不定積分復(fù)習(xí)及舉例

1、不定積分復(fù)習(xí)與舉例一、不定積分主要內(nèi)容第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法分部分部積分法積分法幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分基本積分公式基本積分公式1 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf， 即即Ix ， 都都 有有)()(xfxF 或或xxfxFd)()(d ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf或或xxfd)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). 定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix

2、 ，都都有有)()(xfxF .即：即：2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的全體原函數(shù)稱為的全體原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分，記為，記為 xxfd)( CxFxxf )(d)( xxgxfd)()(10 xxgxxfd)(d)(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的. xxkfd)(20 xxfkd)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)xxfxxfd)(d)( d CxFxxF)(d)( CxFxF)()(dd( )d( )df xxf xx3 3、基本積分表、基

3、本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdxtanseclnsec)18( Cxxx

4、dxcotcsclncsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定理定理 1 設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，)(xu 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直

5、接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;d)(. 11xxxfnn ;d)(. 2xxxf;d)(ln. 3xxxf;d)1(. 42xxxf;dcos)(sin. 5xxxf;d)(. 6xaafxx常見類型常見類型:;dsec)(tan. 72xxxf;d1)(arctan. 82xxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定定理理 設(shè)設(shè))(tx 是是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)，并并且且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù).第二

6、類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sec,)(.tan,)(.sin,)(. 2222222taxaxxftaxxaxftaxxaxf 令令令令令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換13.xt倒置代換令7 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 9 9、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)的積分定義定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分

7、式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式（2） 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào);necxbaxt 令令;nbaxt 令令令令

8、2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR二、典型例題例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln

9、3(ln21Cxxxx tx )23(令令例例2 2解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例3 3解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例4 4解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原原式式dxxdxxx 2tan2c

10、os22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例5 5解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原原式式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例7 7解解

11、.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例8 8解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原式原式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例9 9解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dx

12、xfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1010解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上上連連續(xù)續(xù)在在 xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù)須處處連續(xù)，有須處處連續(xù)，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 聯(lián)聯(lián)立立并并令令例例1111 求積分求積分.dsec3 xx解解 dxx3sec dxxx2secsec )(sectantansecxdxxx dxx3sec )(tansecxdx dxxxxxsectantansec2 dxxxxx)sec(sectansec3 dxxdxxxx3secsect