答案拓撲學(xué)基礎(chǔ)B

1、答案拓撲學(xué)基礎(chǔ) B東北大學(xué)秦皐島分校學(xué)號課程名稱：拓撲學(xué)基礎(chǔ)（答案）試卷： B 考試形式：閉卷2. 敘述同胚映射的定義并給出一個不是同胚映射連續(xù)的滿開映射。（ 5 分）答：定義：拓撲空間之間的一個連續(xù)映射稱為同胚映射，若它是一一對應(yīng)且它的逆也 班級姓名裝訂裝線訂線內(nèi)不要答題授課專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 考試日期： 2011 年 5 月 26 日試卷：共 3 頁一、填空題：（每空 2 分，共 30 分）1. 數(shù)字 30的連通分支的個數(shù)是 2 ,數(shù)字 9的連通分支的個數(shù)是 1。2.數(shù)字 8 的割 點的個數(shù) 是 1。數(shù)字 6的割點的個數(shù)是無窮。 3.漢字“土”的指數(shù)為 1的點的個數(shù) 為指數(shù)為 2 的點的

2、個數(shù) 為，指數(shù)為 3 的點的個數(shù)為 1 , 指數(shù)為 4 的點的個數(shù)為 1。4. 給實數(shù)集賦予歐式拓撲，則區(qū)間 0,1 的內(nèi)部是，導(dǎo)集是，閉包是 0, 叮。5. 設(shè) X 1,2, 寫出所有拓撲， X, ,1 , X, ,2 。二、問答題：（共 30 分）1. 分別給出既開又閉既不開又不閉的集合的例子。（5 分）答：雙曲線中每個連通分支都是既開又閉的集合。（ 2 分） X 1,2,3, 取拓撲為 （X, , 1 ，貝叫 2 是既不開又不閉的集合。（ 5 分）注：例子不唯一，正確即可。是連續(xù)的。（ 3分）商映射在不是一一對應(yīng)時是一個不是同胚映射連續(xù)的滿開映射。（5 分）注：例子不唯一，正確即可。3.

3、 敘述 T0 空間、T1空間、T2空間的定義并給岀不是 TO空間的例子以及不是 T2空間的T1空間的例子。（10分）答：設(shè)X是拓撲空間，若對其中任意兩點都存在其中一點的開鄰域不包含另外一點，則稱其為T0空間；（2分）若對其中任意兩點都存在每一點的開鄰域不包含另外一點，則稱其為T1空間；（4分）若對其中任意兩點都存在各自的開鄰域使得這兩個開鄰域不相交，則稱其為 T2空間；（6分）不少于兩點的平凡空間不是T0空間；（8分）給實數(shù)集賦予余有限拓撲，則它是 T1空間，不是T2空間。（10分）注：例子不唯一，正確即可。-1 -學(xué)號班級姓名裝訂裝線訂線內(nèi)不要答題4. 簡述克萊因瓶的定義。（5分）答：在單位

4、正方形12 （ x, y ） E210 x, y 1上定義等價關(guān)系：x 0,1,（x,0）與（x, 1 ）等價y 0,1,（ 0, y ）與（1, 1-y ）等價則商空間稱為克萊因瓶。5. 談?wù)勀銓ν負鋵W(xué)中商空間的思想的認識。（5分）注：無唯一標準答案。三、證明題：（任選 4個小題，每小題 10分，共40分）1.設(shè)X是一個拓撲空間，W X,求證 W是開集當且僅當它是它的每個點的鄰域。證明：“”由鄰域的定義，這是顯然的。（2分）“” x W,因為W是x的鄰域，由鄰域的定義，存在開集 Ox W,使得x Oxo （5分）所以 W x Wx x WOx Wo所以W x WOx （ 8分）因為開集的任意

5、并集是開集，所以W是開集。（10分）2. 證明第二可數(shù)空間是可分空間。證明：設(shè)X是第二可數(shù)空間。T為一組可數(shù)基。（2分）B T, 取 b B, 則這些 b 構(gòu)成可數(shù)集合 D。x X及x的每一鄰域U,由于U包含非空開集，從而包含T中成員。（5分）所以U D o這說明 x Do （8分）從而 X D （10分） -2-3. 設(shè)f:X Y 是緊空間X到T2空間Y之間的連續(xù)滿射，證明f是商映射。5. 證明有連通的稠密子集的拓撲空間是連通的。證明：設(shè)X是拓撲空間，丫是稠密子集，A是X的既開又閉的非空子集。則有A Y o （4 分）學(xué)號證明：由已知，X是緊空間，丫是T2空間，f:X 丫是連續(xù)滿射。A X,

6、 A是閉集。由X是緊空間，而緊空間的閉子集是緊的，從而班級姓名裝訂裝線訂線內(nèi)不要答題A是緊的。（3分）因為緊空間在連續(xù)映射下的像是緊的，所以f （A）是緊的。（5分）又丫是T2空間,而T2空間的緊子集是閉的，所以f （A）是閉的。（8分）這說明f是閉映射。從 而是商映射。（10分）4.證明T2空間的緊子集是閉集。證明：設(shè)X是Tc2空間，A是緊子集?，F(xiàn)證明 A是開集。（2分）X Ac,a A,由于X是T2空間，所以分別存在 x與a的不相交的開鄰域 Ua與Va。（ 4分）由Va|a A 是A的開覆蓋，A是緊子集，所以有有限的子覆蓋Vai, , Van 2（6分）記U nnilUai, V i lVai, 貝 UU是x的開鄰域，V U , V A, （ 8分）所以U Vc Ac,這說明 Ac 是開集。（ 10 分）又A Y是Y的既開又閉的非空子集，Y連通，所以 A Y Yo （ 7 所以 A Y所以X Y A Ao這說明X連通。6. 證明若拓撲空間連通則它無既開又閉的非空真子集。證明：設(shè)X是連通空間。設(shè) A X既開又閉冃非空。設(shè)A X,則X A既開又閉，且 X