利用“雞爪定理”構(gòu)型解題(高考幾何01)

1、第4頁共4頁“雞爪定理”構(gòu)型解題(高考幾何01)I三1=1例1、命題1：設(shè)I是AABC的內(nèi)心，延長AI交外接圓于S點。求證：SI=SB=SC。證明：聯(lián)結(jié)BI。VZSIB=ZIAB+ZIAB=(1/2)ZA+(1/2)ZB,ZSIB=ZIBC+ZSBC=ZIBC+ZSAC=(1/2)ZA+(1/2)ZB,SBI是等腰三角形，即SI=SBO因為三條線段像雞爪，俗稱雞爪定理。它雖然簡單，但是是內(nèi)心最核心的性質(zhì)，幾乎涉及到內(nèi)心及外接圓的問題都要用它來解決。雞爪定理等價于IBC外心，進一步：例2、命題2：設(shè)M在BC上，MS交圓O于M',貝J(SBa2)=SM'*SM證明:VZSCM

2、9;=(1/2)ZS0M'=90°-ZOSM'=ZSMB故SM'CSCM則(SB"2)=SM*SM本結(jié)論也很簡單，一般稱兩個相似三角形為母子型相似，或者切割線定理逆定理。證明方法很多也可以利用根軸或者圓冪定理證明。-d這兩個結(jié)論看起來比較非常容易，但是因為結(jié)構(gòu)很常見，導(dǎo)致其應(yīng)用及其廣泛。運用之妙，存乎之心，幾何的奇妙之處就在用最簡單的招式解Y決復(fù)雜的問題。下面講解幾個我最近遇到的幾個用雞爪定理解決的問題。I丿過I的BC的垂線交圓于P、Q,PA、QA交BC于E、F。求證：AIEF共圓。證明：如圖添加輔助線,由雞爪定理得SC=SI=SB,由命題2得ZKJ

3、S=ZSCP=ZSAP,故AKPJ共圓;又（S2）=SP*SJ,則ZSIP=ZSJI,又ZSAP=ZKJP,則ZIJD=ZIPE;故IJ丄AP,則已為厶IPJ垂心，則ZIED=ZIPJ=ZSAF,故AIEF共圓例4、已知：如圖，0、I為AABC外心、內(nèi)心，B關(guān)于OI的對稱點為B'，求證：過I、8'作厶BIB'的切線的交點在AC上。證明一：如圖，BI交圓O于G,GB'交CA于H，過I、BV*ABIB'外接圓的切線交于點E；由雞爪定理得GA=GC=GI，由引理2知GI2)=GC2)=GB'*GH,則厶GIB'GHI,ZGHI=ZGIB'

4、;=2ZIBB'=ZIFB',故FHB'I共圓；則ZFHE=ZFHB'-ZB'HE=ZOIB'-ZIBB'=90又FIEB'共圓，則FIEB'H共圓；則ZFHE=ZFIE=90°=ZFHC,故E在AC上,即過I、BV*ABIB'的切線的交點在AC上;H證明二：如圖，Al、CI交圓O于H、G,設(shè)過I的IO的垂線交AC、GH于E、T,由蝴蝶定理知IE=IT；由雞爪定理知GB=GI，HB=HI，故FGH共線且為BI中垂線，則TB=TI，故TB為圓F切線；由對稱知EB'為圓F的切線，即過I、BV*ABIB

5、'的切線的交點在AC上;例5、已知：如圖，I為AABC內(nèi)心，D在其外接圓上，過D的圓的切線交BC于P,DPC內(nèi)角平分線交BI、CI于E、F。求證FIED共圓。此題引發(fā)了很多討論，也有很多有趣而精妙的證明。尤其是黃利兵老師將其本質(zhì)抽取，推廣得到了一個更一般的結(jié)論。慎審題多思考多Justforyou!例6、已知：如圖，D'在圓M的弦BC上，MD*MD'=(MBA2),I為圓M上一點，Bl、CI交DD'中垂線于E、F。故FD'2)=DF2)=FM2)-MB2)=FI*FC(事實上EF為點D與圓M的根軸),由引理2知ZFD'I=ZFCD',同理ZED'I=ZEBC,故ZFDE=ZFD'E=ZFCD'+ZEBC=180°-ZFIE,故D,E,I,I共圓最后以一個類似