第二章躉繳純保費-108

1、第二章躉繳純保費躉繳純保費本章結構l人壽保險躉繳純保費厘定原理l死亡年末賠付保險（離散型人壽保險）躉繳純保費的厘定l死亡即刻賠付保險（連續(xù)型人壽保險）躉繳純保費的厘定l 遞歸方程l 生存年金l 人壽保險簡介 什么是人壽保險 狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括在保障期內(nèi)被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括在保障期內(nèi)被保險人生存為標的的生存保險和兩全保險。l 人壽保險的分類 受益金額是否恒定- 定額受益保險 - 變額受益保險 保單簽約日和保障期期始日是否同時進行 非延期保險 延期保險 保障標的的不同 人

2、壽保險（狹義） 生存保險 兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險l 人壽保險的性質(zhì) 保障的長期性 這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。 保險賠付金額和賠付時間的不確定性 人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。 被保障人群的大數(shù)性 這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預測將來的風險。l 躉繳純保費的厘定 假定條件: 假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。 假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用

3、經(jīng)驗生命表進行擬合。 假定三：保險公司可以預測將來的投資受益（即預定利率）。 原則 保費凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)值等于支出期望現(xiàn)值 。l 躉繳純保費的厘定 躉繳純保費的定義 在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)值 躉繳純保費的厘定 按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于其中Z是給付的保險金額在簽單時的現(xiàn)值( )E Z2.1 離散（死亡年末賠付）型人壽保險躉繳純保費的厘定 死亡年末賠付 死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡

4、，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當年年末給予保險賠付。 由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加1。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 基本符號 歲投保的人整值未來壽命 保險在K(x)+1處保險給付金額 在K(x)+1處給付的1個單位在簽單時貼現(xiàn)系數(shù)。 給付的保險金額在簽單時的現(xiàn)時值。 躉繳純保費。kxK)(+1kb+1kvZK+1K+1Zbv1k+1101k+11k0( )Pr( )nkknkxkE

5、ZvbK xkvbqx主要險種的躉繳純保費的厘定主要險種的躉繳純保費的厘定 n年期定期壽險 終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期壽險 變額受益保險1、n年定期壽險年定期壽險l n年定期壽險定義保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險l基本函數(shù)關系年齡為x歲的人，投保或簽約保險金額為1個單位的 n年定期壽險，給付現(xiàn)值函數(shù)：1+1+11+1+1 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkvvknknbvknZbv其他其他l 躉繳純保費的厘定 符號： 表示躉繳純保費 厘定：1: x nA11+1k:0(

6、Z)nkxx nkAEvq+1111+1:00+1+00+001:=D=-Mxknnkxkxkxx nkkxxxxxxxxxxkxxkkkxxkxxkkkxxnx nxdvdAvlv lvdv lMDRMNMAD記 C，C， N， Sl 現(xiàn)值隨機變量Z的方差記222112:( )()( )()x nx nVar ZE ZE ZAA為利力其中vqqvEAxnkxnkknx-ln1)(k(-2exp)(Z10k10k)1(221|:2例題例題例例由題意可知由題意可知1:1n=1xxxxCvqD當時，A1:1xxxxxcCcD在人壽保險中，純保費A 稱為自然純保費注意：自然純保費在一般情況下，是隨著

7、年齡的增長而增長的，即年齡越大，自然純保費越高2 終身壽險終身壽險 定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 基本函數(shù)關系1+1+11K+1 K+1 , 0,1,1, 0,1, , K0,1,kkkKvvkbkZbvvl 躉繳純保費的厘定 符號（躉繳純保費）： 厘定：xA1k0( )kxxkAE ZvqxxxMAD 由 可得保單簽發(fā)時， 個年齡為x的被保險人所支付的躉交純保費組成的基金總額等于按死亡預定流出資金的現(xiàn)值總額.l例 P371k0kxxkAvq10kxxx kkl Avdxl222(1)k0k0()exp(-2 (k1)kxxkxkAE Z

8、vqq2222( )()( )()xxVar ZE ZE ZAAl 現(xiàn)值隨機變量Z的方差記3 、 n 年定期生存保險年定期生存保險 n年定期生存保險定義： 被保險人投保后至少生存n年才支付保險金的險種。 基本函數(shù)關系：+1K+1 K+11+10 , 0,1,11 , 0, K 0,1,1 , K , 0,1,1 , knkknknbknnZ b vvnvknvvkn 符號： 躉繳純保費厘定1: xnA1:( )nxnxnAE Zvpl 躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定4 、 兩全保險l定義：n年期兩全保險是由n年生存保險和n年定期保險組成l 基本函數(shù)關系年齡為x歲的人，投?；蚝灱s保險金額為1個

9、單位的 n年期兩全保險，給付現(xiàn)值函數(shù)+11+11+1+11=0,1,2 , 0,1,1 , , 0,1,1 , kkknKKKnbkvknvvknvknZbvvknl 躉繳純保費的厘定 符號：表示躉繳純保費 厘定：: x nA1+111:k:0:( )+-M+nknxnxxnx nx nkxx nx nx nxAE ZvqvpAAMDAD例題例題例題例題例題例題5 、延期壽險、延期壽險l 延期壽險定義保險人對被保險人在投保h年后發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種。l假定：x歲的人，投保金額為1個單位，延期h年的n年定期壽險。（投保時間與保單生效時間不同）l基本函數(shù)關系：+11+1K 1

10、+1+11 , , + -10 , 0,1,2 , K0,1, +10 , kkkKKkhh nbvvkvh nZbv其他，其他l 躉繳純保費的厘定 符號： 表示躉繳純保費 厘定：1:xhh nx nAA或h+11+1k:1+h+h:( )-Mnkxhx nk hxx nhx nxAE ZvqMAD例題例題例題例題 6 、變額受益保險、變額受益保險l 定義保險金額的給付隨著被保人的未來壽命的變化而改變。這類人壽保險稱為變額受益保險。主要討論按算術數(shù)理n遞增和遞減的情形l 遞增n年定期保險 基本函數(shù)關系年齡為x歲的人，投保離散型的按算術數(shù)列遞增的 n年定期保險，即被保險人在第k+1個保單年度內(nèi)死

11、亡，則給付k+1元的保險金（k=0,1,n-1）給付現(xiàn)值函數(shù)。相應的有關函數(shù)為+11+11K+1 K+1+1 , 0,1,1(K+1) kkkKbkvvknZbvvl躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定 符號： 表示躉繳純保費 厘定：1:(I )x nA11+1k:01:(I )(Z)(k+1)-R-nM(I )nkxx nkxx nx nx nxAEvqRADl 遞增終生壽險遞增終生壽險 符號： 表示躉繳純保費 厘定按算術數(shù)列遞增的終生壽險實際上是由一系列的延期變額終生壽險構成(I )xA+1k00(I )(Z)(k+1)(I )kxxkxxkkAEvqAA變形可得例l 遞減n年定期保險 基本函

12、數(shù)關系年齡為x歲的人，投保離散型的按算術數(shù)列遞減的 n年定期保險，即被保險人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付n-k元的保險金（k=0,1,n-1）給付現(xiàn)值函數(shù)。+11+11K+1 K+1- , 0,1,1(n-k) , K0, -10 , KkkkKbn kvvknvnZbvnl 躉繳純保費的厘定 符號： 表示躉繳純保費 厘定：1:(D )x nA11+1k:01+1+1:(D )(Z)(n-k)nM -(-R)(D )nkxx nkxxxnx nxAEvqRAD 對上式適當變形可得 可看到，遞減n年定期壽險是由一組定期壽險或一組延期k年的一年期定期壽險組合而成 例 見課本P42第二節(jié)死亡即

13、刻賠付躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付 死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單簽單日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。主要險種的躉繳純保費的厘定 n年期定期壽險 終身壽險 延期h年的終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期m年的n年期的兩全保險 遞增終身壽險 遞減n年定期壽險1 1、n n年定期壽險年定期壽險 定義 保險人只對被保險人在投保后的n

14、年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數(shù)關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ttttt ttvvtvtnzbvtnbtntn 符號： 厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()( 方差公式 記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費） 所以方差等價為 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例例 設 計算( ) 1 , 01001000

15、.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、終身壽險 定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額1元終身壽險 基本函數(shù)關系)(x , 0 , 01 , 0 ttttt ttvv

16、tzbvvtbt 符號： 厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt 方差公式 記 所以方差等價為 22220( )( )( )( )( )ttttTtVar zE zE zef t dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例例 設(x)投保終身壽險，保險金額為1元 保險金在死亡即刻賠付 簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為 計算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9xtAVar zz（）的分位數(shù)0606002260220120602(1)( )116

17、0602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve例例 見P453、延期終身壽險 定義 保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險 基本函數(shù)關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm 符號： 厘定：

18、xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxxmAE zz f t dtz f t dtz f t dtAA 方差公式 記 所以方差等價于2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例例 假設（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。 保險金在死亡即刻賠付。 已知 求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.04

19、0.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS x tf teS xAeedtedteAeedtVar zAA4、n 年定期生存保險年定期生存保險 定義 被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險 基本函數(shù)關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn 符號： 躉繳純保費厘定 現(xiàn)值隨機變量的方差：1: x nA1:( )nnx ntnxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx

20、nVar zvpvpAA5、n年定期兩全保險年定期兩全保險 定義 被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險 基本函數(shù)關系)(x , , , , 1 , 0tttntt tntvtnvvtnzbvvtnvtnbt 符號： 厘定記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE

21、 zAAA因為所以31212121212( )( )( ) 2( ,)( )( ) 2 () 2 ( )( )Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE z zE zE z120z z 11:312:()( )()2x nx nVar zVar zVar zAA例例 設 計算( ) 1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)(

22、 )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：6、延期、延期m年年n年定期兩全保險年定期兩全保險 定義定義 被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險 基本函數(shù)關系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm ntmvtm nbtm 符號： 厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA 記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則1z2z3z312zzz11:312:()(