第4節(jié)有理函數(shù)的不定積分ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分二、簡單無理函數(shù)的不定積分二、簡單無理函數(shù)的不定積分三、三角函數(shù)有理式的不定積分三、三角函數(shù)有理式的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR 11101110)()()(其中其中 m、n 都是非負(fù)整數(shù)都是非負(fù)整數(shù) ; a0 , a1 , , an 及及 b0, b1 , bn 都是實數(shù)，并且都是實數(shù)，并且a00, b00 .n m , R(x)稱為真分式；稱

2、為真分式；n m , R(x)稱為假分式稱為假分式. 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個多項假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和式和一個真分式之和.例如例如1123 xxx.112 xx說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：出現(xiàn)三類情況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).難點(diǎn)難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)(

3、,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA （2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情

4、況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 那那么么 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dx

5、qpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 例例1 1 求積分求積分 .d)1(12xxx xxxd)1(12xxxxd11)1(112 xxxxxxd11d)1(1d12.1ln11lnCxxx 解解例例2 2 求積分求積分 解解.d221132 xxxxxxxxxd15152d21542 xxxd)1)(21(12xxxxxxd1151d125121ln5222 .arctan511ln5121ln522Cxxx xxxxd221132例例3 3 求積分求積分 解解.d3222xxxx 原式原式xxxd322 3)22(21 x 32)32d(2122xxxx32

6、ln212 xx 22)2()1()1d(3xx.21arctan23Cx 例例4 4 求積分求積分 解解原式原式.d)22(222 xxxx xxxd)22(22)22(2 xx)22( x 1)1(d2xx 222)22()22d(xxxx)1arctan( x.2212Cxx 例例5 5求積分求積分 解解原式原式.d4555222423 xxxxxx xxxd)4)(1(22)4()1(22 xx xxxxxd4552243 xxxxd4552242 45)55d(212424xxxx45ln2124 xx xxxd)4111(22xarctan .2arctan21Cx 45ln212

7、4 xx注意注意 將有理函數(shù)分解為部分分式求積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式求積分雖可行, ,但不一定簡便但不一定簡便 , ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活處理，尋求簡便的方法求解特點(diǎn)，靈活處理，尋求簡便的方法求解. . 例例6 6 求積分求積分 .d)1(132xxx 解解,1 xt令令原式原式tttd1)1(32 ttttd)221(32 |ln t t2 Ct 21.)1(112|1|ln2Cxxx 二、簡單無理函數(shù)的不定積分二、簡單無理函數(shù)的不定積分 被積函數(shù)為簡單根式的有理式被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , , 可通可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分

8、過根式代換化為有理函數(shù)的積分. . 討論類型討論類型 (主要三種主要三種),d),(. 1 xbaxxRnnbxat 令令,d),(. 2 xxRndxcbxandxcbxat 令令,d),(. 3 xbaxbaxxRmn,pbxat 令令., 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為其中其中nmp例例1 1 求積分求積分解解.21d3 xx,23 xt令令,23 tx則則,d3d2ttx 原式原式 tttd132tttd11)1(32 tttd)111(3 3 221tt t 1ln C 32)2(23 x323 x321ln3 x.C 例例2 2 求積分求積分.d1113 xxx解解,16 xt令令,

9、dd65xtt ttttd61523 tttd163 Ctttt |1|ln663223.)11ln(6161312663Cxxxx 原式原式ttttd)111(62 ,16 xt則則例例3 3 求積分求積分解解,1xxt 令令,112 tx則則,d)1(2d22tttx 原式原式 tttttd)1(2)1(222.d11 xxxxtttd1222 ttd)111(22 t2 11ln ttC xx 12Cxxx 2)11(lnxx 12.1212lnCxxx 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式. .三、

10、三角函數(shù)有理式的不定積分三、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為一般記為 R(sin x , cos x) .R(sin x , cos x) .,2tanxu 令令,12sin2uux ,11cos22uux ,arctan2ux 則則uuxd12d2 dxxxR)cos,(sin.d12)11,12(2222uuuuuuR (萬能代換公式萬能代換公式)化為了化為了 u u 的有理函數(shù)的積分的有理函數(shù)的積分. .例例1 1 求積分求積分.dcossin1sin xxxx解解,12sin2uux 則則,11cos22uux ,d12d2uux uuuud)1)(1(22原式原式 uuuuuud)1

11、)(1(112222,2tanxu 令令 uuuuud)1)(1()1()1(222 uuud112 uud11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例2 2 求積求積分分.dsin14 xx解解,2tanxu 令令,12sin2uux ,d12d2uux xxdsin14 uuuuud83314642Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解法二解法二,tanxu 令令,1sin2uux 則則,d11d2uux xxdsin14 uuuud1111242 uuud1

12、42Cuu 1313.cotcot313Cxx 解法三解法三 xxdsin14xxxdcsccsc22 .cot31cot3Cxx 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能代換不一定是最佳便知萬能代換不一定是最佳方法方法, 故三角有理式的計算中先考慮其它手段故三角有理式的計算中先考慮其它手段, 不不得已才用萬能代換得已才用萬能代換. xxdcsc4 xdxcot)cot1(2例例3 3 求積求積分分).0, 0(dsincos12222 baxxbxa解解 xxbaxdtansec2222原式原式 xutan 222dubauCabuab )arctan(1.)tanarctan(1Cax

13、bab 說明說明: : 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及及的積分時的積分時, ,xutan 往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代換用代換例例4 4 求積求積分分解解. )0, 0(d)cossin(12 baxxbxa xbxaxd)tan(sec22原原式式 xutan 2)(dbauuCbuaa 11.)cossin(cosCxbxaax 1. 有理函數(shù)分解成部分分式之和的積分有理函數(shù)分解成部分分式之和的積分.( 注意：必須化成真分式注意：必須化成真分式 )四、小結(jié)四、小結(jié)2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分.( (用根式代換化為有理函數(shù)的積分用根

14、式代換化為有理函數(shù)的積分) )3. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分. (萬能代換公式萬能代換公式)(注意：萬能公式并不萬能注意：萬能公式并不萬能)思考題思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？解答解答分解后的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必須是最簡分式.一、一、 填空題：填空題：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其，其 A_, , B_ _ , , C_；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其中其中 A_, , B_, , C_；3 3、 計算、 計算 ,sin2xdx可用萬能代換可用萬能代換

15、xsin_ _, , dx_ _；4 4、計算、計算 ,mbaxdx令令 t_, , x_,_, dx_ . .練習(xí)題練習(xí)題5 5、有理函數(shù)的原函數(shù)都是、有理函數(shù)的原函數(shù)都是_ . .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .三、求下列不定積分三、求下列不定積分（用以前學(xué)過的方法） ：（用以前學(xué)過的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2

16、 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln(； 10 10、 xdxx arcsin12； 11 11、dxxxxx cossincossin； 1212、 )(xbaxdx. .二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx

17、 C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函數(shù)數(shù) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 31123. .三三、1 1、 Cxx 11)1(212； 2 2、Cxx )sinln(； 3 3

18、、Cxxxx 233213)1(； 4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2； 5 5、Cxxx 484arctan81)1(8； 6 6、Cxx 2tan12, ,或或Cxxx tansec；7 7、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、 Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1010、xxxxarcsin124)(arcsin22 Cx 42；1111、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1212、Cxbax arctan2. .有理函數(shù)化為部分分式之和的一般方法有理函數(shù)化為部分分式之和的一般方法:例例 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 : :;)1(1)1(2 xx;653)2(2 xxx.)1)(21(1)3(2xx 解解(1) 拼湊法拼湊法22)1()1(1 xxxx2)1(1 x)1(1 xx2)1(1 x)1( xx2)1(1 x11 x.1x )1( xx)1( xx653)(2 xxxxR)3)(2(3 xxx2 xA,3 xB2)()2( xxRxA2