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1、7 矩陣的有理標準形主講主講: :向大晶向大晶7 7 矩陣的有理標準形矩陣的有理標準形一、多項式的伴侶矩陣Definition對數(shù)域 上的一個多項式 11( )nnndaa稱矩陣 121000000001011nnnaaaaA為多項式 的伴侶陣。 P( )dProposition 一般地: 已知一個矩陣,對于它的每一個非常數(shù)不變因子,都能求出其伴侶陣.Remark nn以上命題表明，給定一個 次多項式( )f,一定有一個 階矩陣,它的特征矩陣只有一個非常數(shù)的不變因子 .( )f的伴侶陣 的不變因子為 1,1,1,() .dA()d于是111,()()sEAddMethod 設 是 階方陣,其特

2、征矩陣 中非常數(shù)的不變因子有 個: 因而有 ()ijAan()EAs12( ),( ),( ),sddd1( ) |( ),(1,2,1)iiddis令1212,1()iiiiinnniiii nindaaaa作 階矩陣n12sNNFN,211000100010001iiinniiiiinaaaaN其中1,2, ;iisnnTheorem 相似于相似于 。AFCorollaryDefinition 稱定理中的 為矩陣 的有理 標準形。 FA矩陣 是數(shù)量矩陣的充分必要條件是它的特征矩陣的不變因子都是非常數(shù)。ATheoremTheoremnn數(shù)域 上 方陣 在上相似于唯一的一個有理標準形，稱為 的

3、有理標準形.PAAnn數(shù)域 上 方陣 在上相似于唯一的一個有理標準形，稱為 的有理標準形.PAAnn數(shù)域 上 方陣 在上相似于唯一的一個有理標準形，稱為 的有理標準形.PAA設 是數(shù)域 上 維線性空間 的線性變換，則在 中存在一組基，使 在該基下的矩陣是有理標準形，并且這個有理標準形由 唯一決定的，稱為 的有理標準形.nVVPExample求0 1 11 0 11 1 0A的有理標準形。Ans.Solution容易看出21232123111111( ) 1,( )1,( )(1) (2)( ) 1,( )1,( )2AAAEADDDddd 故， 的有理標準形為A100002011返回設 ，而 為它的不變因子，證明： 習題112( ),( ),( )ndddn nAP( )( )Anmd習題2設 ，則 為數(shù)量矩陣的充分必要條件是它的特征矩陣 的 階行列式因子 是 次的。 An nAPEA1( )nD1n 1n 習題3證明：對任何 矩陣( )A，恒有211( ) |( )( )iiiDDD習題40EA12( ),(

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