理論力學(xué)(楊開(kāi)云第一版)第14章

1、第十四章第十四章虛位移原理虛位移原理14-1 14-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功1 1 約束及其分類約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束約束. .限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程約束方程. .限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束. .222lyx（1 1）幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束）幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束如如, ,0f x y z 限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束. .0rvA2220BABABxxyyly0rxA222ryxAA

2、2220 xylvt（2 2）定常約束和非定常約束）定常約束和非定常約束約束條件隨時(shí)間變化的稱約束條件隨時(shí)間變化的稱非定常非定常約束約束. .不隨時(shí)間變化的約束稱不隨時(shí)間變化的約束稱定常約束定常約束. .（3 3） 其它分類其它分類約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù), ,且不可能積分成有且不可能積分成有限形式的約束稱限形式的約束稱非完整約束非完整約束. .約束方程是等式的，稱約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束雙側(cè)約束（或稱（或稱固執(zhí)約束固執(zhí)約束）. .約束方程為不等式的，稱約束方程為不等式的，稱單側(cè)約束單側(cè)約束（或稱（或稱非固執(zhí)單側(cè)約束非固執(zhí)單側(cè)約束）111,01,2,in

3、nnfx y zxyzis n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，s 為約束方程數(shù)為約束方程數(shù). . 約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的積分項(xiàng)可以積分為有限形式的約束為中的積分項(xiàng)可以積分為有限形式的約束為完整約束完整約束. .本章只討論本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束定常的雙側(cè)、完整、幾何約束. .導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的可控系統(tǒng)導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的可控系統(tǒng)2 2 虛位移虛位移 在某瞬時(shí)在某瞬時(shí), ,質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下, ,可能實(shí)現(xiàn)的任何可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱為無(wú)限小的位移稱為虛位移虛位移 . .只與約束條件有關(guān)只與約束條件

4、有關(guān). .虛位移虛位移 , ,rx等等實(shí)位移實(shí)位移d ,d ,drx等等OABxyArBrM 實(shí)位移實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)實(shí)現(xiàn)的位移，它與約束條件、時(shí)間、是質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)實(shí)現(xiàn)的位移，它與約束條件、時(shí)間、主動(dòng)力以及運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)主動(dòng)力以及運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān) . . 思考：思考：實(shí)位移與虛位移的區(qū)別？實(shí)位移與虛位移的區(qū)別？ 虛位移是假想的，實(shí)位移是實(shí)際發(fā)生的。虛位移是假想的，實(shí)位移是實(shí)際發(fā)生的。 虛位移是瞬時(shí)的，實(shí)位移是有時(shí)間經(jīng)歷的。虛位移是瞬時(shí)的，實(shí)位移是有時(shí)間經(jīng)歷的。 虛位移可朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位移只朝某一虛位移可朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位移只朝某一 方向運(yùn)動(dòng)。方向運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)系靜止

5、時(shí)，可有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。質(zhì)點(diǎn)系靜止時(shí)，可有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。 虛位移與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，而虛位移與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，而實(shí)實(shí)位移與運(yùn)動(dòng)的初始位移與運(yùn)動(dòng)的初始 條件有關(guān)。條件有關(guān)。 定常約束中，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)，對(duì)于非定定常約束中，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)，對(duì)于非定 常約束，某瞬時(shí)的虛位移是指將時(shí)間固定，約束所允常約束，某瞬時(shí)的虛位移是指將時(shí)間固定，約束所允 許的無(wú)限小位移，而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的，所以許的無(wú)限小位移，而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的，所以 虛位移不是實(shí)位移中的一個(gè)。虛位移不是實(shí)位移中的一個(gè)。3 3 虛功虛功 WFr4 4 理想約束理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中

6、如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中, ,所有約束力所作虛功的和所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為等于零，稱這種約束為理想約束理想約束. .NNN0iiiWWFr力在虛位移上作的功稱虛功力在虛位移上作的功稱虛功. .WM 光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無(wú)重剛桿，不可伸長(zhǎng)的柔索、光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無(wú)重剛桿，不可伸長(zhǎng)的柔索、固定端等約束為理想約束固定端等約束為理想約束. .即即0iiFr設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡, ,有有0NiiFF或記為或記為0FiW此方程稱此方程稱虛功方程虛功方程, ,其表達(dá)的原理稱其表達(dá)的原理稱虛位移原理或虛功原理虛位移原理或虛功原理. .N0iiiiFrFrN0i

7、iiiFrFr 14-2 14-2 虛位移原理虛位移原理對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系, ,其平衡的充分必要條件是其平衡的充分必要條件是: :作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零等于零. .解析式為解析式為0 xiiyiiziiFxFyFz0 0已知：如圖所示已知：如圖所示, ,在螺旋壓榨機(jī)的手柄在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平上作用一在水平 面內(nèi)的力偶面內(nèi)的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺桿螺桿 的導(dǎo)程為的導(dǎo)程為. .FF,FlM2h求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓

8、物體上的力. .例例1 14 4-1-1解解: :N20FWFsFl 2shN202FF hWFlN4lFFhs給虛位移給虛位移 與與 以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象受力如圖受力如圖. .N202F hFl 因因 是任意的是任意的已知：已知：圖中所示結(jié)構(gòu)圖中所示結(jié)構(gòu), ,各桿自重不計(jì)各桿自重不計(jì), ,在在點(diǎn)作用一鉛直向上的點(diǎn)作用一鉛直向上的 力力, , .lGEDGCBCDCEAC求：支座求：支座的水平約束力的水平約束力. .例例1 14 4-2 -2 解除解除B端水平約束端水平約束, ,以力代替以力代替. . 02 cos ,3 sin2 sin

9、 , 3 cos FBxBGBGBGWFxF yxlylxlyl 2 sin 3 cos 0BxFlFl cot23FFBx代入虛功方程代入虛功方程 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如圖在如圖在CG 間加一彈簧間加一彈簧, ,剛度剛度k , ,且已有伸長(zhǎng)量且已有伸長(zhǎng)量 , ,仍求仍求 . .0BxF解解:0cos3cos3cos)sin2(00lFlklklFBxcotcot230kFFBx00FBxBCCGGGWFxFyFyFy2 cos ,sin ,3 sin2 sin ,cos ,3 cosBCGBCGxlylylxlylyl 在彈簧處也代之以力在彈簧處也代之以力, ,如圖如圖. .0CGFFk解析法解析法

10、已知：如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中已知：如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中, ,連桿連桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為l, ,滑塊滑塊A , ,B與桿與桿 重均不計(jì)重均不計(jì), ,忽略各處摩擦忽略各處摩擦, ,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡. .BAFF求：主動(dòng)力求：主動(dòng)力 與與 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 例例1 14 4-3 -3 解解: : (1) (1) 給虛位移給虛位移 ,ABrr0iiFr代入虛功方程代入虛功方程, ,有有tanBAFF 由由cossinBArr( ( 在在 A , ,B 連線上投影相等連線上投影相等) ) ,ABrr0AABBFrFrcotABBBFrFr直接法（幾何法）直接法（幾何法）(2) (2)

11、 解析法解析法 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. .0 xiiyiiziiFxFyFz0BBAAFxFysin,coslylxABtanBAFF sinBxl cosAyl (3) (3) 虛速度法虛速度法定義定義: : ,ddABABrrvvtt為虛速度為虛速度 代入到代入到0,iiFr中 得0AABBvFvF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有cossinBAvvtanBAFF 已知：已知：如圖所示機(jī)構(gòu)如圖所示機(jī)構(gòu), ,不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦. . 求：機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)求：機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí), ,主動(dòng)力偶矩主動(dòng)力偶矩 與主動(dòng)力與主動(dòng)力 之間的關(guān)系之間的關(guān)系. .例例1 14 4-4-40cFrFMWeasinrrea2 ,sinsinChhrOBrr2sinFhM 給虛位移給虛位移Cr ,虛速度法虛速度法: :ea2,sinsinChhvOBvv2sin0FhMFvMC解析法：解析法：20cotsinCC