微積分（大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程答案）大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程（二）多元函數(shù)微積分王寶富 鈕海第一章習(xí)題解答（下）

1、習(xí)題11解答1 設(shè)，求解；2 設(shè)，證明：3 求下列函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形：（1）（2）（3）（4）yx11-1-1O解（1）yx11-1-1O （2）yx-a-bcOzab（3） （4）yxOz4求下列各極限：（1）=（2）（3）（4）5證明下列極限不存在：（1） （2）（1）證明 如果動點沿趨向則；如果動點沿趨向，則所以極限不存在。（2）證明： 如果動點沿趨向則；如果動點沿趨向，則所以極限不存在。6指出下列函數(shù)的間斷點：（1）； （2）。解 （1）為使函數(shù)表達式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。 （2）為使函數(shù)表達式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。習(xí)題121（1）；. (2) (3)

2、, lnz=yln(1+xy)，兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 ;(4),(5);(6), ,;2.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 設(shè)對角線為z,則, 當(dāng)時, =-0.05(m).7. 設(shè)兩腰分別為x、y,斜邊為z,則，, ,設(shè)x、y、z的絕對誤差分別為、,當(dāng)時, =0.124,z的絕對誤差z的相對誤差.8. 設(shè)內(nèi)半徑為r，內(nèi)高為h，容積為V，則,當(dāng)時,.習(xí)題131. =.2.=.3. (1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.4 .(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 設(shè), ,=, =,=

3、,(3) 設(shè), ,=,=.(4) 設(shè),7.設(shè),1. 8.設(shè),.9. (1)方程兩邊同時對x求導(dǎo)得解之得(2) 方程兩邊同時對z求導(dǎo)得 解之得 (3) 方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)得 解之得同理方程兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 解之得習(xí)題141 求下列函數(shù)的方向?qū)?shù)（1）解：（2）解： （3）與軸夾角為解： 由題意知則 （4） 2 求下列函數(shù)的梯度（1） 解： ,)(2)解：，）。3 一個登山者在山坡上點處，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐標，他決定按最陡的道路上登，問應(yīng)當(dāng)沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，應(yīng)當(dāng)沿（3，4）方向上登。4 解：沿方向5 解：設(shè)路徑為，在點處在點的切向量為 平行于

4、切向量 因為過習(xí)題1-51、求曲線在對應(yīng)于點處的切線及法平面方程。解：當(dāng)時，故所求切線方程為：，即: 法平面方程為： 即: 2、求下列空間曲線在指定點處的切線和法平面方程（1） 在點解 ：將方程兩端對x求導(dǎo)，得 在處故所求的切線方程為：法平面方程：（2） 在點解法1：將方程兩端對x求導(dǎo)，得Þ當(dāng)時，有，故所求的切線方程為：法平面方程： 即：解法2：將方程組兩端求微分：得曲線在點處的切向量為 3. （題略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在點P的切平面方程為：-，即： x - y - 2z -=0；法線方程為：，即： ；（2）令則，曲面在點(1,1,1)點

5、處的切平面的法向量為：故所求的切平面方程為：即： 法線方程為： （3）令F（x，y，z）=2+2-8，=-16ln2，曲面在點P的切平面方程為：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法線方程為：，即：4、解：， 又拋物線在(1,2)點處的切線斜率為：拋物線在(1,2)點處偏向x軸正向的切線方向為故所求的方向?qū)?shù)為：習(xí)題1-61（題略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)為 f(x,y) 的駐點,又 D（P）=4>0,=-2故P (2,-2)為f(x,y)的極大值點, 其極大值為f(2,-2)=8. 2（題略）. 解

6、：由 有 駐點：(5,6)和 ，而在點(5,6)取得極小值 又在點不取得極值3、求在閉區(qū)域上的最大值和最小值解：由，得唯一駐點(0,0)又在邊界即橢圓上, 由，得駐點：所有可能的極值點為：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1)相應(yīng)的函數(shù)值為： 0 4 4 -1 -14、求拋物線和直線之間的最短距離。解：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點，它到直線的距離為，d最小當(dāng)且僅當(dāng)最小此問題即是求在條件下的最小值。解法1（用拉格朗日乘數(shù)法）設(shè)由，即得唯一駐點故由實際問題知拋物線和直線之間的最短距離在在，為：解法2（轉(zhuǎn)化為無條件極值）設(shè)拋物線上點，它到直線的距離為d最小當(dāng)且僅當(dāng)最小設(shè)

7、Þ唯一駐點當(dāng)時，有極小值，從而該極小值就是所求的最小值（唯一駐點）=故拋物線和直線之間的最短距離為5、求拋物線被平面截成一橢圓，求原點到此橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上任意一點為(x,y,z)，它到原點的距離為此問題即是求在條件下的最大值和最小值。令由 由-得若代入，得，再代入，<0, 不合題意，有代入，由，解得， 駐點為：和，由實際問題知，所求最大值和最小值存在，分別為和6（題略）.解: 設(shè)圓柱高為H,圓錐高為h ,圓柱圓錐底半徑為r,則浮標體積V=, 故:3V-=0 (1)浮標表面積S(r,h,H)= 令L(r,h,H)=+ 由=0 （2） =0 (3) (4)有, 代入（3）有, 故, r=h,再由（2），有H=h, h=, ( r,)為S(r,h,H) 唯一駐點，