岡薩雷斯_數(shù)字圖像處理第3版第4章習習題 4.16-4.43

1、 證明連續(xù)和離散二維傅里葉變換都是平移和旋轉不變的。首先列出平移和旋轉性質： 旋轉性質： 證明：由式得：由式得：依次類推證明其它項。 由習題可以推出和。使用前一個性質和表中的平移性質證明連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換是證明： 證明離散函數(shù)的DFT是證明：離散傅里葉變換如果，否則：考慮實部，的值介于-1, 1，可以想象，虛部相同，所以 證明離散函數(shù)的DFT是證明： 下列問題與表中的性質有關。 (a) 證明性質1的正確性。 (b) 證明性質3的正確性。(c) 證明性質6的正確性。 (d) 證明性質7的正確性。(e) 證明性質9的正確性。(f) 證明性質10的正確性。 (g) 證明性質11的正確性。(h) 證

2、明性質12的正確性。(i) 證明性質13的正確性。(a)當為實函數(shù)，則(b)當為實函數(shù)，則和并且。而且，所以可以得到：，便是為偶函數(shù)和為奇函數(shù)。(c)當為復函數(shù)，由下式得：所以得證；(d)當為復函數(shù)，由下式得：所以得證；(e)當為實函數(shù)、奇函數(shù)，則的實部為0，即為虛數(shù)，且也是奇數(shù)。由式可知，為虛數(shù)。(f)當為虛函數(shù)、偶函數(shù)，由下式得：所以F(u，v)為一虛數(shù)。(g)當為虛函數(shù)、奇函數(shù)，由下式得：可知，結果為一實數(shù)。(h)當為復函數(shù)、偶函數(shù)，由下式得：由式子可知，前項為實數(shù)，而后項為一純虛偶數(shù)。(i)當為復函數(shù)、奇函數(shù)，由下式得：由式子可知，前項為一偶實函數(shù)，后項為一純虛奇數(shù)。 節(jié)中在討論頻率域

3、濾波時需要對圖像進行填充。在該節(jié)中給出的圖像填充方法是，在圖像中行和列的末尾填充0值(見上面的左圖)。如果我們把圖像放在中心，四周填充0值(見上面的右圖)，而不改變所用0值的總數(shù)，會有區(qū)別嗎試解釋原因。答：如下圖所示觀察上圖，左圖是正確的結果，右圖是“纏繞錯誤”引起的卷積錯誤。這個纏繞錯誤出現(xiàn)的原因在于沒有對圖像進行填充，只有通過填充之后獲得適當?shù)拈g距才能得到正確的卷積結果。關鍵在于得到“適當?shù)拈g距”，左右兩種填充可以得到相同的結果。 同一幅圖像的兩個傅里葉頻譜如右圖所示。左邊的頻譜對應于原圖像，右邊的頻譜圖像使用0值填充后得到的。解釋右圖所示的譜沿垂直軸和水平軸方向的信號強度顯著增加的原因。

4、答：除非原圖像中所有的邊界都是黑色的，用0值填充圖像的邊界將不可避免地在圖像的一條或多條邊界上引入灰度值變化的不連續(xù)性，即新增了水平“邊界”和垂直“邊界”，“邊界”意味著高頻分量，所以，對應到頻域中，我們看到了沿垂直軸和水平軸方向的信號強度顯著增加的現(xiàn)象。 由表可知DFT的直流項與其對應的空間圖像的平均值成正比。假定圖像尺寸是。假如對圖像進行0填充后，圖像的尺寸為，其中P和Q分別由式和式給出。令代表填充后的函數(shù)的DFT的直流項。 (a) 原圖像平均值和填充后圖像平均值的比值是多少(b) 嗎假設從數(shù)學角度回答。解：(a) 圖像灰度平均值的計算：所以原圖像平均值和填充后圖像平均值的比值是(b) 是

5、的，它們相等。解釋：我們知道結合(a)的結論，可以證明。 證明表中的周期性質(性質8)證明：離散傅里葉變換其它證明類似。 下列問題與表中的性質有關。 (a) 證明一維情況下離散卷積定理的正確性。(b) 對于二維情況，重復(a)(c) 證明性質9的正確性。(d) 證明性質13的正確性。(注意：習題、習題和習題也與表有關)證明：(a) 一維情況下離散卷積定理的證明由以及一維離散傅里葉變換的定義可知 一維傅里葉變換： 而：所以：(b) 由(a)可知(c) 矩形波recta, b的傅里葉變換：性質9 (d) 證明性質13的正確性。性質13 (a) 證明連續(xù)變量t和z的連續(xù)函數(shù)的拉普拉斯變換滿足下列傅里

6、葉變換對拉普拉斯變換的定義見式：(提示：研究表中的性質12并參閱習題(d) (b) 前面閉合顯示的表達式僅適用于連續(xù)變量。然而，使用濾波器它可能是離散頻率域實現(xiàn)拉普拉斯的基礎，。解釋您怎樣實現(xiàn)這個濾波器。(c) 正如您在例中看到的那樣，頻率域的拉普拉斯結果類似于使用中心系數(shù)為-8的空間模板的結果。請說明頻率域拉普拉斯結果與中心系數(shù)為-4的空間模板的結果不同的原因。(a) 證明：由第3章可知，兩個連續(xù)變量的拉普拉斯函數(shù)定義為根據表中的性質12，可得拉普拉斯函數(shù)的傅里葉變換為得證。(b) 答：由前面的推導可以看出，拉普拉斯濾波器適用于連續(xù)變量。對離散傅里葉變換，我們可以通過對拉普拉斯函數(shù)進行采樣來

7、構造相應的濾波器：其中，。當傅里葉變換是圓形形式時，頻域的拉普拉斯濾波器可以表示為總之，對空域和頻域之間的變換，我們使用以下拉普拉斯傅里葉變換對：核心思想是：離散的拉普拉斯傅里葉變換是通過對連續(xù)的拉普拉斯傅里葉變換進行采樣得到的。(c) 由于拉普拉斯變換是各向同性的，如果空域中的模板包含了對角分量，則拉普拉斯變換的對稱性的近似程度更大。所以，相比于中心系數(shù)為-4的空間模板，中心系數(shù)為-8的空間模板更加類似于頻率域的拉普拉斯結果。 考慮大小為的空間模板，它平均與點(x, y)最靠近的12個鄰點，但平均值排除該點本身。(a) 在頻率域找出與其等價的濾波器。(b) 證明您的結果是一個低通濾波器。解：

8、為了節(jié)省時間，以下不用， 而根據英文版習題答案進行回答空域的均值(中心點除外)為由表中的性質3可得：其中(b) 為了解釋這是一個低通濾波器，我們先將這個濾波器表示為中心形式為了便于解釋，我們先考慮一個變量。當u從0增加到M-1時，的值從-1增加到1，又從1減小到-1，當時，達到最大值1。因此，越遠離中心點，該濾波器的值越小，這就是低通濾波。 基于式，近似二維離散微分的一種方法是計算形如和的差。(a) 在頻率域找出與其等價的濾波器。(b) 證明您的結果是一個高通濾波器。(a) 解：根據離散傅里葉變換DFT的定義和表性質3可得所以其中(b) 為了解釋這是一個高通濾波器，我們先將這個濾波器表示為中心

9、形式當u從0增加到M-1時，的值最初為-1，在時為1，在時為-1，的值從-4變到0，再從0變到-4。所以，越靠近中心點，的幅度越小，因此，這是一個高通濾波。 找出一個等價的濾波器，它在頻率域實現(xiàn)使用圖(a)中的拉普拉斯模板執(zhí)行的空間操作。解：濾波函數(shù)如下：正如，其中，將頻率轉移到中心點，當時。越遠離中心點，的幅度越大。最重要的一點在于：直流分量被濾除，保留了高頻分量，所以這是一個高通濾波器。 您能想出一種使用傅里葉變換計算(或分部計算)用于圖像差分的梯度幅度見式的方法嗎如果您的回答是可以，那么請給出一種方法去實現(xiàn)它。如果您的回答是不可以，請解釋原因。答： 無法通過傅里葉變換進行上式的計算，因為

10、傅里葉變換是一個線性過程，而該式中涉及到平方和平方根等非線性計算。我們能夠利用傅里葉變換計算差值，但是，不能用其處理平方、平方根、絕對值等運算，只能在空域里面處理這些運算。 在連續(xù)頻率域中，一個連續(xù)高斯低通濾波器有如下傳遞函數(shù)：證明相應的空間域濾波器是證明： 如式說明的那樣，從低通濾波器的傳遞函數(shù)得到高通濾波器的傳遞函數(shù)是可能的：使用習題中給出的信息，回答空間域高斯高通濾波器是什么形式解：對進行傅里葉反變換得 考慮右側所示的圖像。右側的圖像是通過如下步驟得到的：(a) 用乘以左側的圖像；(b) 計算DFT；(c) 取該變換的復共軛；(d) 計算反DFT；(e) 用乘以結果的實部。(從數(shù)學上)解

11、釋為什么右邊的圖像會出現(xiàn)該現(xiàn)象。證明：取共軛的傅里葉逆變換：所以變換后的圖像與原圖像關于原點對稱。 圖(b)的水平軸上近似周期性的亮點的來源是什么答：這些亮點的來源是左圖中左下角等間距的垂直線條。 圖中的每一個濾波器在其中心處都有一個很強的尖刺，解釋這些尖刺的來源。答：這是由于高通濾波器的頻域表示為式中的1，逆變換會空間與是一個沖擊響應，因此，空域上的中心處出現(xiàn)了一個尖刺。 考慮下面所示的圖像。右邊的圖像是對左邊圖像用高斯低通濾波器進行低通濾波，然后用高斯高通濾波器對其結果再進行高通濾波得到的。圖像大小為，兩個濾波器均使用了。(a) 解釋右側圖像中戒指的中心部分明亮且實心的原因，考慮濾波后圖像

12、的支配特性是物體(如手指、腕骨)的外邊界上的邊緣及這些邊緣之間的暗區(qū)域。換句話說，您并不希望高通濾波器將戒指內部的恒定區(qū)域渲染為暗色，因為高通濾波消除了直流項(b) 如果顛倒濾波處理的順序，您認為結果會有區(qū)別嗎 答：(a) 如果只進行高通濾波，戒指的中心是黑色的。然而，通過低通濾波，我們將黑色中心區(qū)域平均化。最終結果中戒指如此明亮的原因在于，戒指邊緣的灰度不連續(xù)性比圖像中其它任何部分都大，因而對顯示結果影響最大。(b) 由于傅里葉變換是線性的，先后順序對結果沒有影響。 給出一幅大小為的圖像，要求做一個實驗，實驗所用截止頻率為的高斯低通濾波器重復對該圖像進行低通濾波。而且忽略計算上的舍入誤差。令

13、是實驗所用機器可表示的最小正數(shù)。 (a) 令K表示該濾波器使用的次數(shù)。在進行實驗前，您能預測K為足夠大的值時的結果(圖像)將是什么嗎如果能，結果是什么(b) 推導出保證預測結果的最小K值的表達式。(a) 高斯低通濾波：K次濾波得到的結果為：試想K很大時，將只有通過，即(b) 為了保證得到上述結果，要求K足夠大，由于計算機的最小正數(shù)為，則當某一個數(shù)小于的一半時，該整數(shù)將被置為0。所以，K應該滿足條件不考慮原點，由于u和v都是離散數(shù)據，所以，所以 考慮下面所示的圖像序列。最左側的圖像是商用印刷電路板的X射線圖像的一部分。該圖像右側的圖像分別是使用一個的高斯高通濾波器進行1次、10次和100次濾波后

14、的結果。圖像的大小為像素，每個像素由8比特灰度表示。為了便于顯示，圖像已進行了縮放，但這對本習題沒有影響。(a) 從這幾幅圖像可以看出，經過有限次數(shù)的濾波后，圖像將不再發(fā)生變化。請說明實際是否如此?？梢院雎杂嬎闵崛胝`差。令表示完成此實驗的機器可表示的最小正數(shù)。(b) 如果在(a)中確定有限次迭代后變化將停止，求最小的迭代次數(shù)。解：(a) 是的，經過有限次濾波之后，圖像將不再發(fā)生變化。理解的關鍵在于將K次高通濾波函數(shù)視為與不同，這兒的濾波器是“凹口”濾波，將濾除，因而，將產生一幅圖像，圖像中所有像素灰度值的平均值是0(有些像素的灰度值為負數(shù))。所以，有一個K值，當濾波次數(shù)大于K時，圖像保持不變。

15、(b) 濾波K次之后，圖像保持不變，滿足下式：解出來的K值同 如圖中說明的那樣，將高頻強調和直方圖均衡相結合是實現(xiàn)邊緣銳化和對比度增強的有效方法。(a) 說明這種結合方法是否與先用那種有關。(b) 如果與應用順序有關，請給出先采用某種方法的理由。答：(a) 頻域濾波在空域中表示為卷積：濾波之后再進行直方圖均衡：其中“T”代表直方圖均衡變換如果顛倒順序，結果為：由于“T”是一個非線性過程，所以所以說，這種結合方法與處理的先后順序有關。(b) 由圖可以看出，高頻強調使得圖像的對比度降低，所以要先進行高頻強調，再進行直方圖均衡。 使用一個布特沃斯高通濾波器構建一個同態(tài)濾波器,該濾波器的形狀與圖中的濾

16、波器的形狀相同。解：同態(tài)濾波器如下：有高斯高通濾波器構建的同態(tài)濾波器為其中且 ，圖中所示的濾波器趨向于衰減低頻(照射)的貢獻，而增強高頻(反射)的貢獻。最終結果是同時進行動態(tài)范圍的壓縮和對比度的增強。用布特沃斯高通濾波器構建的同態(tài)濾波器為： 證明式和式的正確性。(提示：使用歸納法證明)。證明：由于，我們可以將式和式分別寫為：(1) 對于n=1所以等式成立(2) 假設n時成立，可以由此推導出n+1的情況首先由得所以對于所以得證 假設有一組圖像,這組圖像是由對恒星事件進行分析的實驗生成.每幅圖像都包含一組明亮且松散的點，這些點對應于廣袤宇宙空間中的星星。問題是這些星星因為大氣折射導致的重疊照射幾乎不可見。如果這些圖像使用一組沖激建模為一個恒定照射分量的乘積，試提出一個增強過程，它以設計為顯示星星自身的圖像分量的同態(tài)濾波為基礎。解：考慮單個星星，其建模形式為，所以傅里葉變換后從該結果可以看出，在頻域中，恒定的照射分量對圖像的貢獻相當于原點處的沖激響應。可以使用凹口濾波器，只將該沖激響應濾除，就能實現(xiàn)星星的圖像增強。所以，該問題的解決方法是：每次考慮一顆星星，進行上述濾波，然后將每個獨立的結果相加，隨后，進行強度定標，以保留星星之間的亮度關聯(lián)信息。 一種成熟的醫(yī)學技術被用于檢測電子顯微鏡生成的某類圖像。為了簡化檢測任務，技術人員決定采用數(shù)字圖像增強技術