第九章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、第九章第九章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)第一節(jié) 描述流體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念描述流體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念第二節(jié)第二節(jié) 連續(xù)性方程連續(xù)性方程第三節(jié)第三節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)微分方程流體運(yùn)動(dòng)微分方程第四節(jié)第四節(jié) 運(yùn)動(dòng)微分方程的積分運(yùn)動(dòng)微分方程的積分-伯努利方程伯努利方程第五節(jié)第五節(jié) 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 （一）、歐拉法（一）、歐拉法 研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過某一空間點(diǎn)某一空間點(diǎn)時(shí)時(shí)流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。 歐拉法在流體力學(xué)研究中歐拉法在流體力學(xué)研究中被廣泛采用被廣泛采用。第一節(jié)第一節(jié) 描述流體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念描述流體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念 歐拉法歐拉法 （二）（二）.拉格

2、朗日法拉格朗日法 分析分析每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，律，很困難，因此，很少用。很困難，因此，很少用。拉格朗日法拉格朗日法 一、描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法一、描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 二、跡線與二、跡線與流線流線（一）、跡線（一）、跡線 跡線：跡線：流體質(zhì)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡。 例如在流動(dòng)的水面上撒一片木屑，木屑隨水例如在流動(dòng)的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，也就是流漂流的途徑就是某一水點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，也就是跡線。跡線的研究是屬于跡線。跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容拉格朗日法的內(nèi)容。流線的概念流線的概念（二）、流線（二）、流線 1.流線的概

3、念流線的概念：流場中：流場中同一時(shí)刻連續(xù)質(zhì)點(diǎn)同一時(shí)刻連續(xù)質(zhì)點(diǎn)流流動(dòng)方向的空間曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)動(dòng)方向的空間曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切相切，如圖，如圖4-5所示所示 流線可以流線可以形象地給出流場的流動(dòng)狀態(tài)形象地給出流場的流動(dòng)狀態(tài)。流線的引入是流線的引入是歐拉法歐拉法的研究特點(diǎn)。的研究特點(diǎn)。 (1)在在定常流動(dòng)時(shí)，定常流動(dòng)時(shí)，通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變持不變，而在非定常流動(dòng)時(shí)，而在非定常流動(dòng)時(shí)，通過同一點(diǎn)的流線形通過同一點(diǎn)的流線形狀始終變化狀始終變化。 (2)通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間通過某一空間點(diǎn)在給定瞬

4、間只能有一條流線只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。一般情況流線不能相交和分支。 (3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。 (4)通過流線，可以清楚地看出某時(shí)刻流場中各點(diǎn)通過流線，可以清楚地看出某時(shí)刻流場中各點(diǎn)的的速度方向速度方向和和速度的大小速度的大小。2.流線的基本特性流線的基本特性 3. 流線圖流線圖 可以可以形象地表示形象地表示整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況，如圖，如圖為水槽中紙屑的流動(dòng)情況。為水槽中紙屑的流動(dòng)情況。 2.按運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分：按運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分： 定常、非定常流動(dòng)；有旋、無旋流動(dòng)；層流、定常、非定常流動(dòng)；有旋、無旋流動(dòng)；層

5、流、紊流流動(dòng)；亞音速、超音速流動(dòng)。紊流流動(dòng)；亞音速、超音速流動(dòng)。 3.按流動(dòng)空間的坐標(biāo)變量數(shù)分：按流動(dòng)空間的坐標(biāo)變量數(shù)分： 一元、二元、三元流動(dòng)。一元、二元、三元流動(dòng)。 1.按流體性質(zhì)分：按流體性質(zhì)分： 理想、實(shí)際流體的流動(dòng)；可壓縮、不可壓縮理想、實(shí)際流體的流動(dòng)；可壓縮、不可壓縮流體的流動(dòng)。流體的流動(dòng)。三、流動(dòng)的分類三、流動(dòng)的分類 1.定常流動(dòng)定常流動(dòng) 運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的參數(shù)參數(shù)(壓強(qiáng)、速度、密度和溫度等壓強(qiáng)、速度、密度和溫度等)均均不隨時(shí)不隨時(shí)間變化間變化，而只隨空間點(diǎn)位置不同而不同，而只隨空間點(diǎn)位置不同而不同的流動(dòng)。的流動(dòng)。 （一）、定常流動(dòng)和非定常流

6、動(dòng)（一）、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 2.非定常流動(dòng)非定常流動(dòng) 運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的參數(shù)參數(shù)(壓強(qiáng)、速度、密度和溫度等壓強(qiáng)、速度、密度和溫度等)隨時(shí)間變化而變化隨時(shí)間變化而變化的流動(dòng)。的流動(dòng)。(=vv xyzpp xyzxyzT T xyz 、 、 ）、 、 ）（ 、 、 ）（ 、 、 ） （二）、一維、二維、三維流動(dòng)（二）、一維、二維、三維流動(dòng) 流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)分別是一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)坐流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)分別是一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)的流動(dòng)。標(biāo)的函數(shù)的流動(dòng)。管內(nèi)流動(dòng)速度分布圖管內(nèi)流動(dòng)速度分布圖( , )xvf r xxvxav是二維流動(dòng)。是二維流動(dòng)。 若對每一個(gè)截面的若對

7、每一個(gè)截面的速度取平均值，則速度取平均值，則( )xavf x是是一維流動(dòng)一維流動(dòng)。繞過機(jī)翼的二元流動(dòng)繞過機(jī)翼的二元流動(dòng)有限翼展的機(jī)翼繞流有限翼展的機(jī)翼繞流急變流急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流急變流急變流急變流急變流緩變流和急變流緩變流和急變流四四 流管、流束、緩變流流管、流束、緩變流 急變流急變流 五、流量五、流量 平均流速平均流速 P103vaqvA平均流速平均流速 （一）、系統(tǒng)（一）、系統(tǒng)（或稱或稱體系）：許多流體質(zhì)點(diǎn)的集體系）：許多流體質(zhì)點(diǎn)的集合。合。它有確定的質(zhì)量它有確定的質(zhì)量，其形狀和體積可能會(huì)隨著其形狀和體積可能會(huì)隨著時(shí)

8、間的變化而變化時(shí)間的變化而變化。系統(tǒng)以外的物質(zhì)叫。系統(tǒng)以外的物質(zhì)叫環(huán)境環(huán)境。跟跟蹤系統(tǒng)來研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是拉格朗日方法蹤系統(tǒng)來研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是拉格朗日方法所采取的途徑。所采取的途徑。六、系統(tǒng)六、系統(tǒng) 控制體控制體 （二）、控制體：（二）、控制體：是是流場中的一個(gè)特定的空間流場中的一個(gè)特定的空間區(qū)域區(qū)域，它本身沒有質(zhì)量它本身沒有質(zhì)量，其形狀不隨著時(shí)間變其形狀不隨著時(shí)間變化化。歐拉法是采用控制體研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律歐拉法是采用控制體研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。的方法。 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)x方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：dxdydzxxudydzdxxxu21xudyd

9、zdxxxu21xuMM)()()(左右ABCDA BCDdzdydxzyxo2dxxuvxxM2dxxuuxxNuxvzuyo在流場內(nèi)取一微元六面體（如圖），邊長為在流場內(nèi)取一微元六面體（如圖），邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)中心點(diǎn)O流速為流速為（ ux,uy,uz ）以以x軸方向?yàn)槔狠S方向?yàn)槔篸xxu21uuxxMdxxu21uuxxN右表面流速右表面流速一、連續(xù)性微分方程一、連續(xù)性微分方程第二節(jié)第二節(jié) 連續(xù)性方程連續(xù)性方程左表面流速左表面流速0zuyuxutzyx)()()( 流體的連續(xù)性微分方程的一般形式：流體的連續(xù)性微分方程的一般形式： 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律：單位時(shí)間內(nèi)流出與

10、流入六面體的流體質(zhì)量差之總和應(yīng)：單位時(shí)間內(nèi)流出與流入六面體的流體質(zhì)量差之總和應(yīng) 等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：dxdydztdxdydzzuyuxuzyx)()()(dxdydzxux)(X方向方向dxdydzzudxdydzyuzy)()(y方向：方向：z方向：方向：同理可得：同理可得：在在dt時(shí)間內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量時(shí)間內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量為：為：dxdydztdxdydztdxdydz)( 適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓 縮流體。（不可壓縮流體。（不可壓 縮

11、流體縮流體 ）0t0)()()(zuyuxuzyx（1）可壓縮流體恒定流動(dòng)的連續(xù)性微分方程）可壓縮流體恒定流動(dòng)的連續(xù)性微分方程 適用范圍適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。（2）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程0zzuyyuxxu 物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量）物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量） ， 與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動(dòng)。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或

12、非恒定流的不可壓縮流體流動(dòng)。0)()()(zuyuxutzyx0t當(dāng)為恒定流時(shí)當(dāng)為恒定流時(shí)Const當(dāng)為不可壓縮流時(shí)當(dāng)為不可壓縮流時(shí)例：有兩種二元流體，其流速可表示為：例：有兩種二元流體，其流速可表示為： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）ux=0, uy=3xy。試問這兩種流體是不可壓縮流體嗎？試問這兩種流體是不可壓縮流體嗎？解：解： （1）000)3()2(yxxyzuyuxuzyx符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程。符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程。是不可壓縮流體。是不可壓縮流體。（2）030)3()0(xyxyxzuyyuxuzx不符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程。不符合不可壓縮流體的連續(xù)性

13、方程。不是不可壓縮流體。不是不可壓縮流體。 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。在連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。在定常流動(dòng)下定常流動(dòng)下，通過流管任意有效截面的質(zhì)量流量是常數(shù)。，通過流管任意有效截面的質(zhì)量流量是常數(shù)。 1.對可壓縮均質(zhì)流體：對可壓縮均質(zhì)流體：1va1A1= 2va2A2式中式中 A1 、d2分別為分別為1、2兩個(gè)有效截面的面積，兩個(gè)有效截面的面積，m2； va1、va2分別為分別為A1和和A2上的平均流速，上的平均流速，m/s； 1、2分別為分別為1和和2處的流體密度，處的流體密度，kg/m3。一元管流的連續(xù)性方程一元管流的連續(xù)性方程 2.對不可壓縮均質(zhì)流體

14、：對不可壓縮均質(zhì)流體：A1va1=A2va2 說明一維總流在說明一維總流在定常流動(dòng)定常流動(dòng)條件下，沿流動(dòng)方向的條件下，沿流動(dòng)方向的體積流量體積流量為一個(gè)常數(shù)為一個(gè)常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比。，平均流速與有效截面面積成反比。0黏性流體：黏性流體：實(shí)際流體都具有黏性。既有黏性切應(yīng)力，又有法向壓應(yīng)力。實(shí)際流體都具有黏性。既有黏性切應(yīng)力，又有法向壓應(yīng)力。黏性流體黏性流體理想流體理想流體理想流體：理想流體：理想流體可忽略黏性。即無黏性切應(yīng)力，只有法向壓應(yīng)力。理想流體可忽略黏性。即無黏性切應(yīng)力，只有法向壓應(yīng)力。0 xyz第三節(jié)第三節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)微分方程流體運(yùn)動(dòng)微分方程 理想流體的動(dòng)水壓強(qiáng)特性與靜水壓

15、強(qiáng)的特性相同：理想流體的動(dòng)水壓強(qiáng)特性與靜水壓強(qiáng)的特性相同：ppppzyx2dxxpp2dxxppABCDABCDdzdxdyp(x,y,z) ozxyMNO 從理想流體中任取一從理想流體中任取一(x,y,z)為中心的微元六面為中心的微元六面體為控制體，邊長為體為控制體，邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)壓強(qiáng)為中心點(diǎn)壓強(qiáng)為p(x,y,z) 。受力分析受力分析(x方向?yàn)槔较驗(yàn)槔?：1.表面力表面力理想流體，理想流體， =0左表面左表面dydzxpdxpApPMM)2(右表面右表面dydzxp2dxpApPNN)(一、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程一、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程流體平衡微分方程回顧流體平衡微分方程回顧

16、 一、流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程歐拉平衡方程歐拉平衡方程p(x,y,z) M2dyypp2dyypp 根據(jù)平衡條件，在根據(jù)平衡條件，在y方向有方向有 Fy=0，即：即：0)2()2(dxdydzYdxdzdyyppdxdzdyypp整理得：整理得：01ypYABCDABCDdzdxdyxyzo在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為為dx，dy，dz，設(shè)中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為設(shè)中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p(x,y,z)=p，對其進(jìn)行受力分析：對其進(jìn)行受力分析：y向受力向受力表面力：表面力：dxdzdyypp)2(dxdzdyypp)2(質(zhì)量力：質(zhì)量力：dxdydzY01

17、0101zpZypYxpX 流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）：流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）： 物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強(qiáng)沿軸向的變化率：面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強(qiáng)沿軸向的變化率： 等于等于 該軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量該軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（ X, Y, Z）。）。zpypxp,（1）x x方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）：方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）： maFdtdudxdydzdxdydzXdydzdxxppdydzdxxppx)2()2(zuuyuuxuutudtdu

18、xp1Xxzxyxxxx2.2.質(zhì)量力質(zhì)量力單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為X,Y,ZX,Y,Z，質(zhì)量力為質(zhì)量力為 X X dxdydzdxdydz適用范圍適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。zuuyuuxuutudtduzp1Zzuuyuuxuutudtduyp1Yzuuyuuxuutudtduxp1Xzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）若加速度若加速度 等于等于0，則上式就可轉(zhuǎn)化為，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分

19、方程歐拉平衡微分方程0zp1Z0yp1Y0 xp1Xdtdudtdudtduzyx,三、黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程三、黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程1、黏性流體的特點(diǎn)、黏性流體的特點(diǎn) （2）實(shí)際的流動(dòng)流體任一點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)，由于黏性切應(yīng)力的存在，各向大小不）實(shí)際的流動(dòng)流體任一點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)，由于黏性切應(yīng)力的存在，各向大小不 等，即等，即pxx pyy pzz。任一點(diǎn)動(dòng)壓強(qiáng)為：。任一點(diǎn)動(dòng)壓強(qiáng)為：)p p (p31pzzyyxxxzxzzxzyzyyzyxyxxyzuxuyuzuxuyu)()()(zu2ppyu2ppxu2ppzzzyyyxxx（1）實(shí)際流體的面積力包括：壓應(yīng)力和黏性引起的切應(yīng)力。）實(shí)際流體的面積力

20、包括：壓應(yīng)力和黏性引起的切應(yīng)力。 該切應(yīng)力由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律確定：該切應(yīng)力由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律確定：2、黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式、黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式 同樣取一微元六面體作為控制同樣取一微元六面體作為控制體。體。()yxyxyxdxdzdy dxdzyx方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 ）：）： maF yz yx pyy xz xypxx zx zypzz xy xz pxx yz yxpyy zy zx pzzdzdxdyxyz左右向壓力左右向壓力x向受力向受力質(zhì)量力質(zhì)量力前后面切力前后面切力上下向切力上下向切力xdudxdydzdt()zxzxzxdydxdz dydx

21、zXdxdydz()xxxxxxppdydzpdx dydzx 1 1） 不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程：不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程： 2 2）切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式）切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式zuuyuuxuutudtduuvzpZzuuyuuxuutudtduuvypYzuuyuuxuutudtduuvxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111 不可壓縮黏性流體運(yùn)動(dòng)微分方程：不可壓縮黏性流體運(yùn)動(dòng)微分方程：納維埃納維埃- -斯托克斯方程斯托克斯方程（Navier- Stokes，N-S)方程：方程：考慮條件：考慮條件：2x22x22x2x2zuyuxuu0z

22、uyuxuzyx拉普拉斯算拉普拉斯算符符 ，例：，例：2222222zyx1、恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程流體的運(yùn)動(dòng)微分方程是描述流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，用來解決流體的運(yùn)動(dòng)微分方程是描述流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，用來解決流體問題時(shí)，必須對其進(jìn)行積分，目前在數(shù)學(xué)上還不能對運(yùn)流體問題時(shí)，必須對其進(jìn)行積分，目前在數(shù)學(xué)上還不能對運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行普遍的積分，只有在一些特殊的條件下，才動(dòng)微分方程進(jìn)行普遍的積分，只有在一些特殊的條件下，才有近似解。有近似解。（1）通過對）通過對歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行積分歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行積分 推導(dǎo)推導(dǎo)恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程 定常流動(dòng)；定常流動(dòng)； 沿流線積

23、分；沿流線積分； 質(zhì)量力只有重力；質(zhì)量力只有重力； 不可壓流體。不可壓流體。第四節(jié)第四節(jié) 運(yùn)動(dòng)微分方程的積分運(yùn)動(dòng)微分方程的積分-伯努利方程伯努利方程zuuyuuxuutuzuyuxpfxzxyxxxxxx22221黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：定常流動(dòng)：定常流動(dòng)：0tuxxuzuuxuyuuuxuxuxxuuxuuxuuxuuzuuyuuxuuzxzyxyzyxzzzzyyyyxzxyxx222222右邊zuuyuuxuuuxpfxzxyxxxx21xuzuzuyuzxyyzx2121yuxuxyz21流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為：流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為：zyyzyzzyzyxzx

24、zyxyzyxuuuxuuuuuxxuzuuxuyuuuxuxux222222222222222右邊代入原方程得：代入原方程得：zyyzxxzyyzxxuuuuxxpfuuuxuxpf2212212222dzuudzudzuzdzzpdzfdyuudyudyuydyypdyfdxuudxudxuxdxxpdxfyxxyzzxzzxyyzyyzxx221221221222222三個(gè)投影方程的兩端分別乘以三個(gè)投影方程的兩端分別乘以dxdx、dydy、dzdz 得：得：dzuudyuudxuuuuudzdydxxyyxzxxzyzzyzyxzyx右側(cè)右側(cè)zyxzyxzyxzyxuuudzdydxdz

25、udyudxuuddpdzfdyfdxf2212222以上三式求和以上三式求和0zyxzyxuuudzdydxzyxzyxzyxzyxuuudzdydxdzudyudxuuddpdzfdyfdxf22122220212222dzudyudxuuddpdzfdyfdxfzyxzyx若質(zhì)量力只有重力若質(zhì)量力只有重力gdzdzfdyfdxfzyx0212222dzudyudxuuddpgdzzyx若若沿流線積分，沿流線積分，行列式等于零，即：行列式等于零，即：不可壓流體不可壓流體常數(shù)常數(shù)兩邊積分得：兩邊積分得：chgugpzw22whgugpzgugpz2222222111黏性元流的能量方程黏性元流

26、的能量方程黏性元流的伯努利方程黏性元流的伯努利方程dzudyudxughdzyxw222：令令單位質(zhì)量流體黏單位質(zhì)量流體黏性力所作的微功性力所作的微功022whdgugpzd上式就是單位重量實(shí)際流體沿元流的能量方程式上式就是單位重量實(shí)際流體沿元流的能量方程式02102122222222dzudyudxugguddpgdzdzudyudxuuddpgdzzyxzyx z z 位置水頭；位置水頭； 單位重量流體單位重量流體 具有的位能（比位能）具有的位能（比位能） （m m液柱）液柱） 壓力水頭；壓力水頭； 單位重量流體單位重量流體 具有的比壓能具有的比壓能 （m m液柱）液柱） 速度水頭；單位重

27、量流體具有的比動(dòng)能（速度水頭；單位重量流體具有的比動(dòng)能（m m液柱）液柱）gpgu22（一）物理意義（一）物理意義gp1gp2（2 2）恒定元流能量方程各項(xiàng)的物理意義）恒定元流能量方程各項(xiàng)的物理意義沿流線伯努利方程又稱微小流束的伯努利方程沿流線伯努利方程又稱微小流束的伯努利方程理想流體總水頭線為水平線，表明機(jī)械能守恒理想流體總水頭線為水平線，表明機(jī)械能守恒 測壓管水頭；測壓管水頭； 單位重量流體單位重量流體 具有的比勢能具有的比勢能 H總水頭；總水頭； 單位重量流體的總機(jī)械能，總比能單位重量流體的總機(jī)械能，總比能212222211122HHgvgpzgvgpzgpzHgvgpz22（二）幾何意

28、義（二）幾何意義gp1gp2例題例題9-2 109單位重量流體相對于某參考單位重量流體相對于某參考面（基準(zhǔn)面）所具有的位能面（基準(zhǔn)面）所具有的位能 元流過流斷面上某點(diǎn)相對于某元流過流斷面上某點(diǎn)相對于某參考面的位置高度參考面的位置高度/ /位置水頭位置水頭 能量意義能量意義 幾何意義幾何意義 zgp單位重量流體所具有的壓能單位重量流體所具有的壓能 壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭gugpz22gu22gpz單位重量流體所具有的總勢能單位重量流體所具有的總勢能 測壓管水頭測壓管水頭單位重量流體所具有的動(dòng)能單位重量流體所具有的動(dòng)能 速度水頭速度水頭單位重量流體所具有的總機(jī)械能單位重量流體所具有的總機(jī)械能 總水頭總水

29、頭wh單位重量流體的能量損失單位重量流體的能量損失損失水頭損失水頭whgugpzgugpz22222221112 2、恒定總流的能量方程、恒定總流的能量方程恒定元流能量方程：恒定元流能量方程：whgugpzgugpz2222222111上式就是單位重量流體沿元流的能量方程式。設(shè)元流的上式就是單位重量流體沿元流的能量方程式。設(shè)元流的流量為流量為dQdQ，單位時(shí)間內(nèi)通過元流任一過流斷面的流體重，單位時(shí)間內(nèi)通過元流任一過流斷面的流體重量為量為gdQgdQ，將上式中各項(xiàng)分別乘以，將上式中各項(xiàng)分別乘以gdQgdQ，則單位時(shí)間，則單位時(shí)間內(nèi)通過元流兩過流斷面間流體的能量關(guān)系為：內(nèi)通過元流兩過流斷面間流體的

30、能量關(guān)系為：gdQhgdQgugpzgdQgugpzw)2()2(222221112211dAudAudQ對總流過流斷面進(jìn)行積分：對總流過流斷面進(jìn)行積分：QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gdQhdAgugugpzdAgugugpzw222222112111)2()2(gdQhgdQgugpzgdQgugpzw)2()2(22222111的積分的積分Cgpz)(gudAgpzA)(一般而言，總流過流斷面上的測壓管水頭的分布規(guī)律與過流斷面上一般而言，總流過流斷面上的測壓管水頭的分布規(guī)律與過流斷面上的流動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，若

31、是均勻流或緩變流，則同一斷面上動(dòng)壓強(qiáng)的分的流動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，若是均勻流或緩變流，則同一斷面上動(dòng)壓強(qiáng)的分布規(guī)律與靜壓強(qiáng)相同，即：布規(guī)律與靜壓強(qiáng)相同，即： ，因此只要是緩變流斷面，因此只要是緩變流斷面，上式的積分可化為：上式的積分可化為：QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gQgpzdQggpzgudAgpzAA)()()(gdAguA23的積分的積分上式表示單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面上式表示單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面A A的流體總動(dòng)能。由于的流體總動(dòng)能。由于過流斷面上的流速分布與流體內(nèi)部結(jié)構(gòu)和邊界條件有關(guān)，過流斷面上的流速分布與

32、流體內(nèi)部結(jié)構(gòu)和邊界條件有關(guān)，一般難于確定。因此工程上常用平均速度取代點(diǎn)的速度，一般難于確定。因此工程上常用平均速度取代點(diǎn)的速度，由此產(chǎn)生的誤差，通過引進(jìn)動(dòng)能修正系數(shù)由此產(chǎn)生的誤差，通過引進(jìn)動(dòng)能修正系數(shù)加以改正。加以改正。 上式的積分可化為：上式的積分可化為：gQgvgAgvgdAguA22223322211232222213111112)(2)(AwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpzQwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gdQhQw的積分的積分上式表示單位時(shí)間內(nèi)總流從過流斷面上式表示單位

33、時(shí)間內(nèi)總流從過流斷面1 1- -1 1流至流至2 2- -2 2的總機(jī)的總機(jī)械能損失，可以用單位重量流體在該兩斷面間的平均機(jī)械能損失，可以用單位重量流體在該兩斷面間的平均機(jī)械能損失來表示，上式的積分可化為：械能損失來表示，上式的積分可化為：gQhgdQhwQwwh影響能量損失的因素較復(fù)雜，除了與流速的大小，過流斷面的影響能量損失的因素較復(fù)雜，除了與流速的大小，過流斷面的 尺寸及形狀有關(guān)外，還與流道固體邊壁的粗糙度等因素有關(guān)。尺寸及形狀有關(guān)外，還與流道固體邊壁的粗糙度等因素有關(guān)。gQgvgAgvgdAguA222233gQgpzgudAgpzA)()(將、三個(gè)積分代入公式中，可得總流的能量方程式

34、：將、三個(gè)積分代入公式中，可得總流的能量方程式：whgvgpzgvgpz222222221111QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gQhgdQhwQw（）恒定總流能量方程各項(xiàng)的物理意義（）恒定總流能量方程各項(xiàng)的物理意義總流過流斷面上某點(diǎn)（計(jì)算點(diǎn)）總流過流斷面上某點(diǎn)（計(jì)算點(diǎn)）單位重量流體的位能單位重量流體的位能 位置高度位置高度/ /位置水頭位置水頭 能量意義能量意義 幾何意義幾何意義 zp壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭gvpz22gv22pz 單位重量流體所具有的單位重量流體所具有的平均平均勢能勢能 測壓管水頭測壓管水頭速度水

35、頭速度水頭單位重量流體的單位重量流體的平均平均機(jī)械能機(jī)械能 總水頭總水頭總流過流斷面上某點(diǎn)（計(jì)算點(diǎn)）總流過流斷面上某點(diǎn)（計(jì)算點(diǎn)）單位重量流體的壓能單位重量流體的壓能 總流過流斷面上單位總流過流斷面上單位重量流體的重量流體的平均平均動(dòng)能動(dòng)能 wh單位重量流體的單位重量流體的平均平均機(jī)械能損失機(jī)械能損失損失水頭損失水頭whgvgpzgvgpz222222221111（2 2）能量方程的圖示與水力坡度）能量方程的圖示與水力坡度水力坡度，水力坡度，J J 0.0. 單位長度的能量損失單位長度的能量損失dlgvgpzddldHdldhJw)2(2測壓管坡度，測壓管坡度，可正可負(fù)可為可正可負(fù)可為0. 0.

36、 dlgpzddldhJpp)(因?yàn)榭偹^總是沿程減小，總水頭線必定是一條沿流程下降的線；因?yàn)榭偹^總是沿程減小，總水頭線必定是一條沿流程下降的線；測壓管水頭線則可能沿流程下降也可能沿流程上升，也可能是一條水平線。測壓管水頭線則可能沿流程下降也可能沿流程上升，也可能是一條水平線。 whgvgpzgvgpz222222221111dldl（3 3）總流能量方程的推廣）總流能量方程的推廣兩斷面之間有分流或匯流兩斷面之間有分流或匯流根據(jù)能量守恒定理和連續(xù)性方程：根據(jù)能量守恒定理和連續(xù)性方程：322311233333222222211111)2()2()2(wwhgQhgQgvpzgQgvpzgQgv

37、pzgQ3223112333321222222211111)2)()2()2(wwhgQhgQgvpzQQggvpzgQgvpzgQ321QQQ02)2(2)2(32233332222223123333211111wwhgvpzgvpzQhgvpzgvpzQ）（）（3223333222223123333211112222wwhgvpzgvpzhgvpzgvpz兩斷面之間有機(jī)械能的輸入和輸出兩斷面之間有機(jī)械能的輸入和輸出wthgvgpzHgvgpz222222221111水泵或水輪機(jī)輸入或輸出的能量水泵或水輪機(jī)輸入或輸出的能量在管路中若有水泵或水輪機(jī)等水力機(jī)械，水流通過水在管路中若有水泵或水輪機(jī)

38、等水力機(jī)械，水流通過水力機(jī)械的葉片時(shí)將發(fā)生能量變換。力機(jī)械的葉片時(shí)將發(fā)生能量變換。只要在相應(yīng)側(cè)加上只要在相應(yīng)側(cè)加上或減去輸入或輸出的能量即可?；驕p去輸入或輸出的能量即可。 水泵：水泵：水流通過水泵的葉片時(shí)，葉片對水流作功，水流通過水泵的葉片時(shí)，葉片對水流作功， 使水流的能量增加。使水流的能量增加。水輪機(jī)：水輪機(jī)：水流通過水輪機(jī)的葉片時(shí)，水流對葉片作功，水流通過水輪機(jī)的葉片時(shí)，水流對葉片作功， 使水流的能量減少。使水流的能量減少。tH能量輸入或輸出水頭能量輸入或輸出水頭tHtH水泵取正號（能量增加）水泵取正號（能量增加）稱為水泵的揚(yáng)程稱為水泵的揚(yáng)程水輪機(jī)取負(fù)號（能量減少）水輪機(jī)取負(fù)號（能量減少）

39、常見的水泵和水輪機(jī)管路系統(tǒng)如圖常見的水泵和水輪機(jī)管路系統(tǒng)如圖wthgvgpzHgvgpz222222221111wthgvgpzHgvgpz222222221111已知：已知：如圖抽水機(jī)管路，抽水量如圖抽水機(jī)管路，抽水量Q Q= =0.06m0.06m3 3/s/s；管徑；管徑D=0.2mD=0.2m； 高位水池水面高于吸水池水面高位水池水面高于吸水池水面30m30m。 問：問：抽水機(jī)供給的總比能抽水機(jī)供給的總比能( (輸入能量輸入能量) )H Ht t為若干？為若干？解：解：此流體視為不可壓縮無黏性流體此流體視為不可壓縮無黏性流體 選取吸水池水面為基準(zhǔn)面選取吸水池水面為基準(zhǔn)面O O- -O

40、O及及 過水?dāng)嗝孢^水?dāng)嗝? 1- -1 1，并以高位水池水面，并以高位水池水面 為為2 2- -2 2gvagpHgvagpata23020222211米水柱30tH自自1 1- -1 1，2 2- -2 2列出伯努利方程列出伯努利方程由于斷面由于斷面1 1- -1 1，2 2- -2 2較大，較大，可近似可近似v v1 1= v= v2 2 =0 =02 23030B BA AO O( (1 1) )O O( (1 1) )2 2C C求水泵的揚(yáng)程例題求水泵的揚(yáng)程例題例題：例題：如圖離心水泵流量如圖離心水泵流量Q=20mQ=20m3 3/h/h；安裝高度；安裝高度H Hs s=5.5m=5.

41、5m， 吸水管內(nèi)徑吸水管內(nèi)徑d d2 2=100mm=100mm. . 求：求：水泵進(jìn)水口水泵進(jìn)水口2 2- -2 2處的真空度？處的真空度？解：解：選取吸水池水面為基準(zhǔn)面選取吸水池水面為基準(zhǔn)面1 1- -1 1及過流斷面及過流斷面2 2- -2 2gvgpgpa25.500222自自1 1- -1 1，2 2- -2 2列出伯努利方程列出伯努利方程1 11 12 22 2d d2 2H Hs s4222dvQggvppa)25.5(222已知：已知：如圖為軸流式風(fēng)機(jī)的吸入管，其內(nèi)徑如圖為軸流式風(fēng)機(jī)的吸入管，其內(nèi)徑D=0.3mD=0.3m， =12.6N/m=12.6N/m3 3， 由裝在管壁

42、下邊的由裝在管壁下邊的U U形測壓管（內(nèi)裝水）測得形測壓管（內(nèi)裝水）測得 h=0.25mh=0.25m。 問：問：此風(fēng)機(jī)的風(fēng)量此風(fēng)機(jī)的風(fēng)量Q Q為若干？為若干？解：解：此流體視為不可壓縮無黏性流體，并假定單位重量流體自此流體視為不可壓縮無黏性流體，并假定單位重量流體自A A點(diǎn)流點(diǎn)流 向向B B點(diǎn)。選取基準(zhǔn)面點(diǎn)。選取基準(zhǔn)面O O- -O O，過流斷面，過流斷面1 1- -1 1，2 2- -2 2，則：，則：hpppppppzzwaCBaABA21;0gvpzgvpzaa2222222111smAvQsmv/36.4/7 .613222自自1 1- -1 1，2 2-2-2列出伯努利方程列出伯努

43、利方程由于斷面由于斷面1 1- -1 1較大，可近似較大，可近似v v1 1=0=01 1o oo oB B2 22 21 1A Av v1 1C C氣氣水水 h hD D1、實(shí)際流體區(qū)別于理想流體有何特點(diǎn)？理想流體的運(yùn)動(dòng)微、實(shí)際流體區(qū)別于理想流體有何特點(diǎn)？理想流體的運(yùn)動(dòng)微 分方程與實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程有何聯(lián)系？分方程與實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程有何聯(lián)系？2、連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性、連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性 微分方程說明了什么問題？微分方程說明了什么問題？一般形式，恒定流，不可壓縮流；質(zhì)量守恒一般形式，恒定流，不可壓縮流；質(zhì)量守恒 實(shí)際流體具有黏

44、性，存在切應(yīng)力；實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程中等式的實(shí)際流體具有黏性，存在切應(yīng)力；實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程中等式的左邊比理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程增加了由于黏性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項(xiàng)。左邊比理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程增加了由于黏性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項(xiàng)。3、 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組在勢流條件下的積分形式的應(yīng)用歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組在勢流條件下的積分形式的應(yīng)用 與沿流線的積分有何不同？與沿流線的積分有何不同？ 形式完全相同，但含義不一樣。形式完全相同，但含義不一樣。 勢流條件下積分形式是針對理想流體的恒定有勢流動(dòng)中的任何質(zhì)點(diǎn)，勢流條件下積分形式是針對理想流體的恒定有勢流動(dòng)中的任何質(zhì)點(diǎn)，而不局限于同一流線。它不適用于有旋流。而不

45、局限于同一流線。它不適用于有旋流。 沿流線積分形式是針對理想流體恒定流流動(dòng)中同一條流線的質(zhì)點(diǎn)。沿流線積分形式是針對理想流體恒定流流動(dòng)中同一條流線的質(zhì)點(diǎn)。它適用于有旋流。它適用于有旋流。 第五節(jié)第五節(jié) 動(dòng)量方程動(dòng)量方程1 1、積分形式的動(dòng)量方程、積分形式的動(dòng)量方程流體的運(yùn)動(dòng)方程流體的運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： 系統(tǒng)的動(dòng)量對時(shí)間的變化率等于作系統(tǒng)的動(dòng)量對時(shí)間的變化率等于作 用于該系統(tǒng)上所有的外力之合。用于該系統(tǒng)上所有的外力之合。 FdtKddmKiniiuu1FddtduAndAdtddtdu把動(dòng)量代入輸運(yùn)方程的隨體導(dǎo)數(shù)公式把動(dòng)量代入輸運(yùn)方程的隨體導(dǎo)數(shù)公式AndAuudtuddt

46、d)(uFddtduFdAuudtuAn)(Fddtdu 控制體控制體（t）內(nèi)動(dòng)量隨時(shí)間的變化率與）內(nèi)動(dòng)量隨時(shí)間的變化率與 單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制體表面單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制體表面A（t）流出的動(dòng)量之和）流出的動(dòng)量之和等于作用于控制體上所有外力之和。等于作用于控制體上所有外力之和。u作用于控制體上的外力：作用于控制體上的外力：質(zhì)量力質(zhì)量力表面力表面力表面力：表面力：對于理想流體表面力只有壓力，對于理想流體表面力只有壓力， 粘性剪應(yīng)力為零。粘性剪應(yīng)力為零。dAnpA 指外法線方向，負(fù)號表示壓力指外法線方向，負(fù)號表示壓力n質(zhì)量力：質(zhì)量力：用用 f 表示，具有加速度的量綱表示，具有加速度的量綱dfdAnpf

47、dFdAvvdtvAAn)(積分形式的動(dòng)量方程積分形式的動(dòng)量方程FFdAuudtuAn)(（1 1）定常流動(dòng)：）定常流動(dòng)：動(dòng)量不隨時(shí)間變化動(dòng)量不隨時(shí)間變化dAnpfddAvvdtvAAn0)(單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量等于作用于控制體上的外力之和單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量等于作用于控制體上的外力之和積分形式的動(dòng)量方程積分形式的動(dòng)量方程dAnpfddAvvdtvAAn)(控制體控制體（t）內(nèi)動(dòng)量隨時(shí)間的變化率與單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制體）內(nèi)動(dòng)量隨時(shí)間的變化率與單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制體表面表面A（t）流出的動(dòng)量之和等于作用于控制體上所有外力之和。）流出的動(dòng)量之和等于作用于控制體上所有外力之和。在恒定流動(dòng)時(shí)，

48、動(dòng)量方程為：在恒定流動(dòng)時(shí)，動(dòng)量方程為：dAnpfddAuuAAn單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量等于作用于控制體上的外力之和。單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量等于作用于控制體上的外力之和。單位時(shí)間內(nèi)控制體動(dòng)量的增量等于作用于控制體上的外力之和。單位時(shí)間內(nèi)控制體動(dòng)量的增量等于作用于控制體上的外力之和。 2、恒定總流的動(dòng)量方程及其應(yīng)用恒定總流的動(dòng)量方程及其應(yīng)用dAnpfdFdAuudtAAn)u(恒定總流的動(dòng)量方程可簡化為一元流動(dòng)的動(dòng)量方程恒定總流的動(dòng)量方程可簡化為一元流動(dòng)的動(dòng)量方程控制體控制體任取一段總流任取一段總流1- -1、 2- -2之間的流體。之間的流體。1112221111222211221122

49、112121222121udtdAuudtdAuudtdAuudtdAuudmudmKKKKKKKKKd分析其中任一元流：分析其中任一元流：dt 時(shí)段內(nèi)元流由時(shí)段內(nèi)元流由 1-2 運(yùn)動(dòng)至運(yùn)動(dòng)至1-2 從而動(dòng)量發(fā)生變化，動(dòng)量的增量為：從而動(dòng)量發(fā)生變化，動(dòng)量的增量為：對于不可壓流體：對于不可壓流體：211212111222111222AAAAuudAuudAdtudtudAudtudAKd)()()()(11221122111122221111222212vvQdtvQvQdtvAvvAvdtdAvvdAvvdtKdAA恒定總流：恒定總流：總流可以看作是由無數(shù)元流組成，將元流總流可以看作是由無數(shù)元

50、流組成，將元流 動(dòng)量的增量對總流過流斷面進(jìn)行積分，得：動(dòng)量的增量對總流過流斷面進(jìn)行積分，得：用過流斷面的平均流速用過流斷面的平均流速 v 來代替上式中未知的點(diǎn)速來代替上式中未知的點(diǎn)速 u 分布，分布，由此產(chǎn)生的誤差，通過引進(jìn)動(dòng)量修正系數(shù)由此產(chǎn)生的誤差，通過引進(jìn)動(dòng)量修正系數(shù)加以改正。加以改正。1122AvAvQ總流的流量總流的流量)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF 方程的投影式：方程的投影式：兩邊同除兩邊同除 dt：不可壓縮流體恒定總流的動(dòng)量方程不可壓縮流體恒定總流的動(dòng)量方程不可壓縮流體定常流動(dòng)總流的動(dòng)量方程是矢量形式的動(dòng)不可壓縮流體定常流動(dòng)總流的動(dòng)量方程是矢量形式的動(dòng)量方程，為了計(jì)算方便，將它投影在三個(gè)坐標(biāo)軸方向。量方程，為了計(jì)算方便，將它投影在三個(gè)坐標(biāo)軸方向。外力與流速的符號規(guī)則：外力與流速的符號規(guī)則： 外力：外力：與選定的坐標(biāo)軸方向相同者取正號，否則取負(fù)號。與選定的坐標(biāo)軸方向相同者取正號，否則取負(fù)號。 流速：流速：與選定的坐標(biāo)軸方向相同者取正號，否則取負(fù)號。與選定的坐標(biāo)軸方向相同者取正號，否則取負(fù)號。FvvQdtKd)(1122)(1122vvQdtKd動(dòng)量方程的右端是單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量方程的右端是單位時(shí)間內(nèi)流出流出的動(dòng)量的動(dòng)量減去減去流入流入的動(dòng)量。的動(dòng)量。 動(dòng)量