(完整版)《數(shù)學(xué)分析》無窮小量與無窮大量.doc

1、§ 5無窮小量與無窮大量教學(xué)目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。引言在學(xué)習(xí)數(shù)列極限時(shí)，有一類數(shù)列非常引人矚目，它們具有如下特征：lin an 0.我們稱之為無窮小數(shù)列。通過前面幾節(jié)對(duì)函數(shù)極限的學(xué)習(xí)。我們可以發(fā)現(xiàn)，在一般函數(shù)極限中也有類似的情形。例如：lin sin x 0, lin x2 0,L x 0x 0我們給這類函數(shù)一個(gè)名稱一一“無窮小量”。既然有“無窮小量”，與之對(duì)應(yīng)的也應(yīng)有“無窮大量”，那么什么時(shí)“無窮大量” ？進(jìn)一步，這些“量”有哪些 性質(zhì)呢？以上

2、就是我們今天要給大家介紹的內(nèi)容一一無窮小量與無窮大量。一、無窮小量1.定義1 ：設(shè)f在某U 0 &0）內(nèi)有定義。若lin f（x）x xo0 ，則稱f為當(dāng)xxo時(shí)的無窮小量。記作:f(X)0 (l)(x xo ).（類似地可以定義當(dāng) x X0 , X X0 , X , X , X時(shí)的無窮小量）例： k （1,2, ）,sh ,1 cosJx k L x x都是當(dāng)x 0時(shí)的無窮小量； 1 x是當(dāng)x 1 sh x 是X時(shí)的無窮小量。X2 X2.無窮小量的性質(zhì)（1）先引進(jìn)以下概念1時(shí)的無窮小量;定義2 （有界量）若函數(shù)g在某U 0 &o ）內(nèi)有界，則稱g為當(dāng)x X0時(shí)的有界量，記作:

3、例如：sin x是當(dāng)x10 (l)(x 0).xg （x） 0 （l）（x xo ）.1時(shí)的有界量，即 shx 0 （1）&）； Sh-是當(dāng)X 0時(shí)的有界量，即注：任何無窮小量都是有界量（局部有界性），即若 f &)0(1) & xo),則 f(x) 0 (l)(x xo ).區(qū)別：“有界量”與“有界函數(shù)”。一般在談到函數(shù)f是有界函數(shù)或函數(shù) f是有界的，意味著存在M > 0 ,f在定義域內(nèi)每一點(diǎn)x ,都有f （x） | M o這里“有界”與點(diǎn)無關(guān)：而有界是與“點(diǎn)有關(guān)”，是在某點(diǎn)的周圍（且除去此點(diǎn)）有界，是一種“局部”的有界。（2 ）性質(zhì)性質(zhì)1 兩個(gè)（相同類型的）無

4、窮小量之和、差、積仍為無窮小量。性質(zhì)2 無窮小量與有界是的乘積為無窮小量。性質(zhì)3 lin f(x) A f(x)A是當(dāng)xx。時(shí)的無窮小量血(f (x) A) 0.x X0x X0? 1例如；hn xz sh_ o , lin (x2 x3 ) 0,lin xsh x 0 .x 0*x 0x 0問題：兩個(gè)(相同類型的)無窮小量之商是否仍為無窮小量？考慮：X2xxsh x2xlin 0,lin -z ?,lin 21,in1,lin ? 2 .x ° X x o x x o x* oX x o x引申：同為無窮小量，lin xi 0，而加 士不存在？這說明“無窮小量”是有“級(jí)別”的。這個(gè)

5、“級(jí)2x 0 Xx 0 X別”表現(xiàn)在收斂于0 (或趨近于0)的速度有快不慢。 就上述例子而言， 這個(gè)“級(jí)別”的標(biāo)志是x的“指數(shù)”， 當(dāng)x 0時(shí)，x的指數(shù)越大，它接近于0的速度越快。這樣看來，當(dāng) x 0時(shí)，x2的收斂速度快于x的收斂速度。所以其變化結(jié)果以 x2為主。此時(shí)稱x2是(當(dāng)x 0時(shí))x的高階無窮小量，或稱 x 0時(shí)，x是X2的低階無窮小量。般地，有下面定義:1.無窮小量階的比較(主要對(duì)xo敘述，對(duì)其它類似)設(shè)當(dāng)x xo時(shí)，f, g均為無窮小量。f(X)(1 ) 若向 0 ，則稱xxo時(shí)f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量,記作 f (x) 0(g (x)(xxo ) .即 f

6、(x)0 (g (x)(x xo )lin0 .x XO g (x)例 lin0x 0 XkXk 1 0(xk)(x0) , lin cos x 向匕11 _x os in x x o 21 cos x 0 (3h x) (x 0).0(1 x)(x 1) ?問題 lin lin (1 x) o,此時(shí)是可說1 xx 11 X x 1引申 與上述記法：f (x) 0(g(x)(xxo)相對(duì)應(yīng)有如下記法：f (x) o (g(x)(x xo),這是什么意思？含義如下:若無窮小量f與g滿足關(guān)系式 干 L, x U ° (xo ),則記作f (x) 0 (g (x)(x xo ).g (x)

7、.X例如，(1) 1 cos x 0 (x2 )(x0) , x(2 sii ) o &)(x0).2(2 )若 f &)0 (g (x)(x xo ) f (x) 0 (g (x) (x xo ).注 等式 f (x) 0 (g (x)(x xo ),f &) 0 (g (x)(xxo)等與通常等式的含義不同的。這里的等式左邊是一個(gè)函數(shù)，右邊是一個(gè)函數(shù)類(一類函數(shù))，而中間的“=”叫的含義是“1 cos x 0 (sh x) (x 0),其中 0 Gil x)f I lin0 ,而上述等式表示函數(shù)x 0 g(X)1 cosx f hn f (x) 0 o 為方便起見，

8、記作 1 cos x 0 fch x). x o g(X)若存在正數(shù)K和L,使得在某u。(xo)上有 K L I g(x)|則稱 f與g為當(dāng)X xo時(shí)的同階無窮小量。需要注意：lin0存0 g(X)在，并不意味著f與g不無窮小量。如lin xx 0lin x(2x 01sin_ )x(2SU _ )x- lin(2x 01、 sh )不存在。x(21 sh)為當(dāng)X o時(shí)的同階無窮小量。由上述記號(hào)可知：若f與g是當(dāng)xxo時(shí)的同階無窮小量，則一定有：f (x) 0 (g(x)(x xo ) o, f (x)若lin 1 ,則稱f與g是當(dāng)xX XO g (x)xo時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作f (x) ：

9、 g (x) (x xo ).sh x2 (1 cos x)x2例如：1 ) lin 1 sh x ： x(x 0) ; 2 ) lin ： 1 1 cos x ： 一(x 0).對(duì)于“等價(jià)無窮小量”有下面的重要的結(jié)論，它在求極限問題中有重要作用，稱為求極限的“等 價(jià)量法”。定理 設(shè)函數(shù)f、 g、h在U°(xo)內(nèi)有定義，且有 f(X)： g (x) (xxo ) . (1)若lin f (x)h(x)x XOA ,則 lin g(x)h(x)x xo例1.求lin陋皿.x x。sh4xtx sin x例2. 求極限hn s x0 sh xah (x)h&)A； Q)若山B,

10、則in B.x Xo f (x) XX。g (x)注：在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用 等價(jià)無窮小量來替代，而對(duì)極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。3.小結(jié)以上討論了無窮小量，無窮小量性質(zhì)。無窮小量比較。兩個(gè)無窮小量可比較的特征一一其商是有 界量。但應(yīng)指出，并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較。1例如 lin x siL Jin x2 0 .二、無窮大量1 .問題 “無窮小量是以0為極限的函數(shù)”。能否仿此說“無窮大量是以為極限的函數(shù)”。答：按已學(xué)過的極限的定義，這種說法是不嚴(yán)格的，講A為函數(shù)f&)當(dāng)xX0時(shí)的極限，意味xo時(shí)，

11、f(x)與 (or )無限接著A是一個(gè)確定的數(shù)，而“”不具有這種屬性，它僅僅是一個(gè)記號(hào)。所以不能簡(jiǎn)單地講“無窮大量是以為極限的函數(shù)”。但是，確實(shí)存在著這樣的函數(shù)，當(dāng) 近。1例如：1) f(x) L,當(dāng)x 0時(shí)，工與越來越接近，而且只要X與0充分接近，就會(huì)無限增大；2 ) f (x) _L_ ,當(dāng)x 1時(shí)，也具有上述特性。 x 1在分析中把這類函數(shù) f稱為當(dāng)x xo時(shí)有非正常極限 。其精確定義如下：2 .非正常極限定義2 (非正常極限) 設(shè)函數(shù)f6)在某U 0 &o)內(nèi)有定義，若對(duì)任給的M >0,存在 0,當(dāng)x U ° )( U 0 (xo)時(shí)有|f (x) |M ,則稱

12、函數(shù) f(x)當(dāng)x xo時(shí)有非正常極限 ，記作lin f (x) ox XO注：1)若“ |f(x) M ”換成“ f6) M "，則稱f(x)當(dāng)X xo時(shí)有非正常極限 ；若換成f(x) M ,則稱f&)當(dāng)xxo時(shí)有非正常極限，分別記作lin f (x), lin f(x)x xoX XO2) 關(guān)于函數(shù)f在自變量X的其它不同趨向的非正常極限的定義，以及數(shù)列an 當(dāng)n時(shí)的非正常極限的定義，都可類似地給出。例如：lin f (x)M 0 ,當(dāng) x M 時(shí)，f &) M ；Xlin anM 0 , N 0 ,當(dāng) n N 時(shí)，M .n3 .無窮大量的定義定義3 .對(duì)于自變量x

13、的某種趨向(或n ),所有以，or為非正常極限的函數(shù)(包括數(shù)列)，都稱為無窮大量。1例如： 當(dāng)乂 0時(shí)是無窮大量；ax(3 1)當(dāng)時(shí)是無窮大量。;2 )若f為x xo時(shí)的無窮大量,2 X乙X注：1)無窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù)f n則易見 為U 0 &。)上的無界函數(shù)，但無界函數(shù)卻不一定是無窮大量。例如；f(x) xsilx在U ()上無界，但 山 f (X ；3 )如同對(duì)無窮小量進(jìn)行階的比較的討論一樣，對(duì)兩個(gè)無窮大量，也可以定 X義高階無窮大量、同階無窮大量等概念。4 .利用非正常極限定義驗(yàn)證極限等式例3 證明 1向 Lx 0 X例4 證明；當(dāng)a 1時(shí)，lin ax

14、 。 X三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系1定理 (1 )設(shè)f在U ° 80 )內(nèi)有定義且不等于0 ,若 f為當(dāng)xX0時(shí)的無窮小量，則為X X0時(shí)f1的無窮大量；(2 )若g為xxo時(shí)的無窮大量，則 為xxo時(shí)的無窮小量。g四、曲線的漸近線一1 . 引言22x y作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用。我們討論曲線的漸近線問題。由平面解析幾何知：雙曲線 有兩條a2 b2 八X漸近線 y Oo那么，什么是漸近線呢？它有何特征呢？ a b2 .曲線的漸近線定義定義4若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)p沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) p與某實(shí)直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的漸近線。形如y kx b的漸近線稱為曲線C的斜漸近線；形如 x xo的漸近線稱為曲線C的垂直漸近線。3 .曲線的漸近線何時(shí)存在？存在時(shí)如何求出其方程？(1 )斜漸近線到漸近線的距離為pN PMcosf (x)(kxb)依漸近線定義，當(dāng) x k2類似)，pN 0 ，即有l(wèi)inXf &)(kxb)linXf(X) kx b,又由linXf &)klinXkx