(完整版)平面向量典型題型大全

1、平面向量題型1.基本概念判斷正誤:例2(1)化簡：ABBCCD;ABAD(2)若正方形ABCD的邊長為1,ABa,BC(3)若O是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足OBDC;(與CD)(ACBD)b,ACC,則|Zbc|=Oc-.ObOc2Oa,則abc的形狀為_9.與向量a=(12,5)平行的單位向量為125A,1313段包或生包1313”9或女工,1313131310 .如圖，DE、F分別是中點，則下列等式中成立的有ABC邊ARBCCA上的FDDAAF0FDDEEF0DEDABE0ADBEAF011 .設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點,BCBA2BP,則(A.PAPB0B.

2、PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC014.如圖2,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若圖2A.AOODB. AO2ODC. AO3ODD. 2AOOD12 .已知點A(J3,1),B(0,0),C(J3,0).設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有BCCE,其中等于()A.2B.1C.-3D.-12313 .設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A.(2,6)B.(2,6)C.(2,6)D.(-2,-6)ADxAByAC,則xOC0,那么()15、已知O是4ABC所在平面

3、內(nèi)一點，口為BC邊中點且20AOB題型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果ei和&是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、 2,使a=iei+2e2。性質(zhì)：向量PA、麗、PC中三終點A、B、C共線存在實數(shù)、使得FA而PC且1.例3(1)若a(i,i)b(i,i),c(1,2),則c(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是、.i3A.e(0,0),e2(i,2)B.e(i,2)e(5,7)C.e(3,5),e2(6,i0)D.3(2,3)©(-,-)24(3)已知AD,BE分別是ABC的邊BC,AC上的中線，且ADa,BEb,

4、則BC可用向量£,6表示為(4)已知ABC中，點D在BC邊上，且CD2DB,CDrABsAC,則rs的值是一(5)平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3,i),B(i,3)，若點C滿足OCiOA2OB,其中i,2且i2i,則點C的軌跡是練習(xí)i.下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.e(0,0),62(i,2)B.ei(i,2),62(5,7)C.e(3,5),e2(6,i0)D.ei(2,3),e22.(20ii全國一5)在zXABC中,ABc,ACb.若點D滿足BD2DC，則AD=()A.2bicb.5c2b3333C.2bicD.ib2c33333.如圖所示，D是

5、ABC的邊AB上的中點，則向量CDiA.BCBA2一i一C.BCiBA2題型4向量的坐標(biāo)運算例4(i)已知點A(2,3),B(5,4),上i-B.BC-BA2iD.BCBA2C(7,i0),若APABAC(R),則當(dāng)=時，點P在第一、三象限的角平分線1 (2)已知A(2,3),B(i,4)，且一AB(sinx,cosy),x,y(一,一),則xy2 _22_(3)已知作用在點A(i,i)的三個力Fi(3,4),F2(2,5),f3(3,i),則合力FFi目目的終點坐標(biāo)是i(4)設(shè)A(2,3),B(i,5),且ACAB,AD3AB,則C、D的坐標(biāo)分別是3練習(xí)i.已知AB(4,5),A(2,3),

6、則點B的坐標(biāo)是2.設(shè)平面向量a3,5,b2,i，貝Ua2b()(A)7,3(B)7,7(C)i,7(D)i,33 .若向量AB(i,2),BC(3,4),則ACA.(4,6)B.(4,6)C.(2,2)D.(2,2)T1ab的最大值為一,2的值(6)下列命題中：a(bc)(bc)(ab)c；(ab)2_22|a|b|b|:若ab|a|2-2若abcb,則a(ab)2練習(xí)-2a-2一一2一2b;(ab)a*-22abb。其中正確的是1.已知|a|3,|b|4,且a與b的夾角為60求(1)ab,(2)a(ab),題型5.求數(shù)量積平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為，我們把數(shù)量|a

7、|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：a?b,即6?6=a|b,cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示：a?bx1x2y1y2a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a,b,其夾角為，則：aba?b0；TT+Til-2一一12-J2T+I-當(dāng)a,b同向時，a?b=ab,特別地，aa?aa,aYa；當(dāng)a與b反向時，a?b=ab；當(dāng)為銳角時，a?b>0,且a、b不同向，ab0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，a?b0,且看、b不反向，ab0是為鈍角

8、的必要非充分條件；例5(1) ABC中，|AB|3,|AC|4,|BC|5,則aBBC1.1(2)已知a(1,),b(0,),cakb,dab,c與d的夾角為一，則k等于224(3)已知同2,.b,5,ab3,則，ab等于;(4)已知a,b是兩個非零向量，且a.b.ab-則a與ab的夾角為(5)a、c的夾角；(2)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(1,0)。(1)若*=一,求向量34 一3右xe，一函數(shù)f(x)84(3)(ab)2,(4)(2ab)(a3b)。2 .已知a(2,6),b(8,10),求(1)叵|,6|,ab,3 .已知向量a=(1,1),b=

9、(2,x).若ab=1,則x=(A)-1(B)-1(C)1(D)1224已知向量a與b的夾角為120,，且ab4,那么a?b的值為5. ABC中，AB|2,BC3,B60,則AB?bC6、設(shè)5、b、c是單位向量，且3b=0,則ac?bc的最小值為()(A)2(B)板2(Q1(D)1我7、設(shè)ABC的三個內(nèi)角A,B,C,向量m(J3sinA,sinB),n(cosB,JScosA),若m.n1cos(AB),則C=()A.B.題型6求向量的夾角非零向量a,b夾角的計算公式:例6C.cosa?bD.L6|a?b|a|b|(1)已知a(,2),b(3,2),如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是1.3

10、(2)已知OFQ的面積為S,且OFFQ1,若一S，則OF,FQ夾角的取值范圍是22(3)已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式kabJ31akb,其中k0,用k表示ab;求ab的最小值，并求此時a與b的夾角的大小練習(xí)1 .已知|9|8,|b|3,ab12,求5與b的夾角。2 .已知a(J3,1),b(2j3,2),求a與6的夾角。5.已知a(m,3),b(2,1),(1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍;(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。6.若a,b是非零向量且滿足(a2b)a,(b2a)b，則a與b的夾角是(A.B.C.-D.6336題型7.求向量的

11、模向量的模：|a|JX21,a?|a|2x2y2。兩點間的距離：若Ax1,y1,BX2,y2,則|AB|例7、已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60"那么|a3b|=1.已知|a|3,|b|4,且a與b的夾角為60",求(1)|ab|,(2)12a3b|。2 .設(shè)xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,則|ab|(A)4(B)炳(Q275(D)103 .若向量a,b滿足a,1b,2且a與b的夾角為一，則3.*一.一，一一支汽11.(全國II)已知向重a=(sin0,1),b=(1,cos0),<8區(qū).(I)若a±b,求0；(n)求Ia+bI的最大值.

12、題型8投影問題b在a上的投影為|b|cos,它是一個實數(shù)，但不一定大于0。例：已知|a|3,|b|5,且ab12,則向量a在向量b上的投影為24,a與b的夾角,則向量b在向量a上的投影為33.關(guān)于a.ba.c且a0,有下列幾種說法:a(bc);bc；a.(bc)0b在a方向上的投影等于c在a方向上的投影；b其中正確的個數(shù)是(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個5.若a=(2,3),b=(4,7),則a在b上的投影為。題型9.向量的平行與垂直向量平行(共線)的充要條件：a/bab(ab)2(|a|b|)2x1y2y1x2=0。向量垂直的充要條件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20練習(xí)1

13、 .已知a(6,2),b(3,m),當(dāng)m為何值時，(1)a/b?(2)ab?-rll2 .已知平面向量a(1,2),b(2,m),且ab,則2a3b=()題型10平面向量與三角形四心四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成（2）垂心一一高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心一一角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）（4）外心一一中垂線的交點（外接圓的圓心）2:1;:角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;:外心到三角形各頂點的距離相等。結(jié)論iPAPBPC0P為ABC的重心；若Ax,yi,BX2,y2,C,則其重心的坐標(biāo)為GXlX2X3,y1y2y333結(jié)論2PAPBPBPC,PCPAP為ABC的垂心；結(jié)論3設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0O為ABC的內(nèi)心.向量（及也雪）（0）所在直線過ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）;|AB|AC|結(jié)論40AlOBOCO為ABC的外心。例10.若/ABC的三邊的中點分別為（2,1）、（-3,4）、（-1,-1）,則ABC的重心的坐標(biāo)為例11：O是平面上一定點，A、B、C