切線的一條切線l，使該曲線與切線，使該曲線與切線 l及直線

10、及直線x=0， x=2所圍成的圖形面積最小。所圍成的圖形面積最小。故此切線方程為故此切線方程為22100 xyxx)(2212000 xxxxy 又因該切線過點(diǎn)又因該切線過點(diǎn)P（1，0），所以），所以)1(21 xy)(2212000 xxxx 即即30 x從而，切線方程為從而，切線方程為因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積6)2()1(4132231 dxxdxxV解解 設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn)設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn) ，因，因)2,(00 xx 過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,0)作拋物線作拋物線2 xy的切線，該切線與上述拋物的切線，該切線與上述拋物線及線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞軸圍

11、成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的體積。軸旋轉(zhuǎn)一周所成的體積。1. 求曲線求曲線 所圍的面積所圍的面積. 2cossin22rr及及1)求交點(diǎn)求交點(diǎn). 6,31tan2cos)sin2(22 2)算面積算面積. 23162cos21)sin2(21 24/6/6/02 ddA2. 設(shè)平面區(qū)域設(shè)平面區(qū)域D由由x=0, x=1, y=a(oa 0 是常數(shù)。是常數(shù)。解解 ,sin)( ar dadadrrdS|2cos|2)sin()cos1()(2222由對(duì)稱性得由對(duì)稱性得aadaS82sin82cos2200 8. 半徑為半徑為R的球沉入水中的球沉入水中,求得上部與水面相切求得上部與水面

12、相切,球的比重球的比重與水的相同與水的相同, 問問: 將球從水中取出需做多少功將球從水中取出需做多少功?解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 在小區(qū)間在小區(qū)間y, y+ y上上, oxy對(duì)應(yīng)球體的一小薄片對(duì)應(yīng)球體的一小薄片, 要提高要提高2R高度高度, 水上的行程水上的行程: R+y, 則則 dw=g (R+y) x2(y)dy 1 RRdyyRyRgw)(2242234)(gRdyyRgRRR xaaxbxaxybaP)2(2)38. 69922 （,11 aax兩兩拋拋物物線線的的交交點(diǎn)點(diǎn). 1, 010, 01 aaxa即即dxxxxxxasx)2(2)(2021 23)1(6aa 0

13、)03(0)03(. 3, 0)1(6)3(32 ssaaaas，且且.893min sa時(shí)時(shí)補(bǔ)充補(bǔ)充.210;2,2)(49. 610 bsasbbadxbaxs)(33)()(33103102102bbaabaxadxbaxdxyv )3(22baba ; 00)22232()232( aasaasabbbabav0)21132( v., 02minsvsba 時(shí)時(shí)， 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)有內(nèi)有. 0)( xf證明在證明在(a,b)內(nèi)存在唯一的內(nèi)存在唯一的，使曲線，使曲線 y=f(x)與兩直線與兩直線 y=f()x=a所圍平面圖形面積所

14、圍平面圖形面積S1是曲線是曲線y=f(x)與兩直線與兩直線y=f()，x=b所圍平面圖形面積所圍平面圖形面積S2的的3倍。倍。證證 (存在性存在性)在在a,b上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)t，令，令dxtfxfdxxftftFbtta)()(3)()()( ),)()( 3)()(tbtfdxxfdxxfattfbtta 則則F(t)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), 又又, 0)( xf故故f(x)在在a，b上單調(diào)增加上單調(diào)增加(a,b)內(nèi)取定點(diǎn)內(nèi)取定點(diǎn)C，則有，則有6.40由介質(zhì)定理知，在由介質(zhì)定理知，在(a,b)內(nèi)存在內(nèi)存在，使，使F( )=0，即，即213SS 唯一性唯一性 因因, 0)(3)()( tb

15、attftF故故F(t)在（在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加，）內(nèi)單調(diào)增加，因此（因此（a，b）內(nèi)只有一個(gè)）內(nèi)只有一個(gè)，使，使213SS 0)()(3)( dxafxfaFba0)()()( dxxfbfbFbaxxxxPx20sectansincossintanlim)19. 5(78 xxxxxxtansinsintanlimtansinsintanlim00 1tansinlim0 xxxxetePxtxx 0222)1(lim)3(19. 578 （212)1(lim)1(lim222222022 xxxxxxtxexeexxeettxP 19)53. 5(88令令）（ 11ln)(211 td

16、ttFdttt 2111ln 2)1ln()(22 F一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 曲線曲線xyln 與直線與直線ex1 ，ex 及及0 y所圍成所圍成 的區(qū)域的面積的區(qū)域的面積 S（ ） ；） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .2 2、曲曲線線 sin2 r與與 2cos2 r所所圍圍圖圖形形公公共共部部分分 的的面面積積 S（ ） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、曲曲線線,cos3 ax 3sinay 所所圍圍圖圖形形的的面面

17、積積 S（ ） ； （A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx與旋轉(zhuǎn)錐面與旋轉(zhuǎn)錐面2228zyx 之之 間包含間包含z軸的部分的體積軸的部分的體積 V( )( )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .5 5、用一平面截半、用一平面截半r徑為徑為的球，設(shè)截得的部分球體高的球，設(shè)截得的部分球體高 為為)20(rhh 體體V積為積為，則，則 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D

18、 D）)3(42hrh . . 6 6、曲線、曲線422 xxy上點(diǎn)上點(diǎn))4,0(0M處的切線處的切線 TM0 與曲線與曲線)1(22 xy所圍圖形的面積所圍圖形的面積 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （D D）421. .7 7、拋物線、拋物線pxy22 )0( p自點(diǎn)自點(diǎn))0,0(至點(diǎn)至點(diǎn)),2(pp 的一段曲線弧長(zhǎng)的一段曲線弧長(zhǎng)L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .8 8、曲線、曲線xhry ，hx 0，軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體 的側(cè)面積的側(cè)面積 S（ ） ；） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二二、在在區(qū)區(qū)間間 e,1內(nèi)內(nèi)求求0 x一點(diǎn)一點(diǎn)，使使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所所圍圍成成兩兩塊塊面面積積之之和和為為最最小小 . .三三 、設(shè)設(shè)曲曲邊邊梯梯形形是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf，軸軸x與