直線與平面、平面與平面平行的判定(附答案)

1、直線與平面、平面與平面平行的判定 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義.2. 會(huì)用圖形語言、文字語言、 符號(hào)語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用 .3. 能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡單問題 .知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理語言敘述符號(hào)表示圖形表示a? 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平b? ?行，則該直線與此平面平行a ba 思考若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個(gè)平面平行嗎？答根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理語言

2、敘述符號(hào)表示圖形表示a? ，b? 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平a bA?面平行，則這兩個(gè)平面平行a ，b 思考如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面也平行嗎？答不一定 . 這條直線與另一個(gè)平面平行或在另一個(gè)平面內(nèi).題型一直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用例 1如圖，空間四邊形ABCD中， E、 F、G、 H 分別是AB、 BC、 CD、 DA的中點(diǎn) .求證： (1) EH平面 BCD；(2) BD平面 EFGH.證明(1) EH為 ABD的中位線，EH BD.EH? 平面 BCD， BD? 平面 BCD，EH平面 BCD.(2) BD EH， BD? 平面 EFGH

3、，EH? 平面 EFGH，BD平面 EFGH.跟蹤訓(xùn)練1在四面體A BCD中， M，N分別是 ABD和 BCD的重心， 求證： MN平面 ADC.證明如圖所示，連接BM， BN并延長，分別交AD， DC于 P， Q兩點(diǎn)，連接 PQ.因?yàn)?M， N分別是 ABD和 BCD的重心，所以 BM MP BN NQ21.所以 MN PQ.又因?yàn)?MN? 平面 ADC， PQ? 平面 ADC，所以 MN平面 ADC.題型二面面平行判定定理的應(yīng)用例 2 如圖所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，點(diǎn) D，E分別是 BC與 B1C1 的中點(diǎn) . 求證：平面 A1EB平面 ADC1.證明由棱柱性質(zhì)知，B1C1

4、BC， B1C1 BC，又 D， E 分別為 BC，B1C1 的中點(diǎn)，所以 C1E 綊 DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形，因此 EB C1D，又 C1D? 平面 ADC1，EB? 平面 ADC1，所以 EB平面 ADC1.連接 DE，同理， EB1 綊 BD，所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED綊 B1B.因?yàn)?B1B A1A，B1B A1A( 棱柱的性質(zhì) ) ，所以 ED綊 A1A，則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以 A1E AD，又 A1E? 平面 ADC1， AD? 平面 ADC1，所以 A1E平面 ADC1.由 A1E平面 ADC1， EB平面 ADC1，A1E? 平面 A1

5、EB，EB? 平面 A1EB，且 A1E EB E，所以平面A1EB平面 ADC1.跟蹤訓(xùn)練2已知 ABCD A1B1C1 D1 是棱長為3 的正方體，點(diǎn)E 在 AA1 上，點(diǎn) F 在 CC1上，點(diǎn) G在 BB1 上，且 AE FC1 B1G 1， H是 B1C1 的中點(diǎn) .求證： (1) E， B， F，D1 四點(diǎn)共面；(2) 平面 A1GH平面 BED1F.證明(1) AE B1G1， BGA1E 2.又 BG A1E，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1G BE.連接 FG. C1F B1G， C1F B1G，四邊形 C1FGB1是平行四邊形，F(xiàn)G C1B1 D1A1， FG C1B1 D

6、1A1，四邊形 A1GFD1是平行四邊形，A1G D1F， D1F EB.故 E， B， F， D1 四點(diǎn)共面 .3(2) H是 B1C1 的中點(diǎn)， B1H 2.B1G2又 B1G 1， B1H 3.FC2又 ，且 FCB GB1H90°，BC 3 B1HG CBF， B1GH CFB FBG， HG FB.又由 (1) 知， A1G BE，且 HG A1G G， FB BE B，平面 A1GH平面 BED1F.題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用例 3 在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， O為底面 ABCD的中心， P是 DD1 的中點(diǎn)，設(shè) Q是 CC1上的點(diǎn). 問：

7、當(dāng)點(diǎn) Q在什么位置時(shí)，平面 D1BQ平面 PAO？請(qǐng)說明理由 .解當(dāng) Q為 CC1 的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面 PAO.理由如下：連接 PQ. Q為 CC1 的中點(diǎn)， P 為 DD1 的中點(diǎn)，PQ DCAB， PQDC AB，四邊形 ABQP是平行四邊形，QBPA.又 O為 DB的中點(diǎn)， D1B PO.又 PO PA P， D1BQB B，平面 D1BQ平面 PAO.跟蹤訓(xùn)練3如圖，三棱柱ABCA1B1C1 的底面為正三角形，側(cè)棱A1A底面是棱 CC1，BB1 上的點(diǎn)， EC2FB. M是線段 AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，ABC，E，F(xiàn) 分別BM平面 AEF？請(qǐng)說明理由 .解當(dāng) M為 AC

8、中點(diǎn)時(shí)，BM平面AEF. 理由如下：方法一如圖1，取AE的中點(diǎn)O，連接OF， OM.O， M分別是 AE， AC的中點(diǎn)，1OM EC，OM 2EC.又 BF CE， EC 2FB， OM BF， OM BF，四邊形 OMBF為平行四邊形，BMOF.又 OF? 面 AEF， BM? 面 AEF，BM平面 AEF.方法二如圖 2，取 EC的中點(diǎn)P，連接PM， PB.PM是 ACE的中位線，PM AE.EC 2FB 2PE， CC1BB1， PE BF， PE BF，四邊形 BPEF是平行四邊形，PBEF.又 PM? 平面 AEF，PB? 平面 AEF，PM平面 AEF， PB平面 AEF.又 PM

9、 PB P，平面 PBM平面 AEF.又 BM? 面 PBM， BM平面 AEF.面面平行的判定例 4 已知在正方體 ABCD A B C D中， M， N分別是 A D， A B的中點(diǎn)，在該正方體中是否存在過頂點(diǎn)且與平面 AMN平行的平面？若存在， 試作出該平面， 并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由 .分析根據(jù)題意畫出正方體，根據(jù)平面AMN的特點(diǎn)， 試著在正方體中找出幾條平行于該平面的直線，然后作出判斷，并證明.解如圖，與平面AMN平行的平面有以下三種情況：下面以圖為例進(jìn)行證明.如圖，取B C的中點(diǎn) E，連接 BD，BE， DE，ME， B D，可知四邊形ABEM是平行四邊形，所以 BE

10、AM.又因?yàn)?BE? 平面 BDE， AM? 平面 BDE，所以 AM平面 BDE.因?yàn)?MN是 A B D的中位線，所以 MN B D.因?yàn)樗倪呅蜝DD B是平行四邊形，所以 BD B D.所以 MN BD.又因?yàn)?BD? 平面 BDE， MN? 平面 BDE，所以 MN平面 BDE.又因?yàn)?AM? 平面 AMN， MN? 平面 AMN，且 AM MN M，所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN平面 BDE.1. 過直線 l 外兩點(diǎn)，作與l 平行的平面，則這樣的平面()A. 不可能作出B. 只能作出一個(gè)C.能作出無數(shù)個(gè)D. 上述三種情況都存在2. 經(jīng)過平面 外兩點(diǎn)，作與 平行的平面，

11、則這樣的平面可以作()A.1 個(gè)或 2個(gè)B.0 個(gè)或 1個(gè)C.1 個(gè)D.0 個(gè)3. 若線段 AB， BC，CD不共面， M， N， P 分別為線段 AB， BC， CD的中點(diǎn)，則直線 BD與平面MNP的位置關(guān)系是 ()A. 平行B. 直線在平面內(nèi)C.相交D. 以上均有可能4. 在正方體 11 11 中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()EFGH E F GHA. 平面 E FG 與平面 EGHB. 平面 FHG與平面 F HG111111C.平面 F1H1H與平面 FHE1D. 平面 E1HG1與平面 EH1G5. 梯形 ABCD中， ABCD， AB? 平面 ， CD? 平面 ，則直線 CD與

12、平面 的位置關(guān)系是_.一、選擇題1. 下列說法正確的是()若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.A. B. C.D.2. 平面 與平面 平行的條件可以是()A. 內(nèi)有無窮多條直線與 平行B. 直線 a， a，且直線a 不在 與 內(nèi)C.直線a?，直線 ?，且b，baD. 內(nèi)的任何直線都與 平行3. 六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有()A.2 對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)4. 如果直線a

13、平行于平面，那么下列命題正確的是()A. 平面 內(nèi)有且只有一條直線與a 平行B.平面 內(nèi)有無數(shù)條直線與a 平行C.平面 內(nèi)不存在與a 平行的直線D.平面 內(nèi)的任意直線與直線a 都平行5. 在空間四邊形 ABCD中， E，F(xiàn) 分別為 AB，AD上的點(diǎn)，且 AE EB AF FD14，又 H，G分別為 BC， CD的中點(diǎn)，則 ()A. BD平面 EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B. EF平面 BCD，且四邊形EFGH是梯形C.HG平面 ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D.EH平面 ADC，且四邊形EFGH是梯形6. 平面 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面 的距離相等且不為零， 則 與 的位置關(guān)系為

14、()A. 平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7. 已知直線l ， m，平面 ，下列命題正確的是()A. l ， l ? B. l ， m ， l?， m? C.l m，l ?，m? D. l ，m ，l ?，m?，l m M? 二、填空題8. 三棱錐 SABC中， G為 ABC的重心， E 在棱 SA上，且 AE 2ES，則 EG與平面 SBC的關(guān)系為_.9. 如圖是正方體的平面展開圖 . 在這個(gè)正方體中，BM平面 DE； CN平面 AF；平面 BDM平面 AFN；平面 BDE平面 NCF.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_.10. 右圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，

15、E，F(xiàn)，G，H分別為 PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：平面 EFGH平面 ABCD； PA平面 BDG；EF平面 PBC； FH平面 BDG；EF平面 BDG；其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.三、解答題11. 如圖，在已知四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，點(diǎn) M，N，Q分別在 PA，BD，PD上，且 PM MA BN NDPQ QD. 求證：平面MNQ平面 PBC.12. 如圖，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， M是棱 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N在側(cè)面 AA1D1D上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N滿足什么條件時(shí)，MN平面 BB1D1 D?當(dāng)堂檢測(cè)答案1. 答案 D解析

16、設(shè)直線外兩點(diǎn)為A、 B，若直線 AB l ，則過 A、 B可作無數(shù)個(gè)平面與l 平行；若直線AB與 l 異面，則只能作一個(gè)平面與l 平行；若直線AB與 l 相交，則過A、 B 沒有平面與l平行 .2. 答案 B解析當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面 平行時(shí)，可作出一個(gè)平面 使 .當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面 相交時(shí)，由于作出的平面又至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故經(jīng)過兩點(diǎn)的平面都與平面 相交，不能作出與平面 平行的平面 . 故滿足條件的平面有0 個(gè)或 1 個(gè) .3. 答案 A解析連接 NP，因?yàn)?N、P 分別是 BC、CD的中點(diǎn)， M是 AB的中點(diǎn)， AB、 BC、 CD不共面，所以直線 BD不在平面 MNP上. 直線 BD

17、與平面 MNP平行 .4. 答案 A解析如圖， EGE1G1，EG? 平面 E1FG1，E1G1? 平面 E1FG1，EG平面 E1FG1，又 G1F H1E，同理可證 H1E平面 E1FG1，又 H1E EG E，平面 E1FG1平面 EGH1.5. 答案 CD 解析因?yàn)?AB CD， AB? 平面 ， CD? 平面 ，由線面平行的判定定理可得CD .課時(shí)精練答案一、選擇題1. 答案 D解析 如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1 中，在平面 ABCD內(nèi)，在 AB上任取一點(diǎn) E，過點(diǎn) E作 EF AD，交 CD于點(diǎn) F，則由線面平行的判定定理，知 EF，BC都平行于平面 ADD1A1，用同

18、樣的方法可以在平面 ABCD內(nèi)作出無數(shù)條直線都與平面 ADD1A1 平行，但是平面 ABCD與平面 ADD1A1 不平行，因此都錯(cuò)； 正確， 事實(shí)上，因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個(gè)平面，所以這兩個(gè)平面必?zé)o公共點(diǎn) ( 要注意“任意一條直線”與“無數(shù)條直線”的區(qū)別) ；是平面與平面平行的判定定理，正確 .2. 答案D解析對(duì)于 A 項(xiàng)，當(dāng) 與 相交時(shí)， 內(nèi)也有無數(shù)條直線都與交線平行，故A 錯(cuò)誤；對(duì)于 B 項(xiàng)，當(dāng) a 平行于 與 的交線時(shí)，也能滿足，但此時(shí) 與 相交，故 B 錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng) a 和 b 都與 與 的交線平行時(shí)，也能滿足，但此時(shí) 與 相交，故 C錯(cuò)誤；對(duì)于 D 項(xiàng)， 內(nèi)的任

19、何直線都與 平行，故在一個(gè)平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平面，故 D正確.3. 答案C解析側(cè)面中有3 對(duì)，對(duì)面相互平行，上下兩底面也相互平行.4. 答案 B解析 如圖，直線 B1C1平面 ABCD，B1C1 BC， B1C1AD， B1C1 EF( E， F 為中點(diǎn) ) 等，平面ABCD內(nèi)平行于 BC的所有直線均與 B1C1 平行 . 但 AB與 B1C1 不平行 .5. 答案 B解析易證 EF平面 BCD.1由 AE EB AF FD，知 EFBD，且 EF 5BD.又因?yàn)?H，G分別為 BC， CD的中點(diǎn)，1所以 HG BD，且 HG 2BD.綜上可知， EF HG，EF HG，所以四邊

20、形EFGH是梯形，且EF平面 BCD.6. 答案 C解析若三點(diǎn)分布于平面 的同側(cè)，則 與 平行，若三點(diǎn)分布于平面 的兩側(cè)，則 與 相交 .7. 答案 D解析如圖所示，在長方體ABCDA11C1D1 中， ABCD，則 AB平面 DC1， AB? 平面 AC，但是平面 AC與平面 DC1 不平行，所以 A 錯(cuò)誤；取 BB1 的中點(diǎn) E， CC1的中點(diǎn) F，則可證 EF平面 AC，B1C1平面 AC. EF? 平面 BC1， B1C1? 平面 BC1，但是平面AC與平面 BC1 不平行，所以B 錯(cuò)誤；可證 ADB1C1， AD? 平面 AC， B1C1? 平面 BC1，又平面AC與平面 BC1不平行，所以C 錯(cuò)誤；很明顯 D 是面面平行的判定定理，所以D正確 .二、填空題8. 答案 平行解析如圖，延長 AG交 BC于 F，連接 SF，則由 G為 ABC的重心知 AG GF 2，又 AE ES 2， EG SF，又 SF? 平面 SBC， EG? 平面 SBC，EG平面 SBC.9. 答案 解析以 ABCD為下底面還原正方體，如圖：則易判定四個(gè)命題都是正確的.10. 答案 解析把圖形還原為一個(gè)四棱錐，然后根據(jù)線面、面