第5章 微分方程與差分方程ppt課件

1、重點：微分方程的解法重點：微分方程的解法難點：建立微分方程模型難點：建立微分方程模型5.1 微分方程基礎(chǔ)微分方程基礎(chǔ) 5.1.1 實際背景實際背景 建立這一問題建立這一問題的數(shù)學(xué)模型如下：的數(shù)學(xué)模型如下：微分方程微分方程初值條件初值條件 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型 設(shè)人口數(shù)量設(shè)人口數(shù)量N(t)N(t)的增長速度的增長速度與現(xiàn)有人口數(shù)量成正比與現(xiàn)有人口數(shù)量成正比, , 求求N(t). (P235)N(t). (P235) 設(shè)開始時人口數(shù)量為設(shè)開始時人口數(shù)量為N0,N0,年增長率為年增長率為r,r,建立這一問題建立這一問題的數(shù)學(xué)模型如下：的數(shù)學(xué)模型如下：微分方程微分方程初值條件初值條件 5.1.2

2、基本概念基本概念 定義定義 凡含有自變量、未知函數(shù)及其微商凡含有自變量、未知函數(shù)及其微商( (或或微分微分) )的方程的方程, ,稱為微分方程稱為微分方程. . 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程方程, ,否則稱為偏微分方程否則稱為偏微分方程. . 本書只討論常微分方程，以后所說的微分方本書只討論常微分方程，以后所說的微分方程都是指常微分方程程都是指常微分方程. . 微分方程中未知函數(shù)微商的最高階數(shù)稱為微微分方程中未知函數(shù)微商的最高階數(shù)稱為微分方程的階分方程的階. .線性微分方程線性微分方程 未知函數(shù)及其各階微商都是一次的微分方未知函數(shù)及其各階微商

3、都是一次的微分方程稱為線性微分方程程稱為線性微分方程. . 回答這個問題并不重要回答這個問題并不重要, , 重要的是要會求解重要的是要會求解它它, ,它可變形為它可變形為微分方程的解微分方程的解 微分方程的解是指能使微分方程成為恒等式微分方程的解是指能使微分方程成為恒等式的已知函數(shù)的已知函數(shù). . 微分方程的通解：含有微分方程的通解：含有 n n 個相互獨立的任個相互獨立的任意常數(shù)的解意常數(shù)的解, ,其中其中 n n 是微分方程的階數(shù)是微分方程的階數(shù). .初值條件：確定通解中初值條件：確定通解中 n n 個任意常數(shù)的條個任意常數(shù)的條件件. .微分方程的特解：滿足初值條件的解微分方程的特解：滿足

4、初值條件的解. . 5.2 一階微分方程一階微分方程 5.2.1 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程形如形如dydx= h(x)g(y)的微分方程稱為可分離變量的微分方程的微分方程稱為可分離變量的微分方程. .5.2.2 齊次齊次(微分微分)方程方程 12ln(u2 + 1) + arctanu = lnx + lnC 12ln(u2x2 + x2) + arctanu = lnC 練習(xí)練習(xí) 求初值問題求初值問題 y = + , y(1) = 2y = + , y(1) = 2的解的解. .xyyx5.2.3 一階線性微分方程一階線性微分方程微分方程微分方程. .解法：先求解相應(yīng)的齊次線

5、性微分方程解法：先求解相應(yīng)的齊次線性微分方程分離變量分離變量, ,得得兩邊積分后兩邊積分后, ,得得由此得由此得常數(shù)變易法常數(shù)變易法由此解出由此解出一階線性微分方程的求解技巧一階線性微分方程的求解技巧 這種方法的優(yōu)點是無需記公式，而且比公式這種方法的優(yōu)點是無需記公式，而且比公式法的計算量小法的計算量小. .練習(xí)練習(xí) 解下列微分方程解下列微分方程可化為一階線性微分方程可化為一階線性微分方程 分析分析 這種類型微分方程的特點是這種類型微分方程的特點是, ,其中有一其中有一個變量是一次的個變量是一次的. . 令令 x = C(y) y 代入代入(*)得得原方程的通解為原方程的通解為x = y3/2

6、+ Cy.x = y3/2 + Cy.貝努利方程貝努利方程(P246-247)(P246-247)5.2.4 微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用(連續(xù)模型連續(xù)模型) 微分方程在實際中的應(yīng)用是十分廣泛的微分方程在實際中的應(yīng)用是十分廣泛的. . 如何把實際問題轉(zhuǎn)化為微分方程模型？大多如何把實際問題轉(zhuǎn)化為微分方程模型？大多數(shù)情況下所研究的變量是隨時間而變化的數(shù)情況下所研究的變量是隨時間而變化的, ,建立建立微分方程模型的關(guān)鍵微分方程模型的關(guān)鍵, ,是要弄清楚該變量的變化是要弄清楚該變量的變化率率( (微商微商) )與該變量之間的關(guān)系與該變量之間的關(guān)系. . 在求解微分方程時在求解微分方程時, ,要注意其初

7、值條件要注意其初值條件. . 求解得到結(jié)果時，一般要解釋結(jié)果的實際意求解得到結(jié)果時，一般要解釋結(jié)果的實際意義義. . 例如指數(shù)增長模型比較適用于短期預(yù)測例如指數(shù)增長模型比較適用于短期預(yù)測, ,而而不太適用于長期預(yù)測不太適用于長期預(yù)測, ,因為當(dāng)時間變量趨于無窮因為當(dāng)時間變量趨于無窮大時，所研究的變量趨于無窮大大時，所研究的變量趨于無窮大, ,這與實際是不這與實際是不相符的相符的. .阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) ) 這就是非常著名的這就是非常著名的 Logistic Logistic 增長模型增長模型( (即阻滯增即阻滯增長模型長模型).).阻滯增長模

8、型用途十分廣泛阻滯增長模型用途十分廣泛, ,除了用于預(yù)測人除了用于預(yù)測人口增長外口增長外, ,也可完全類似地用于蟲口增長、疾病的傳播、也可完全類似地用于蟲口增長、疾病的傳播、謠言的傳播、技術(shù)革新的推廣、銷售預(yù)測等謠言的傳播、技術(shù)革新的推廣、銷售預(yù)測等. .藥物總量模型藥物總量模型 這類模型研究在一個容器內(nèi)物質(zhì)總量隨時間這類模型研究在一個容器內(nèi)物質(zhì)總量隨時間而變化的情況而變化的情況, ,目標(biāo)是測定某一時刻物質(zhì)在容器目標(biāo)是測定某一時刻物質(zhì)在容器內(nèi)的總量內(nèi)的總量. .依據(jù)是物質(zhì)總量的變化率等于物質(zhì)進(jìn)依據(jù)是物質(zhì)總量的變化率等于物質(zhì)進(jìn)入容器的速率減去物質(zhì)離開容器的速率入容器的速率減去物質(zhì)離開容器的速率.

9、(P249) .(P249) 5.3 二階微分方程二階微分方程 5.3.1 可降階的二階方程可降階的二階方程代入原方程代入原方程, ,然后求解一階微分方程然后求解一階微分方程可降階的二階方程可降階的二階方程 解得解得C( x) = 2x2 + C, 從而從而 p = 2x + C/x.可降階的二階方程可降階的二階方程 積分得積分得 arctany = x + C, 由由 y(1) = 0得得 y = tan(x 1)5.3.2 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

10、二階常系數(shù)齊次線性微分方程 代入代入(*)得得為了簡便為了簡便, ,取取 u = x,u = x,那么那么是是( (* *) )的通解的通解. .二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 練習(xí)練習(xí) 解下列方程解下列方程 y y 2y 2y 3y = 0 3y = 0 y + 2y + y = 0 y + 2y + y = 0 y + 2y + 5y = 0 y + 2y + 5y = 0二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式 5.4 差分方程差分方程 5.4.1 差分方程基礎(chǔ)差分方程基礎(chǔ)5.4.2 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 形如形如5.4.3 二階常數(shù)線性差分方程二階常數(shù)線性差分方程 二階常系數(shù)非齊次線性差分方程二階常系數(shù)非齊次線性差分方程 5.4.4 差分方程的應(yīng)用差分方程的應(yīng)用(離散模型離散模型) 令令yn = 0yn = 0得得離散阻滯增長模型離散阻滯增長模型 第第5章章 重要概念與公式重要概念與公式通解通解, ,特解特解, ,線性線性, ,差分方程差分方程一階微分方程的解法一階微分方程的解法 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 齊次微分方程齊次微分方程一階線性微分方程一階線性微分方程二階微分方程的解法二階微分方