二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結構通解結構, yYy 常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點難點：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.自由項為自由項為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一、 型)()(xPexfmx 設非齊方程特解為設非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

2、),()(xQxQm 可可設設;)(xmexQy 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設設;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設.)(2xmexQxy 綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結論可推廣到上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特

3、征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1 1.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr對應齊次方程通解對應齊次方程通解,221xxececY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 求通解求通解xxeyyy3596 解解特征方程特征方程0962 rr特征根特征根321 rr齊通解齊通解xexccY

4、321)( 是重根是重根3 xeBAxxy32)( 可可設設即即23)(BxAxxQ BxAxxQ23)(2 BAxxQ26)( 代入（代入（*）式）式xBAx526 0,65 BAxexy3365 非齊通解為非齊通解為xexxccy3321)65( 例例2 型型二、二、xexPxfxm cos)()( 型型型及其組合型及其組合xexPxfxm sin)()( xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 分別是分別是 xjmexP)()( 的實部和虛部的實部和虛部,)()(xjmexPqyypy 考慮方程考慮方程可設可設xjmkexQxy)()( 次次復復系系數(shù)數(shù)多多項

5、項式式是是mxQm)()()()(21xjQxQxQm 記記次次實實系系數(shù)數(shù)多多項項式式均均是是 mxQxQ)(),(21輔助方程輔助方程)sin(cos)()(21xjxexjQxQxyxk )cos)(sin)()sin)(cos)(2121xxQxxQjxxQxxQexxk 是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 jjk, 1, 0由分解定理由分解定理sin)(cos)(Re21xxQxxQexyxk cos)(sin)(Im21xxQxxQexyxk 分別是以分別是以 xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 為自由項的非齊次線為自由

6、項的非齊次線性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述結論可推廣到上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程例例3 3.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解 對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是是單單根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy （取虛部）（取虛部）原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 這種方法稱為復數(shù)法這種方法稱為復數(shù)法例例4

7、4.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 設設代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy )2sin2)(cos9431(xjxjx ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy （取實部）（取實部）原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy

8、 注意注意xAexAexx sin,cos.)(的實部和虛部的實部和虛部分別是分別是xjAe 例例5 5.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應齊方程通解對應齊方程通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設設, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 求通解求通解xeyyxcos 解解 相應齊方程相應齊方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齊通解齊通解xcxc

9、Ysincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解設設xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考慮輔助方程考慮輔助方程jxeyy 是單根是單根j 可設可設jxAxey jxjxAjxeAey jxjxAxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取實部得取實部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解為所求通解為)sin(21sincos21xxexcxcyx 例例7 設設)(22yxfu 具有連續(xù)的二階偏導數(shù)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)且滿足且滿

10、足2222221yxuxuxyuxu 求求 u 的表達式的表達式解解記記 22yxr 則則)(rfu rxdrduxudrduxu drdurydrudrxxu 3222222)(同理同理drdurxdrudryyu 3222222)(udruduxuxyuxu 22222212222yxudrud 這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得解得2sincos221 rrcrcu222221sincosyxcyxcu 222rudrud 即即 一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離釘子釘子8米，另一端離釘子米，另一端離釘子12米，

11、若不計摩米，若不計摩擦力，求此鏈條滑過釘子所需的時間擦力，求此鏈條滑過釘子所需的時間下段重為下段重為解解設時刻設時刻 t 鏈條下落了鏈條下落了 x 米米另設鏈條單位長重為另設鏈條單位長重為)(mkgw則上段重為則上段重為)12(xw )8(xw 由由Newton第二定律第二定律2220)8()12(dtxdwgxwxw 例例8 0, 000 ttdtdxx特征方程特征方程0102 gr特征根特征根102, 1gr 齊通解齊通解tgtgececX102101 特解特解2* x故故2)(102101 tgtgecectx代入初始條件代入初始條件解得解得121 cc2)(1010 tgtgeetx時

12、當8 x)(3 . 2)625ln(10sgt 三、小結三、小結(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)可可以以是是復復數(shù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 只含上式一項解法只含上式一項解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考題解答思考題解答設設 的特解為的特解為2644xyyy *1y

13、xeyyy2844 設設 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 練練 習習 題題一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111

14、 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .三、三、 含源含源在在CLR,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動電動E勢為勢為的電源對的電源對電電充電充電容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,歐歐1000 R, ,試求合上開試求合上開后后關關 K的電的電及及流流)(ti)(tuc電電壓壓 . .四、四、 設設)(x 函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿足且滿足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .練習題答案練習題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ；