D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)48288學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)48288第一頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .則在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :第1頁/共24頁第二頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),

2、 0)(xxf在第2頁/共24頁第三頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明證明:令)(0 xUx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有第3頁/共24頁第四頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .則這種展開式是第4頁/共24頁第五頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值

3、;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開第5頁/共24頁第六頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 第6頁/共24頁第七頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足! ) 1( nn0第7頁/共24頁第八頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:)

4、,(x),(x第8頁/共24頁第九頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出 于是得 級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 第9頁/共24頁第十頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。推導(dǎo) 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為第10頁/共24頁第十一頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x

5、 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得 第11頁/共24頁第十二頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為第12頁/共24頁第十三頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。)()1 (xFx第13頁/共24頁第十四頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)榘?x 換成)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 第14頁/共24頁第十五頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解

6、解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂第15頁/共24頁第十六頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展成解解: 的冪級(jí)數(shù). 第16頁/共24頁第十七頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: 第17頁/共24頁第十八頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式1x2!21x式的函數(shù) .第18頁/共24頁第十九頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。x11nxn

7、nmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x第19頁/共24頁第二十頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。1. 函數(shù)處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:第20頁/共24頁第二十一頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。作業(yè)作業(yè) P283 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五節(jié) 第21頁/共24頁第二十二頁，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十九分。將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)解解:211xx 1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此 第22頁/共24頁第二