橢圓的簡單幾何性質(zhì)二優(yōu)質(zhì)學習教案

1、會計學1橢圓橢圓(tuyun)的簡單幾何性質(zhì)二優(yōu)質(zhì)的簡單幾何性質(zhì)二優(yōu)質(zhì)第一頁，共37頁。的的距距離離和和它它到到定定直直線線，與與定定點點若若點點)0(),(cFyxM思考上面探究思考上面探究(tnji)問題，并回答下列問問題，并回答下列問題：題：的的距距離離和和它它到到定定直直線線，與與定定點點）若若點點（)0(),(3cFyxM 的的，此時點，此時點的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 ？軌軌跡跡還還是是同同一一個個橢橢圓圓嗎嗎時，對應(yīng)時，對應(yīng)，定直線改為，定直線改為，）當定點改為）當定點改為（caylcF2:)0(4 ？的的軌軌跡跡方方程程又又是是怎怎樣樣呢呢探究

2、(tnji)：的軌跡。的軌跡。，求點，求點的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐標）用坐標(zubio)法如何求出其軌跡方程，并說出軌跡法如何求出其軌跡方程，并說出軌跡（2）給橢圓下一個新的定義）給橢圓下一個新的定義第2頁/共37頁第二頁，共37頁。探究、點探究、點M（x,y)與定點與定點F （c,0)的距離和它到定直線的距離和它到定直線l:x=a2/c 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù)(chngsh)c/a（ac0),求點求點M 的軌跡。的軌跡。yFFlIxoP=M| acdMF由此得由此得acxcaycx222將上式兩邊將上式兩邊(lingbin)平方，并

3、化簡，得平方，并化簡，得22222222caayaxca設(shè)設(shè) a2-c2=b2,就可化成就可化成(hu chn)0( 12222babyax這是橢圓的標準方程，所以點這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是長軸、的軌跡是長軸、短軸分別為短軸分別為2a,2b 的橢圓的橢圓M解：設(shè)解：設(shè) d是是M到直線到直線l 的距離，根據(jù)的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合題意，所求軌跡就是集合第3頁/共37頁第三頁，共37頁。FFlIxoy 由探究可知，當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離 的比是常數(shù)(chngsh) 時，這個點的軌跡 就是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)(chngsh)e

4、是橢圓的離心率。 此為橢圓的第二定義. 10eace 對于橢圓對于橢圓 ，相應(yīng)于焦點，相應(yīng)于焦點F（c,0)準線方程是準線方程是 , 根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點焦點F(-c.0) 準線方程是準線方程是 ,所以橢圓有兩條準線。所以橢圓有兩條準線。12222byaxcax2cax2第4頁/共37頁第四頁，共37頁。橢圓橢圓(tuyun)的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的。定義定義 1圖圖 形形定義定義 2平面內(nèi)與平面內(nèi)與一個定點的距一個定點的距離和它到一條離和它到一條定直線的距離定直線的距離的比是常數(shù)的比是常數(shù))10( eace的的點點的的軌軌跡

5、跡。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦焦點點： ),0(),0(21cFcF、焦焦點點： cax2 準線：準線：cay2 準線：準線：、兩兩個個定定點點1F的距離的和的距離的和2F等于常數(shù)（大等于常數(shù)（大）的點）的點于于21FF的軌跡。的軌跡。平面內(nèi)與平面內(nèi)與第5頁/共37頁第五頁，共37頁。由橢圓的第二由橢圓的第二(d r)定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)如下：如下：22222(1)1(0)xyaabxabc 橢圓的準線方程為222221(0)yxaabyabc 橢圓的準線方程為222abcc(2)兩準線間的距離為，焦點到相應(yīng)準線的距離為(3)橢圓的第二定義隱含著條件“定點

6、在定直線外”，否則其軌跡不存在。(4)橢圓離心率的幾何意義：由橢圓的第二定義得，“橢圓上一點到焦點的距離與相應(yīng)準線的距離之比”第6頁/共37頁第六頁，共37頁。課堂練習課堂練習1、橢圓、橢圓 上一點到準線上一點到準線 與到焦與到焦點（點（-2，0）的距離的比是）的距離的比是 （ ）171122yx211x11112)(A211)(B112)(C117)(DB2、橢圓的兩焦點把兩準線間的距離三等分，則這個橢圓、橢圓的兩焦點把兩準線間的距離三等分，則這個橢圓的離心率是的離心率是( ) 3A 23B 33C 43DC第7頁/共37頁第七頁，共37頁。3.已知點已知點M到定點到定點(dn din)F的

7、距離與的距離與M到定直線到定直線l的距的距離的比為離的比為0.8,則動點則動點M的軌跡是的軌跡是( )A.圓圓 B.橢圓橢圓 C.直線直線 D.無法確定無法確定B第8頁/共37頁第八頁，共37頁?；貞洠褐本€回憶：直線(zhxin)與圓的位置關(guān)與圓的位置關(guān)系系1.位置位置(wi zhi)關(guān)系：相交、相切、相離關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)=0 直線與圓相切直線與圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)0

8、直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)k-3366-k0因為因為(yn wi)所以，方程（）有兩個根所以，方程（）有兩個根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦長弦長是多少？是多少？則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達定理由韋達定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 第21頁/共37頁第二十一頁，共37頁。弦長公式弦長公式(gngsh):|AB| =通通法法(tn f)A（x1,y1）B（x

9、2,y2）221221221221)()()()(xxkxxyyxx21221222124)()1 ()(1 (xxxxkxxkbkxy設(shè)A（x1,y1）B（x2,y2）直線直線(zhxin) 的方程：的方程：l因因A（x1,y1），），B（x2,y2）在直線在直線 上上lbkxy22bkxy11)()()(212121xxkbkxbkxyy設(shè)而不求設(shè)而不求2121xxk21211yyk第22頁/共37頁第二十二頁，共37頁。例例3：已知斜率：已知斜率(xil)為為1的直線的直線L過橢圓過橢圓 的的右焦點，交橢圓于右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦兩點，求弦AB之長之長題型二：弦長公式題型二：弦

10、長公式(gngsh)222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85第23頁/共37頁第二十三頁，共37頁。2121 xyx2+4y2=2解：聯(lián)立方程解：聯(lián)立方程(lin l fn chn)組組消去消去(xio q)y014x5x20因為因為(yn wi)所以，方程（）有兩個根，所以，方程（）有兩個根，練習練習1.已知直線已知直線y=x- 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判斷它們的位

11、，判斷它們的位置關(guān)系？置關(guān)系？若相交，求所得的弦長是多少若相交，求所得的弦長是多少,交點坐標交點坐標?則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)2.2.過橢圓過橢圓 的右焦點與的右焦點與x x軸垂直的直線與橢圓軸垂直的直線與橢圓交于交于A,BA,B兩點，求弦長兩點，求弦長|AB|AB|22113 12xy第24頁/共37頁第二十四頁，共37頁。題型二：弦長公式題型二：弦長公式(gngsh)第25頁/共37頁第二十五頁，共37頁。第26頁/共37頁第二十六頁，共37頁。例例5、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與直線(zhxin)x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中

12、點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點2212121()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 第27頁/共37頁第二十七頁，共37頁。例例6 ：已知橢圓：已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分平分(pn

13、gfn)，求此弦所在直線的方程，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達定理韋達定理(dngl)斜率斜率韋達定理韋達定理(dngl)法：利用韋達定理法：利用韋達定理(dngl)及中點坐標公式來構(gòu)造及中點坐標公式來構(gòu)造題型三：中點弦問題題型三：中點弦問題第28頁/共37頁第二十八頁，共37頁。例例 6 已知橢圓已知橢圓(tuyun) 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點引一弦，使弦在這點被被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點點差法：利用端點(dun din)在曲線上，坐標滿足方程，作差構(gòu)造在曲線上，坐標滿足方程，作差構(gòu)造 出中點坐標和斜率出中點坐標和斜率點點作差

14、作差題型三：中點題型三：中點(zhn din)弦問題弦問題第29頁/共37頁第二十九頁，共37頁。2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(zhn din)問題，常用設(shè)而不求的思想方法 第30頁/共37頁第三十頁，共37頁。例例6已知橢圓已知橢圓(tuyun) 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點引一弦，使弦在這點被被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而

15、從而(cng r)A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思：中點解后反思：中點(zhn din)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點中點(zhn din)”這一這一 條件，靈活運用中點條件，靈活運用中點(zhn din)坐標公式及韋坐標公式及韋達定理，達定理，題型三：中點弦問題題型三：中點弦問題第31頁/共37頁第三十一頁，共37頁。165193622yx08-2yx第32頁/共37頁第三十二頁，共37頁。第33頁/共37頁第三十三頁，共37頁。12:( 2,0),(2,0)FF解 橢圓的焦點為200(2,

16、0)60(,)FxyF xy設(shè)關(guān)于直線的對稱點0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求橢圓方程為：xy第34頁/共37頁第三十四頁，共37頁。（2）直線）直線 過橢圓過橢圓(tuyun)的右焦點，交橢圓的右焦點，交橢圓(tuyun)于于A、B兩點，求弦兩點，求弦AB的長。的長。作業(yè)：作業(yè)：1、已知橢圓、已知橢圓 1422 yxmxyl:（1）當）當m為何值時，直線為何值時，直線 與橢圓相交、相切與橢圓相交、相切、相離？、相離？mxyl:221164xy220 xy 2.求橢圓求橢圓 上的點到直線上的點到直線的最大距離的最大距離第35頁/共37頁第三十五頁，共37頁。3、弦中點問題的兩種處理方法：、弦中點問題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理；）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理； （2）設(shè)兩端）設(shè)兩端(lin dun)點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜