高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義域值域解題方法納

1、只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。 例：判斷以下各組中的兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么?1 yi(X 3)(x5)x 3y2 x 5解：不是同一函數(shù)，定義域不同3。 f (x) xg(x)x2解：不是同一函數(shù)，值域不同4 f(x) xF(x) 3 x3解：是同一函數(shù)5. f1 (x)( . 2x25) f2(x) 2x 5解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同2。 y1, x V. x 1V2 (X 1)(x 1)解：不是同一函數(shù)，定義域不同關(guān)于復(fù)合函數(shù)設(shè) f(x)=2x 3g(x)=x2+2 那么稱 fg(x)(或 gf(x)為復(fù)合函數(shù)fg(x)=2(x2+2) 3=衣+1

2、gf(x)=(2x 3)2+2=4x2 12x+112 、 1例：f( x)= x x+3 求：f( )f(x+1)x111解：f( )=( )2 +3f(x+1)=(x+1)2 (x+1)+3=x+x+3x x x1.函數(shù)定義域的求法分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)(或式)大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。y tan x.(x R,且 x k , k )正切函數(shù)2余切函數(shù)y cotx x R，且x k，k反三角函數(shù)的定義域(有些地方不考反三角，可以不理),函數(shù)y = arcsinx的定義域是1, 1，值域是2 2 ，函數(shù)y = arcco

3、sx的定義域是1, 1，值域是0, n ，函數(shù)y = arctgx的定義域是R，值域是(25)，函數(shù)y = arcctgx 的定義域是 R，值域是 (0, n ).1.復(fù)合函數(shù)的定義域。x 1 (1,3) 如：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1, 3)，那么函數(shù)F(x) f(x 1) f(2 x)的定義域。2 X (1,3)2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b),函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?m，n),g(x) (a,b)那么函數(shù)fg(x)的定義域?yàn)閤 (m,n)，解不等式，最后結(jié)果才是3. 這里最容易犯錯(cuò)的地方在這里：函數(shù)f(x 1)的定義域?yàn)?1,3),求函數(shù)f(x)的定義域；或者說，函數(shù)f(x 1)的定

4、義域?yàn)?3,4),貝y函數(shù)f(2x 1)的定義域?yàn)??一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成X寒B B'，當(dāng)u取遍B數(shù)稱為由外函數(shù)設(shè)u g(x)是A到B的函數(shù)，y f(u)是B'到C'上的函數(shù)，且中的元素時(shí)，y取遍C,那么y f(g(x)就是A到C上的函數(shù)。此函 y f(x)和內(nèi)函數(shù)u g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。說明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)y f(g(x)中x的取值范圍。x稱為直接變量，u稱為中間變量，u的取值范圍即為g(x)的值域。f(g(x)與g(f(x)表示不同的復(fù)合函數(shù)。.例2:假設(shè)函數(shù)f(X)的定義域是0 , 1，求f(12x)的定義域；假設(shè)f(2x 1)的定義域是-1

5、,1，求函數(shù)f(x)的定義域；f(x 3)定義域是4,5，求f(2x 3)定義域.要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的.解答： 函數(shù)f(1 2x)是由A到B上的函數(shù)u 1 2x與B到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù).函數(shù)f(x)的定義域是0 , 1 , B=0,1，即函數(shù)u 1 2x的值域?yàn)? , 1.C110 x _ 01 2x 11 2x 0，即2 , 函數(shù) f(12x)的定義域0 , 2 . 函數(shù)f(2x 1)是由a到B上的函數(shù)u 2x 1與b到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù).f(2x 1)的定義域是-1 , 1 , A=-1,1，

6、即-1 x 1 , 3 2x 1 1,即 u 2x 1 的值域是-3 , 1 , yf(x)的定義域是-3 , 1.y f(u)復(fù)合而成的函數(shù).x 3 8 即 u x 3 的值域 B=-1 , 8)u'f(2x 3)是由A'到B'上的函數(shù)u' 2x3與B到C上的函數(shù)f(u)復(fù)合而成的函數(shù)，而B B',從而2x 3的值域 B' 1,8)1 2x 2 2x11,11211f (2x3)的定義域是1，2)例4 :函數(shù)f(x) xx (x 1)要點(diǎn)2：假設(shè)f(x)的定義域?yàn)閍，那么fg(x)的定義域就是不等式g(x) A的x的集合；假設(shè)fg(x)的定義域

7、為a，那么f(x)的定義域就是函數(shù)g(x)(x A)的值域。函數(shù)f(x 3)是由A到B上的函數(shù)U x 3與B到c上的函數(shù)f(x 3)的定義域是-4 , 5), A=-4,5)即 4 x 5,.求f(x)的值域。分析：令u(x)(x1) 那么有g(shù)(u)(u 0)復(fù)合函數(shù)f(x)是由u(x)x 1 與 g(u)u 1復(fù)合而成，而g(u)u 1, (u °)的值域即f (x)的值域，但g(u) u22 .求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，u 1的本身定義域?yàn)镽,其值域那么不等于復(fù)合函數(shù)f(X)的值域了。例6 .2f (x) x 1,求 f (x 1)；f(x1)(x211，求 f(x).例7 .f(

8、x1)，求 f(x)；要點(diǎn)f(x丄7，求 f(x 1)3:f (x)求復(fù)合函數(shù)f g(x)的解析式，直接把f(X)中的x換成g(x)即可。f g(x)求f (x)的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在fg(x)中把關(guān)于變量x的表達(dá)式先湊成 g(x)整體的表達(dá)式，再直接把 g(x)換成x而得f(x)。換元法就是先設(shè)g(x) t，從中解出x (即用t表示x)，再把x (關(guān)于t的式子)直接代入fg(x)中消去x得到f (t)，最后把f (t)中的t直接換成x即得f(X)，這種代換遵循了同一函數(shù)的原那么。例&f(x)是一次函數(shù)，滿足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，求f(x)；1

9、3f(x)24x，求f(x) 要點(diǎn)4： 當(dāng)函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。假設(shè)抽象的函數(shù)表達(dá)式，那么常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量,如 f( x)、f(-)x等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(X)。三、總結(jié)：1復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成;設(shè)函數(shù)y()，g () ，那么我們稱yf(g(x)是由外函數(shù)y f(u)和內(nèi)函數(shù)u g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中 x被稱為直接變量，U被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量x的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量u的取值范圍，即是g(x)的值域，

10、是外函數(shù) y f(u)的定義域。2 有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式(由a g(x) b解x)；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍(由a x b求g(x)的值域)。一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域,必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強(qiáng)調(diào)，此時(shí)求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域, 解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法.2.函數(shù)值域的求法(1)、直接觀察法例2( 3)反映明顯。對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，如正比例，反比例，一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，等等,其值域可通過觀察直接得到。例求函數(shù)y1-,x

11、x1,2的值域例2.求函數(shù)X的值域。解：乜0x 0,3 x 3故函數(shù)的值域是：，3(2)、配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。2例3.求函數(shù)y x 2x 5,x 1,2的值域。2解：將函數(shù)配方得：y (X °4/ X 1,2ymax 8故函數(shù)的值域是：4，8由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，ymin 4，當(dāng)x 1時(shí),(3)、根判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用,但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡(jiǎn)2x2X 的值域。1 x y 例4.求函數(shù) 1解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程(y1)x2(y i)x(1)當(dāng) y 1 時(shí)，x1)24(y1)

12、(y1)解得:(2)當(dāng) y=1 時(shí)，x10，而故函數(shù)的值域?yàn)?、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域) 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例求函數(shù)73x 45x 6值域。3x 47 5x 65xy 6y 3x 46y 4xy3 5y ,分母不等于0,即5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。cosx例求函數(shù)y sinx 3的值域。2解：由原函數(shù)式可得：ysinx cosx 3y，可化為：,y 1 sin x(x )3ysi nx(x即3yy2 i/ x Rsi

13、n x(x ) 1,11 3y 1 即.y 1,2 ,2 2 2y4 ' 4解得： 44故函數(shù)的值域?yàn)? 46.倒數(shù)法番境況有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另Jx 2 y 例求函數(shù)x 3的值域7.函數(shù)單調(diào)性法例.求函數(shù)y 'X 1x 1的值域。y解：原函數(shù)可化為：2x 1x 1令 y1x 1,y2x1，顯然 y1，y2 在1,所以y y1，y2在1，上也為無上界的增函數(shù)上為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，y y1 y2有最小值 2，原函數(shù)有最大值2顯然y °，故原函數(shù)的值域?yàn)?°廠27.換元法通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特

14、征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型, 例11.求函數(shù)y x x 1的值域。解：令 x 1 t , (t 0)那么 x t21y t2t 1 (t 1)2 3又t 0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t 0 時(shí)，y min0時(shí)，y故函數(shù)的值域?yàn)?,)例 14.求函數(shù) y Ginx 1)(cosx 1)12 2的值域。解：y (sinx 1)(cosx 1) si nxcosxsin xcosx令 sinx cosx t，貝y1 2sin xcosx (t21)12(t1)(t 1)22由 t sin xcosx2 sin(x/4)12 22可得：2t .2當(dāng)t 、2時(shí),y max2，當(dāng)_22時(shí),故

15、所求函數(shù)的值域?yàn)?.數(shù)形結(jié)合法例17.求函數(shù)y.x2 6x 13. x2 4x 5的值域。解：原函數(shù)可變形為:上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn) A(3,2), B( 2, 1) 的距離之和,- 2 2 由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin |AB|32)(21)故所求函數(shù)的值域?yàn)? 43，10.映射法ax b z c、y (c 0)原理：因?yàn)?ex d在定義域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，假設(shè)知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。1 3xy 例21.求函數(shù) 2x 1的值域。x | x解：T定義域?yàn)? 3x x 1 y y由 2x 1得 2y 31 y2y 31 y2y 3y解得33故函數(shù)的值域?yàn)?2多種方法綜合運(yùn)用 總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域