專題三：不定方程的整數(shù)解問題含答案

1、初中奧林匹克競賽培優(yōu)：不定方程的整數(shù)解問題所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些條件限制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組。數(shù)學(xué)競賽中的不定方程問題，不僅要求學(xué)生對初等數(shù)論的一般理論、方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性地解決問題。在本專題中我們一起來學(xué)習(xí)不定方程整數(shù)解的一些解法技巧?！净A(chǔ)知識】1 .不定方程整數(shù)解的常見類型：(1)求不定方程的整數(shù)解；(2)判定不定方程是否有整數(shù)解；(3)判定不定方程整數(shù)解的個數(shù)(有限個還是無限個)。2 .解不定方程整數(shù)解問題常用的解法：(1)代數(shù)恒等變形：如因式分解法、配方法、分離整數(shù)法、換元法(參

2、數(shù)法)等；(2)奇偶分析法：縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；(3)構(gòu)造法：如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)；(4)枚舉法：列舉出所有可能的情況；(5)不等式分析法：通過不等式估算法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；(6)無窮遞推法。【典型例題分析】一、代數(shù)恒等變形1、因式分解法【例1】已知x,y都是整數(shù)，且滿足xy+2=2(x+y),求x2+y2的最大值.分析：由xy+2=2(x+y),得(x2)(y2)=2x_22fx_21fx_2_2fx_21因為(x2),(y2)都是整數(shù)，所以x，或，或，或y-'2=1y-'2=2y-

3、9;2=-1y-'2=-2_Cx=4_Cx=3Xx=0Xx=1解得i，或w，或w，或wy=3y=4y=1y=0故x2+y2的最大值為25注：一般地，整系數(shù)a,b,c,d的二次方程axy+bx+cy+d=0,可變形為：a2xyabxacyad=0分解，得(axc)(ayb)=bc-ad.求整數(shù)解時，只需把整數(shù)(bc-ad)分解成兩個整數(shù)的積，axc=：轉(zhuǎn)化為解幾個方程組a,(這&<#=bc-ad)來解，通過取舍求出符合題意的整數(shù)解。ayb=#【例2】求方程x2y2+3x7y2=0的整數(shù)解(x,y).分析：原方程可化為4x2-4y2+12x-28y-8=0,配方得(2x+3)

4、2(2y+7)2+32=0所以(xy5)(x-y-2)=-8lxy5-8Jx-y-2=1因為(x+y+5)和(xy2)的奇偶性不同_Lxy5-1Ixy5=8Ixy5=1，或4，或4，或4Jx-y-28Jx-y-21Jx-y-28解得：(x,y)=(-5,-8),(2,-8),(2,1),(-5,1)2、配方法【例3】求3x2+xy+y23x+2y=0的非負(fù)整數(shù)解(x,y)的組數(shù)為()A、0B、1C、2D、3分析：由3x2+xy+y23x+2y=0,配方得4x2十(x3)2+(x+y)2+(y+2)2=13當(dāng)x圭2時，左邊>4x2216>13當(dāng)x<0時，左邊>(x-3)2

5、>16>13所以x=0或1當(dāng)x=0時，代入原方程得y=0當(dāng)x=1時，代入原方程得y=0或3因此共有3組非負(fù)整數(shù)解.3、分離整數(shù)法例4已知x,y是整數(shù)，滿足x-y+3=0,ax-ya=0,則整數(shù)a的所有可能值有(分析：由x_y+3=0,ax_y_a=0,得x=亙±3=+4為整數(shù)A. 4B. 5C. 6D. 81-a1-a根據(jù)整除性質(zhì)，可知：1a=±1,±2,±4,即a=-3,1,0,2,3,5共6個彳1.【例5】求x(x_1)+xy+y=51的正整數(shù)解.2xx51(-x2)(x1)49,c、49解：原萬程可化為y=(-x-2)x1x1x1一，一

6、，一49一因為x為正整數(shù)，且二9-是整數(shù)，所以x+1=7或49,即x=6或48x1當(dāng)x=6時，y=3；當(dāng)x=48時，y=45<0舍去故所求正整數(shù)解(x,y)=(6,3)4、換元法例6已知：x,y為整數(shù)，且y=4020.x-2009-、x二2011,求y的最大值為分析：原方程可化為y=Jx+2009+Jx-2011,令a=Jx+2009,b=Jx-2011,則y=a+ba2-b2=(x2009)-(x-2011)=4020,.一.、_2_.(ab)(a-b)=23567因為(a+b),(a-b)具有相同的奇偶性，且都是正整數(shù)故y=a+b的最大值為2父3父5父67=2010.二、奇偶分析法【

7、例7】證明方程x2+y28z=6無整數(shù)解.分析：不妨設(shè)原方程有整數(shù)解，因為x2+y2=6+8z為偶數(shù)，所以x,y具有相同的奇偶性.若x,y都是偶數(shù)，令x=2a,y=2b,代入原方程，化簡，得2a2+2b24z=3,左右奇偶數(shù)不同,矛盾。若x,y都是奇數(shù)，令x=2a+1,y=2b+1，代入原方程，化簡，得a(a+1)+b(b+1)2z=1因為a(a+1),b(b+1)都是偶數(shù)，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊奇數(shù)，矛盾.綜上，原方程無整數(shù)解?！纠?】求x2+y2=328的正整數(shù)解.分析：顯然x¥y,不妨設(shè)x>y>0,由于328是偶數(shù)，故x,y的奇偶性相同，而328能被4整除，偶數(shù)的

8、平方被4除余0,奇數(shù)的平方被4余1,所以x,y都是偶數(shù).設(shè)x=2a,y=2b,則a2+b2=82,由a>b>0,得b2<41,取b2=1,4,9,16,25,36對應(yīng)a2=81,78,73,66,57,46,故只能取a2=81,b2=1,即a=9,b=1由x,y的對稱性，因此所求正整數(shù)解(x,y)=(18,2),(2,18).三、構(gòu)造法如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)進行討論，且當(dāng)方程有整數(shù)解時，判別式為完全平方式。【例9】已知a,b都是質(zhì)數(shù)，且a213a+m=0,b213b+m=0,求m的值.分析：若a=b=2,則426+m=0,即m=22；若a#b,則a

9、,b可看作關(guān)于x的一元二次方程x213x+m=0的兩個根.由韋達定理，得ab=13,ab=m而a,b都是質(zhì)數(shù)，由a+b=13,故a,b的值只能是2或11,所以m=22因此，所求m的值為2或22.【例10】已知a,b,c是整數(shù)，且滿足a+b=3,c22c+ab=2,求a,b,c的值。分析：由a+b=3,ab=c2+2c2,可構(gòu)造以a,b為根的一元二次程t23tc2+2c2=0根據(jù)題意4=94(c2+2c2)=4c28c+17=(2c2)2十13是一個完全平方式，因此存在非負(fù)整數(shù)k，使得(2c2)2+13=k2,即k2(2c2)2=13所以"2:13k-2c2=1-k2c-2=1k-2c

10、2=13，或k=7c=-23-k3-7所以t=,即a=5,b=2,或a=-2,b=522故所求正整數(shù)(a,b,c)=(5,-2,4),(-2,5,4),(5,-2,-2),(-2,5,-2)四、枚舉法【例11】方程x+y+z=2010共有多少個正整數(shù)解?分析：當(dāng)x=k(k=1,2,3，2008)時，y+z=2010-k,此時y可取1至U(2009k),一共(2009k)個解.又x可取1到2008,2008故原方程一共有£(2009-k)=2009x2008-=2017036個正整數(shù)解。k12注：方程x+y+z=n(nwN且n23)的正整數(shù)解個數(shù)為：心(n-2)(n-1)(n-2)(n

11、-1)”(n-1-k)=(n-1)(n-2)-k422思考：方程x+y+z=2010的非負(fù)整數(shù)解共有多少個？五、不等式分析法利用整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍.【例12】求方程3x2+7xy2x5y35=0的正整數(shù)解.C2cCL分析：對于正整數(shù)x,y,由原方程得到y(tǒng)=7x-5因為x>1,y>1,所以一3x2+2x+35>7x-5,解得1ExE2分別取x=1和x=2彳導(dǎo)到y(tǒng)=17和y=3即所求的解為(x,y)=(1,17),(2,3)注：本題也可以通過分離整數(shù)法進行討論【例13】求方程5(xy+yz+zx)=4xyz的正整數(shù)解(x,y,z)為多少組？，1114_分析：原方

12、程化為一十4=xyz5111143.設(shè)xEyEz,由一<一十+=一<一，得1cx<4,所以x=2,3.xxyz5x_11311132當(dāng)x=2時，代入式，得'+1=±,由'<'+1=£_<4,yz10yyz10y得3<y<7，所以y=4,5,6將x=2及y=4,5,6分別代入式，得到所求的解(x,y,z)=(2,4,20),(2,5,10)當(dāng)x=3時，代入式，同樣的方法可以推出，方程無整數(shù)解.綜上，及x,y,z的對稱性，得到原方程有12組正整數(shù)解.六、無窮遞推法【例14】試證明方程：x2+y2+z2=2xyz無

13、非零整數(shù)解.分析：我們只需考慮x,y,z都是正整數(shù).顯然x,y,z不能都是奇數(shù)，或一奇二偶，否則左邊為奇數(shù)，而右邊是偶數(shù)，矛盾。若x,y,z是二奇一偶，不妨設(shè)x=2a+1,y=2b+1,z=2c,則方程左邊=x2+y2+z2=4(a2+a+b2+b+c2)+2不是4的倍數(shù)，而右邊是4的倍數(shù)，矛盾。因此x,y,z只能都是偶數(shù)，不妨設(shè)x=2x1,y=2y1,z=2zi,代入原方程，得x12-y12,z2=4x1ylz.類似于前面的討論，可以證明x1,%,4都是偶數(shù)。如此繼續(xù)下去，我們可得到：x=2kxk,y=2kyk,z=2kzk由于上述過程可以無限地進行下去，因而k將無限地增大，即正整數(shù)xk,y

14、k,zk將無限地小下去，這是不可能的。故原命題得證.【針對性訓(xùn)練題】A組1、已知x,y滿足xy一x-y=10,求整數(shù)x,y的值.xyyz=632、方程組iyy的正整數(shù)解的組數(shù)是()xzyz=23,A.1組B.2組C.3組D.4組3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+64)=0無實數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)a,b的值.4、已知a,b,c都是整數(shù)，且a2b=4,ab+c21=0,求a+b+c的值.5、方程xy|十|x+y|=1的有序整數(shù)解(x,y)共有組.6、設(shè)自然數(shù)x,y滿足方程x3+19y=y3+19x,其中x<y,則x+y=.7、試確定一切有理數(shù)r,使得

15、關(guān)于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有根且只有整數(shù)根.B組8、已知a,b,c都是正整數(shù)，且滿足29a+30b+31c=366,則a+b+c的值為()A.10B.12C.14D.16一一-a，一，ab=m2一、人一有一，9、一直角三角形兩直角邊a,b均是整數(shù)，且滿足i，試求這個直角三角形的三邊長ab=4m10、已知：a為自然數(shù)，且關(guān)于x的方程2xaj1xa+4=0至少有一個整數(shù)根,則a可能的值為.x3y-2z=011、已知三個正整數(shù)x,y,z的最大公約數(shù)為3,且滿足2222，則x+y+z=.2x-3y-z=013、已知a,b,c均為整數(shù)，且恒有(xa)(x-10)+1=(x+b)(x+c),則整數(shù)a=.“2i2-八-./rrI、r擊心JEH'b-5a_6b一3c+15=0413/士12、已知a,b為整數(shù)，且滿足«,求abc的值.a3c-4=0C組2114、已知正整數(shù)