高量考試復習提綱(個人整理版)

1、1. 算符、矩陣表示以及密度矩陣在量子力學中，算符代表對波函數的一種運算，當我們用一組正交完備的基矢(將波函數進行展開時，算符對應的矩陣表示為：Amn(mAri)對于密度算符，定義為：(t)|(t)選取具體基矢后，其矩陣表示：mn(t)(m|(t(t)|nCm(t)Cn(t)可以看出密度矩陣對角元上的值，正好對應系統(tǒng)出于該基矢對應態(tài)的概率。由歸一化條件：Tr()CnCn1n算符的平均值可以寫為：Tr(?(3)純態(tài)與混態(tài)：純態(tài)指的是體系處于一個確定的波函數所描述的態(tài)，比如：ci)Q)22其中|CiI|C2|1滿足概率幅歸一化條件?；鞈B(tài)指的是有很多個粒子，我們不確定每個粒子所處的狀態(tài)，但統(tǒng)計表明處

2、于某個態(tài)的比例我們知道，比如:PiP2可以寫成PPP2，但這并不是一個波函數，只是表明處于各個狀態(tài)的概率而已。(這里p1p21滿足概率歸一化條件。)混態(tài)密度矩陣定義為:pkkk吉布斯熵：SkBPiln口Tr(ln)2222波函數滿足歸一化條件|Ci|c2|1,|di|d211，直積態(tài)就是ABCidi0)|)Gd20)Qdi|l)|)C2d21)仍然是一個純態(tài)。兩個體系A和B構成的復合態(tài)，若不是直積態(tài)，則被稱為糾纏態(tài)，例如:AB12f不能寫成兩個純態(tài)的直積，是一個糾纏態(tài)(粒子自旋只能朝上，1態(tài)的粒子自旋只能朝下)復合態(tài)的密度矩陣定義為：ABab)(AB約化密度矩陣：ATrB(AB),BTrA(A

3、B)，這里TrB表示將處于B本征態(tài)的密度矩陣元拿出來求和。作業(yè)題:a.已知H?世V(x)，求證:2m證：何lp)(T)?1(？)lpl即：t則tp另外：p?不顯含時間，因此第二項為零，第一項和第三項可以根據薛定諤方程來化簡,;H?:,hhH?：hPH?hhih一代入得：xtP；：怖；hh頭：|b?(ihhxV(T)(R(I)(一R)xxxV(x)證畢。b.求證：eABeBA,B期A,Bl證：定義函數f（）eABeA，在0處進行泰勒展開:令1即得證。c.已知:求證:s(1)證:12寫著玩的），另外:可以證明，函數s（(1)PjPiPj，f(e?A,BT2（）,Tri(),12s(2）s(12)s

4、()2（這是一個直積態(tài),S(12)Tr(idjln(12lnidj)i,jTr(s(1)s(s(12)i,j證明如下：引入拉格朗日乘子s()1ln1)Tr(s(2)Tr(In)Tr(12ln12)(i2lnTriIn2)PjInPji,j12)pijInpij在條件Xi,yj,zPijln(pjXi(i,jPijPi)j對各個參數Pij求偏導求零點得：Pijex2“(djlndj)j2)(1)、PiPji,jln(PiPj2Tr()TD（）口（）1Yj(PijiP(2)Yjz1PiP(2)Piji,jz(i,jPijPijPm的條件極值點為1)(1)PiPj(1)PieXiz1eyjjjPji

5、PjPjeyiz1ieXii,jPij11z1ei,jXiyjeejze1(ieXi)(PiP(2)exz1(yj、yej)eiz1eXixieyjz1代入:j于是有:jieyj)z1X1/e(e)(ieyj)Pij即極值點為：pijPi(1)p(2)，注意到這個極值點在確定的1,2態(tài)下，唯一確定(就是直積態(tài))，j而且s()并不含pj參數的交叉項，因此二階交叉偏導均為零，二階純偏導均為負，因此這個極值點是最大值點，題設條件要求不是直積態(tài)，則s(1)s(2)s(12)s()。d.如果01,且i2，求證：si(1)2s(1)(1)s(2)1證明：容易證明f(x)xlnx是一個上凸函數(f(x)0)

6、x則有f(X1(1)X2)f(X1)(1)f(X2)s1(1)2Tr(1(1)2)(P1i(1)P2i)ln(P1i(1)P2i)i(P1iInP1i)(1)P2iInP2iiis(1)(1)s(2)證畢。2. 路徑積分理論與AB效應 傳播子：用來描述不同時刻不同狀態(tài)之間的概率聯(lián)系，例如，在坐標本征態(tài)下K(rt,rt)表示粒子若在t時刻處于r則在之后的t時刻處于r的概率波幅。考慮到t時刻粒子不一定百分百在r它有一個概率分布，概率波幅用波函數(rt)描述，對全空間做積分可以得到：(rt)K(rt,rt)(rt)dr從定態(tài)薛定諤方程的解(t)eiH(tt)/h(t，可以得到坐標表象下的傳播子表達式

7、為：K(rt,rt)(r|eiH(t皿|計傳播子的性質：傳播子的組合規(guī)則和傳播子所滿足的方程組合規(guī)則：可以考慮在t與t中加入一個時間節(jié)點t1，概率波幅分布(rfj，則(r“)K(rt,rt1)(rf1)dr1K(rt,rt1)KMHt)(rtjdAdrK(rt,rt1)K(rt1,rt)(rt)dr1dr對比(rt)K(rt,rt)(rt)dr，可以得到:K(rt,rt)K(rt,rt1)K(r|1,rt)dr1也可以進一步推廣到n個節(jié)點上去。所滿足的方程：tt時，傳播子的物理含義表明，它是一種特殊的波函數，所以應滿足h22薛定諤方程，即：ihK(rt,rt)V(r,t)K(rt,rt)t2m

8、t0)射，求各分波的相粽乳設柞用勢校弱妬山搭1*求帽移.敵射波幅和戴面的表達式.(3用Bom近假計算散射波幅和截面并與4結果比較.的根，即iH弓沁一為想川一2爐鑑他利用了唱P3新=M2)具體方法就是對比有無中心勢時的徑向方程的形式，對比解趨于無窮時的相位。2徑向方程：塑-dRldrrdr(k2|(|1)務)R02其中v(v1)l(l1)h?對比r的行為：R(kr)十sin(kr|_21l)嚴krT)下略Born近似Born近似將外勢場的散射看作是微擾，散射波一級近似為：帆門expdJtr)-Jd3rXVtr)exp(ifc/)r時，對比可以得到：f(伏p)=f(k,kf)=2|da/exp(i

9、g*r)V(r)q=kfkkfk4. 相位與含時哈密頓量量子絕熱定理及成立條件量子絕熱定理是說，如果體系的哈密頓量隨時間變化的總夠緩慢，初態(tài)為m(0，則體系將會保持在相應的瞬時本征態(tài)m(t)：上。成立條件為:hm(EnEm)2=1對所有的nm均成立Berry相位m(C)?Am(R)gdRC其中AR)i；m(R)Rm(R)；：，R為含時參數，m(R)為瞬時本征態(tài)，如果絕熱條件成立，則該相位不依賴于C的路徑。 相互作用圖象對于力學量平均值或者說概率分布隨時間的演化，有三種等價的描述圖像，第一種認為體系態(tài)矢(基矢波函數)在演化，而算符沒有變化，體系態(tài)矢演化遵循薛定諤方程，這被稱為薛定諤圖像；第二種，

10、認為態(tài)矢沒有變化，而力學量算符在隨時間演化，演化方程遵循型?包-|?(t),H，被稱為海森堡圖像；第三種叫相互作用dtih圖像，介于前兩者之間，這個圖像下態(tài)矢和算符都在演化，不過可以分別對二者的演化進行控制，具體如下:設HHoH(t),定義算符Fi(t):Fi(t)eiH0hFeiH0t/h定義態(tài)矢：I(t)eiHot/hS(t)態(tài)矢演化方程可以由薛定諤方程推出來：ihI(t)H|(t)I(t)，其中Hl(t)嚴如(t)eiHt/h算符隨時間的演化：Hdtih在相互作用圖像中，算符僅僅隨Ho演化，即只與不含時部分哈密頓量(一般為初態(tài)bosenkg)2)M)k2(qJk2(q2)k2(q3)k3

11、G)的2)山3)MMMLLLMfermion哈密頓量)有關，而態(tài)矢只隨Hi(t)演化。這樣對于微擾(H情況，計算將會簡化很多。5. 二次量子化對于大量全同粒子構成的體系，任何兩個粒子的交換并不產生新的量子態(tài)，這要求體系波函數具有相應的對稱性，而簡單的單粒子本征態(tài)(只于某個粒子有關的態(tài))不具備這種對稱性，因此如果用這樣的單粒子態(tài)基函數來描述整個體系的波函數，就會使得波函數非常復雜！為了避免這種復雜性，我們采取另外一種表象一一粒子數表象，在這個表象下，我們標出所有粒子存在的態(tài)以及態(tài)上的粒子數，即nknLn-)，其中門嶺表示處于態(tài)的粒子的個數。對應于這種表示的滿足交換對稱性的歸一化波函數為：Pi4i

12、2qi43LL42(4fe)nkinm其中P為某個置換操作，在這里對所有置換求和之后，玻色子波函數自然滿足玻色子交換對稱性，而slate行列式自動滿足費米子交換反對稱性和泡利不相容原理。產生湮滅算符有好幾種引入方式，結論是：A. ak門小k?Ln：)卜l|門匕珈?g1)Ln-)aknkink2Lnkm)応|nkink2L(nki1)LrQ這個對于玻色子和費米子都是成立的，只是對于費米子要考慮nknLnJ)中泡利不相容原理導致的nki只能取0和1，其它值會導致整個波函數為0。B. 對于玻色子，對易關系為：ak,akkk，ak，ak0，ak,ak0對于費米子，對易關系為：ak,akkk，ak,a0

13、，ak,ak0C. 粒子數算符N?kakiaki，且akjnnkzLn-)壓門小k2LnJ許老師講的時候，給定B和C條件，可以推出A,其實也可以通過A和對稱波函數推出B和C。下面是部分作業(yè)題(BCA),附在這里：I.證明對于玻色子：an)Vn|n1),an)JT|n1)證：由對易關系：aa,aaaaaaaa,aaaaaaaaaa將粒子數算符作用到an)這個態(tài)上：aa(an)(aaaa)n)an)a(nn)(n1)(an)對比粒子數算符的含義，知道an)這個態(tài)的粒子數應該是(n-1),不妨設：an)cn1)i(nnn)n廠又：(naan)丿*、2cvn(n1ccn1)|c|即：an)Vn|n1)

14、同理可證：an)Jn1|n1)(自己練習吧。(丿口)o，打的好累。)n.證明對于費米子：a0)1,a1)0,a1)|o),a00aaa1(a0：J則aa(a0；)a0：a(aa0)0的粒子數為1，不妨設：a0cl又,0aa0；0(1aa)0.：1c*c1|c|2同理：aT川.寫出一維線性諧振子哈密頓量?21m2x的產生湮滅算符形式。將其它算符化為粒子數表象下的產生湮滅算符的形式:N單體算符(算符只與一個粒子相關)：F?(a)a1可以證明：FfkkQak其中fkk:k?kjk,k1N二體算符(算符與兩個個粒子相關):和弘可以證明：2牡2牡26. 角動量理論無窮小轉動算符：R(n)eingJ/h角

15、動量算符的對易關系：幾山ihjkJk，Ji,J20(J2J2jyJf)對易關系對角動量的本征值有很嚴格的限制，具體說來:由于Jz與J2對易，因此可以定義它們的共同本征態(tài)J2a,b.定義算符：JJxiJy,利用對易關系可以證明:J2(Ja,)a(J|a，b)，即Ja,b）是一個J2本征值為a,b，滿足:Jza,b)bJJxiJyJz(J|a,b)a，Jz本征值為a,b.-(bh)(J|a,b)（bh），可以設為ca,bh，c是適當的歸一化系數。J即可以看作Jz的升降算符（總角動量不變）11另外，由于j2j2j2j2(jjjj)(Jjjj22）是正定的,本征值非負，即ab20。這說明存在根據0J0

16、J(J聯(lián)立可得:這意味著2ahl(la,bkh：使得J(Ja,ba,bkh0；a,b*h；使得Ja,bkh；a,bkh：)kh)(J2(J2JzJ；hJz)a,b-khhJz)a,bkha(b*h)2h(bkh)(bkh)2h(bkh)b匕(kk_2,23kkh2()(23k2-1)b只能取h的整數倍或者半整數倍，不妨設為mh，同樣可以設i），這樣就可以用i,m來標記本征態(tài)。在這個標記下容易驗證:J2l,m；h2l(l1)l,m，Jzl,mmhl,m：l,m.h2(lm1)(lm)Jl,m；h.(lm1)(lm)l,m1；|c|2(l,mJJl,mh2(lm1)(lm)Jl,m；仏(|1)(|

17、m)l,m1角動量的耦合。OOOOOO我選擇死亡！矢量算符與張量算符矢量算符Vj滿足：D?(R)VjD(R)仆j其中D(R)是轉動算符，Rj為轉動的矩陣表示元素。rr.rr考慮無窮小轉動：D(n)ejngJ/h1，代入得:hViVj,JenVjRj(4)ihj100得:選擇轉軸z,即n(0,0,1)，則R(,z)10，代入并使001Vz,Jz0Vy,JzIhVyVy,JzIhVx同理可選擇x軸和y軸，分別得到對易關系，綜合起來為：Vi,JjIijkVk可以由此驗證坐標算符和動量算符都是矢量算符。張量算符Tq(k)滿足：(q取值-k到k)D?(R)T,k)D(R)D；qk)(R)Tq(k)qrr

18、irr同樣考慮無窮小轉動：D(4)e1ngJ/h1，hD；qk)Dqkq)(R1)(kq(1LrgJ)kqqkqncJkq)hh可以將D?(R)Tq(k)D(R)Dqqk)(R)Tq(k)化為：ngJ,Tq(k)Tq(M：kqngJkqqq經過選擇轉軸之后可以得到對易關系：(例如對于z軸，n(0,0,1)，則Jz，Tq(k)Tq(k).；kqJzkqhqTq(k)kqkqhqTq(k)qqJx和jy進行組合之后可以得到另外一個對易式)(k)(k)Jz,TqhqTqJ,Tq(k)h(kmq)(kq1)Tq畀VxiVy：2VxiVy可以證明矢量算符V的線性組合Vq:VVVoVz滿足t/）的張量算符對易形式。7. 量子體系的對稱性Noether定理：連續(xù)的對稱性變換必定對應某個守恒量或者運動常數。時間平移不變對應能量守恒