專題02分解因式初升高數(shù)學(xué)銜接教材系列一解析版

1、專題02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法要點(diǎn)一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式x2bxc,-pqc&2,右存在，則xbxcxpxqpqb要點(diǎn)詮釋：（1）在對(duì)x2bxc分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)c的正、負(fù)入手，若c0,則p、q同號(hào)（若c0,則p、q異號(hào)），然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)b的正負(fù)再確定p、q的符號(hào)；（2）若x2bxc中的b、c為整數(shù)時(shí)，要先將c分解成兩個(gè)整數(shù)的積（要考慮到分解的各種可能），然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于b,直到

2、湊對(duì)為止.要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式ax2bxc（awo）中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即aa1a2,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即cc1c2,把a(bǔ)1,a2,c1,c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1,若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b,即Ac?a2Gb,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式axg與a?xq之積，即ax2bxca1xga2xc2.要點(diǎn)詮釋:（1）分解思路為“看兩端，湊中間”(2)二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上典型考題【典型例題】

3、閱讀與思考：將式子卜-6¥+9分解因式.法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形由V+s+qR+p4=(+2)(*+如得G+p)(x+q)=/+；分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)g=(-2)x(-4),一次項(xiàng)系數(shù)-6=(-2)+(-4),所以.：解：1.法二：配方的思想.-：，.,=;，-6x+9-9+e=a-3)|(工34-1)(x31)|"(x-1)lx-4)請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)用兩種方法分解因式：F+21|；(2)任選一種方法分解因式：寸-M-G-3.【答案】(1)U-?；'口-K；5)(1+3)"-3)【解析】(1)法一：/-10T+21|

4、"(x-3),(x7),法二：-1/-6+L-6-3)二/-5)(/一力-(x2-5)(x+m)a-3).或(/6)°2(r-6)-3=(x2-6)<2(6)+1-1-3=(x2-6-l)2-l|二(工27尸-4二(工工一7十2)(#2T7+2)"-5)(/二(/-5)0+皿-3)【變式訓(xùn)練】閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+(m+n)x+mn的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).例如：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2>3=(x+2)(x+

5、3).運(yùn)用上述方法分解因式：(1) x2+6x+8；(2) x2-x-6；(3) x2-5xy+6y2；(4)請(qǐng)你結(jié)合上述的方法，對(duì)多項(xiàng)式x3-2x2-3x進(jìn)行分解因式.【答案】(1)!”+幻。+4)；|5+2)*-?：；式【解析】解：(1)/+(常+B=(*+2)(x+4)；(2)xr-6=(x+2)(x-3)(3)x2-Sxy+6y2=(Jf-2y)(x-3y)；(4)-2x2-3x=x(x一3)(m+1)|.故答案為：(1)(2)"2：8為；(3)(4)泊飛一尊飛十1.【能力提升】由多項(xiàng)式的乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用，即可得到用十字

6、相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).實(shí)例分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2X3=(x+2)(x+3).(1)嘗試分解因式：x2+6x+8；(2)應(yīng)用請(qǐng)用上述方法解方程：x2-3x-4=0.【答案】(1)(x+2)(x+4);(2)x=4或x=-1.【解析】原式=(x+2)(x+4)；(2)x2-3x-4=(x-4)(x+1)=0,所以x4=0或x+1=0,即x=4或x=-1.高中必備知識(shí)點(diǎn)2:提取公因式法與分組分解法1 .提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形

7、，這種因式分解的方法叫做提公因式法。2 .符號(hào)語言：mambmcm(abc)3 .提公因式的步驟：(1)確定公因式(2)提出公因式并確定另一個(gè)因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)另一個(gè)因式原多項(xiàng)式公因式4 .注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底典型考題【典型例題】閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是,共應(yīng)用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-Tx(x+1)2004,則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是.(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(

8、x+1)n(n為正整數(shù)).【答案】(1)提公因式，兩次；(2)2004次，(x+1)2005；(3)(x+1)n+1【解析】(1)上述分解因式的方法是：提公因式法，共應(yīng)用了2次.故答案為：提公因式法，2次；(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)2004,=(1+x)1+x+x(1+x)+x(x+1)2003?=(1x)2114X4(142X4(143()2003個(gè)(1x)=(1+x)2005,故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)，+x(x+1)2004,則需應(yīng)用上述方法2004次，結(jié)果是：(x+1)2005(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2-+x(x

9、+1)n(n為正整數(shù))的結(jié)果是：(x+1)n+1.故答案為：(x+1)n+1.【變式訓(xùn)練】因式分解：(1) 16a2-4b2(2) x3-2x2+x(3) (a2-2b)2-(1-2b)2【答案】(1)4(2a+b)(2a-b)；(2)x(x-1)2；(3)(a2-4b+1)(a+1)(a-1).【解析】解：(1)原式=4(4a2-b2)=4(2a+b)(2a-b);(2) x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2；(3) (a2-2b)2-(1-2b)2=(a2-2b+1-2b)(a2-2b-1+2b)=(a2-4b+1)(a+1)(a1).【能力提升】分解因式：(1) -4山

10、)-鼬士+10b(2) 2(n-m)2m(rn-n)(3) ya-b)2-3y(b-a)(4)|6(m-tt)a-IZCit-m)2!(5)/+?x+l=0,求41m+”豌岫的值【答案】(1)-2b(2a+4b-5)；(2)(n-m)(2n-m)；(3)3y(a-b)5a-5b+1；(4)6(n-m)2(m-n-2)；(5)0【解析】(1) +LOb=-2b(2a+4b-5);(2) =2(n-rn)2+m(n-m)=(n-m)(2n-m);(3) 15y(0-b)2-3¥出7)=15¥("8/+：亞9-坊=37("方)5"5制+1(4)m-吟

11、*-12(n-m)a=僅m-爐一2(m一寸二61m-n)m-n-2)W口+6高中必備知識(shí)點(diǎn)3:關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a+0)的因式分解若關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、x2,則二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)就可分解為a(xx1)(xx2).典型考題【典型例題】因式分解：:【答案】【解析】解：原式(x-2)(r+4)(x-kl)2【變式訓(xùn)練】分解因式：一+(/-x)-6.【答案】(x2-x+3)(x+1)(x-2).【解析】原式=(x2-x+3)(x2-x-2)=(x2-x+3)(x+1)(x-2).【能力提升】閱讀材料：對(duì)于多項(xiàng)式x2+2ax+a2可以直接用公式

12、法分解為(x+a)2的形式.但對(duì)于多項(xiàng)式x2+2ax3a2就不能直接用公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在x2+2ax3a2中先加上一項(xiàng)a2,再減去a2這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變.解題過程如下:x2+2ax3a2=x2+2ax-3a2+a2-a2(第一步)=x2+2ax+a2a23a2(第二步)=(x+a)2(2a)2(第三步)=(x+3a)(x-a).(第四步)參照上述材料，回答下列問題：(1)上述因式分解的過程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法()A.提公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法D.沒有因式分解(2)從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：;(3)請(qǐng)你參照上述

13、方法把m26mn+8n2因式分解.【答案】(1)C;(2)平方差公式法；(3)(m-2n)(m-4n).【解析】(1)C;(2)平方差公式法；(3)m2-6mn+8n2=m26mn+8n2+n2n2=m26mn+9n2n2=(m-3n)2-n2=(m2n)(m4n).專題驗(yàn)收測試題1 .下列分解因式正確的是()A.m4-8m2+64=(m2-8)2B,x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)C.4a2-4a+1=(2a-1)2D.a(xy)b(yx)=(xy)(ab)【解析】A.原式不能合并，錯(cuò)誤；B,原式=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y),錯(cuò)誤；C.原式=(2

14、a-1)2,正確；D.原式=(x-y)(a+b),錯(cuò)誤.故答案選C.2 .將b3-4b分解因式，所得結(jié)果正確的是()A.b(b2-4)B,b(b-4)2C.b(b-2)2D.b(b+2)(b-2)【答案】D【解析】解：b3-4b=b(b2-4)=b(b+2)(b-2).故選：D.3 .下列各式因式分解正確的是()B.2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2D.a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)A.a2+4ab+4b2=(a+4b)2C.3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故選項(xiàng)A不正確；2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不

15、是因式分解，B不正確；3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b),故選項(xiàng)C不正確；a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正確,故選D.4 .下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()B.9-曠=-"C.-3a2b-2a-b=a2b【答案】D【解析】A選項(xiàng)：(a2)3=(a2)?(a2)?(a2)=a6,/.A選項(xiàng)的答案不對(duì)；B選項(xiàng)：先默寫完全平方公式；(a-b)2=a2-2ab+b2,，B選項(xiàng)的答案不對(duì);C選項(xiàng)：提取公因數(shù)a2b；-3a2b-2a2b=(-2-3)a2b=-5a2b,/.C選項(xiàng)的答案正確;D選項(xiàng)：提取公因數(shù)a2;-a2b+a2=(-b+1)a2,D選項(xiàng)的

16、答案不對(duì);故選：C.5 .多項(xiàng)式3x2y-6y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式正確的是()A.3y("必人必C.y(3x2-6)【答案】A【解析】解：3x2y-6y=3y(x2-2)=3y(x+1j)(x-、吃)故選：A.6 .下列變形屬于因式分解的是(A.4x+x=5xC,x2+x+1=x(x+1)+1【答案】DB.3y(x2-2)d.+B.(x+2)2=x2+4x+4D.x2-3x=x(x3)【解析】解：A、是整式的計(jì)算，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)正確

17、.【答案】D7 .在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式x2+x-1分解因式正確的是()解：令x2+x-1=0,卜1十a(chǎn).1-/解得：Xi=,X2=,1.第|1+<5I-IRX貝Ux2+x-1=(x+2).(X+2)故選：D.8.下列分解因式正確的是(I)B.爪2-2m+1;(m+1尸D.1：；一"1'A./+/=(*+¥)(7)C16=(c+4)(u-4)【答案】C【解析】解：A、原式不能分解，錯(cuò)誤；B、原式1=(加-以,錯(cuò)誤；C、原式二(0+4)(廿-4),正確；D、原式=*(/_l)=ri>+DO_1J,錯(cuò)誤.故選：C.9,下列各式中，不是多項(xiàng)式2x2-4x+2

18、的因式的是()A.2B,2(xT)C.(x-1)2D.2(x-2)【答案】D【解析】原式=2(x2-2x+1)=2(x-1)2。故選：D.10 .已知a,b,c是ABC的三邊長，且滿足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,則4ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】解：a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0,(a3-a2b)+(ab2-b3)-(ac2-bc2)=0,/.a2(a-b)+b2(a-b)-c2(a-b)=0,(a-b)(a2+b2-c2)=0,a-b=0或

19、a2+b2-c2=0.a=b或a2+b2=c2.故BBC的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：C.11 .因式分解：a2(a-b)-4(ab)=.【答案】【解析】a2(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a？-4)=(a-b)(a-2)(a+2),故答案為：(a-b)(a-2)(a+2).12 .分解因式：4。之-鉆+1=.【答案】【解析】解：儲(chǔ)-+1=3-故答案為：1-1)2.13 .在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：xy2-3x=【答案】x(y+百)(y-<3)【解析】解：xy2-3x=x(y2-3)=xy2-(-.3)2=x(y+J3)(v-43),故填：x(y+石)(y-73),14 .分解

20、因式：2a3b-8ab=.【答案】2ab(a+2)(a-2)【解析】解：原式=2ab(a24)=2ab(a+2)(a2),故答案為：2ab(a+2)(a-2).15 .把多項(xiàng)式x36x29x分解因式的結(jié)果是一，、_2【答案】xx3【解析】oc22x36x29x=xx3x9=xx32故答案為：xx316 .分解因式：ab2-2a2b+a2=.【答案】a(b2-2ab+a).【解析】原式=a(b2-2ab+a).故答案為：a(b2-2ab+a).17 .閱讀下列材料，解決問題：12345678987654321這個(gè)數(shù)有這樣一個(gè)特點(diǎn)：各數(shù)位上的數(shù)字從左到右逐漸增大(由1到9,是連續(xù)的自然數(shù))，到數(shù)9

21、時(shí)，達(dá)到頂峰，以后又逐漸減小(由9到1),它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數(shù).記第一個(gè)橄欖數(shù)為a1=1,第二個(gè)橄欖數(shù)為a2=121,第三個(gè)橄欖數(shù)為a3=12321有趣的是橄欖數(shù)還是一個(gè)平而且，橄欖數(shù)可以變形成如下對(duì)稱式:12122221211232133333312321方數(shù)，如1=12,121=112,12321=1112,1234321=11112根據(jù)以上材料，回答下列問題(1) 11111112=;將123454321變形為對(duì)稱式：123454321=(2) 一個(gè)兩位數(shù)(十位大于個(gè)位)，交換其十位與個(gè)位上的數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，將原數(shù)和新數(shù)相加，就能得到橄欖數(shù)121,求這個(gè)兩位數(shù).

22、(3)證明任意兩個(gè)橄欖數(shù)am,an的各數(shù)位之和的差能被m-n整除(m=1,29,n=1,29,m>n)一5555555555【答案】(1)1234567654321彳23454321；6574?83?92;(3)任意兩個(gè)橄欖數(shù)am,an的各數(shù)位之和的差能被m-n整除.【解析】(1)根據(jù)題中給出的定義，直接可得:11111112=1234567654321,123454321=12555555555534543(2)設(shè)十位數(shù)字是x,個(gè)位數(shù)字是v,x>y,10x+y+10y+x=11(x+y)=121,x+y=11,，這個(gè)兩位數(shù)是65,74,83,92;m(m1)m(m1)2(3) a

23、m的各數(shù)位之和1+23+Tm+(m1)+-+2+1=m2,22n(n1)n(n1)2an的各數(shù)位N和1+2+3+m+(m1)+-+2+1=n2,22am,an的各數(shù)位之和的差為m2-n2=(m+n)(m-n),m>n,m2-n2=(m+n)(mn)能被m-n整除，任意兩個(gè)橄欖數(shù)am,an的各數(shù)位之和的差能被m-n整除.18 .如果x2+Ax+B=(x3)(x+5),求3AB的值.【答案】21.【解析】解：x2+Ax+B=(x3)(x+5)=x2+2x-15,得A=2,B=-15.3A-B=3X2+15=21.故答案為：21.19 .閱讀例題，回答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式：x2-4x+m

24、有一個(gè)因式是x+3,求另一個(gè)因式以及m的值.解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n,得x24x+m=(x+3)(x+n),貝Ux2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.儼+3=m=3nn=-7m=-21，另一個(gè)因式為X-7,m=21.仿照以上方法解答下面的問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+3x+k有一個(gè)因式是2x-5,求另一個(gè)因式以及k的值.【答案】另一個(gè)因式為(x+4),k的值為20.【解析】解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得2x2+3x-k=(2x-5)(x+n)=2x2+(2n-5)x-5n,pn-5=3則I*=5日解得：n=4,k=20,故另一個(gè)因式為(x+4),k的值為20.20 .仔細(xì)閱讀下面例題，解答

25、問題：例題，已知二次三項(xiàng)式x24x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n),則x24x+m=x2+(n+3)x+3n.|fn+匕-4解得n=7,m=21,，另一個(gè)因式為(x-7),m的值為一21.問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式3x2+5xm有一個(gè)因式是(3x-1),求另一個(gè)因式以及m的值.【答案】另一個(gè)因式為(x+2),m的值為2.【解析】解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),則3x2+5xm=(3x1)(x+n),則3x2+5xm=3x2+(3n1)xn,解得n=2,m=2,，另一個(gè)因式為(x+2),m的值為2.21 .閱讀下列材料，解答下列問題：材料1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式.如果把整式的乘法看成一個(gè)變形過程，那么多項(xiàng)式的因式分解就是它的逆過程.公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一種基本方法.如對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+2ab+b2,