高中數(shù)學(xué)公式大全人教版

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系x6 A <=> x e Q4 , .vg CL A <=> xe A.2. 德摩根公式Cv(ArB) = CuAJCuB;Cu(AJB) = CuAQCuB.3. 包含關(guān)系A(chǔ)CB = A<> AJB = B <=> A c B <=> CVB c CaAO ArCL!B = oCL!AJB = R4. 容斥原理cardA JB) = cardA + cardB -card (A Q B)card (A U 3 U C) = cardA + cardB + cardC 一 card(A

2、A B)一 card (4 Pl 3) - card (B Cl C) 一 card (C C| A) + card(A D 3 D C).5. 集合q,冬，,a的子集個數(shù)共有2個；真子集有2個；非空子集有2" -1個；非空的真子集有22個.6. 二次函數(shù)的解析式的三種形式(1) -般式 f (x) = ax當(dāng) a>0 時， 假 設(shè)X = -ep.q, 那么2a/Wmin = /(-X/Wnnx =m« /()，/($)； X = - £化p,g, f(x)m =m /(p),.f ，/(X) =& f(p)9f(q) +bx + c(d H 0)；

3、(2) 頂點式 f(x) = ci(x -h)2 + k(a h 0)；零點式 f(x) = a(x- xj(x- xj(a h 0).7. 解連不等式N<f(x)<M常冇以下轉(zhuǎn)化形式N<f(x)<M O/(x) M/(x) Nv0<M-N1 1« >.f(x)-N M-N8. 方程f(x) = 0在伙忍)上有且只有一個實根，與f(kjf(k2)< 0不等價，前者足后 者的-個必要而不是充分條件.特別地，方程ax2+bx + c = 0(a豐0)有且只有一個實根在b k + k(也)內(nèi),等價于/(W2)<o,或/伙j = o且人 <

4、;-冷<乞尹,或弘)=o且 k、+k、h.<vh.2 la9. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)/(兀)=卅+加+ 4。工0)在閉區(qū)間伏切上的最值只能在x = 處及區(qū) 2a間的兩端點處取得，具體如下：(2) 當(dāng) a<0 時，假設(shè) x = -£wp,q,那么 /(x)min=mmf(p),/(q),假設(shè) 2-舟點切，那么 /(仏=max /(“),/(§), /(x) = nun /(/?),/(<7).10. 一元二次方程的實根分布依據(jù)：假設(shè)/(/?/)/(/?) <0,貝ij方程/(x) = 0在區(qū)間(m)內(nèi)至少有一個實根.設(shè) f(x) =

5、x2 + px + q,那么fp2 -4<7>0(1) 方程f(x) = 0在區(qū)間(7,+s)內(nèi)有根的充要條件為/(/«) = 0或p；->77?I 2 了 (加)> 0/(") > 0 方程f(x) = 0在區(qū)間(切)內(nèi)有根的充要條件為<0或卩一q“p2-4q>Q<m2ni <-<n 2 方程/(x) = 0在區(qū)間(-8 j)內(nèi)有根的充要條件為f(m) v 0或彳11. 定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)在給定區(qū)間(一°+8)的子區(qū)間厶(形如乞0,久*0)不同)上含參數(shù) 的二次不等式fxd) &

6、gt;0(/為參數(shù))恒成立的充要條件是> O(X電L).在給定區(qū)間(一0+8)的子區(qū)間上禽參數(shù)的匸次不等式f(Xj)>0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是/CM)® <0(xeL). /(x) = ax4 + bx2+ c> 0恒成立的充要條件是(a>0< b n o 或 <c > 0a <0lr 一 4ac < 012. 真值表Pq非PP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13 常見結(jié)論的否認形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有5-1)個小于

7、不小于至多有個至少有5 + 1)個對所有X, 成立存在某兀. 不成立p或q且一it/對任何X,存在某X,不成立成立p且qr?或f14.四種命題的相互關(guān)系15 充要條件(1) 充分條件：假設(shè)pnq，那么是g充分條件.(2) 必要條件：假設(shè)q = p,那么p是q必要條件.(3) 充要條件：假設(shè)p=>q 且那么是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，那么乙是甲的必要條件；反之亦然.16 函數(shù)的單調(diào)性設(shè)xzxi H x2那么3 兒)/(兀)一/(：)> 0 o /("/(“)> o O f (x)在a.b上是增函數(shù)；X1_X2V 0 O /(山)一幾3 V 0 o /(x)

8、在a,切上是減函數(shù).(2) 設(shè)函數(shù)y = /(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果fx) > 0,那么/(x)為增函數(shù)：如果 fx) < 0,那么/(x)為減函數(shù).17. 如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù)，那么在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減 函數(shù)；如果用數(shù)y = /(")和“ =g(x)在其對血的定義域上都是減函數(shù)，那么復(fù)合pKi數(shù) y = /g(x)是增函數(shù)18. 奇偶函數(shù)的圖彖特征奇函數(shù)的圖彖關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖 象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)：如果一個函數(shù)的圖彖關(guān)于y軸對稱，那么這個函 數(shù)是偶函數(shù).19.

9、假設(shè)函數(shù)y = f(x)是偶函數(shù)，那么/(x + d) = /(x a)：假設(shè)函數(shù)y = f(x+a)是 偶函數(shù)，那么 f(x + a) = f(-x + a).20. 對于函數(shù))，=f(x)(xeR), f(x-a) = f(b-x)恒成立，那么函數(shù)/(x)的對稱軸是 函數(shù)兀=3乜；兩個怖數(shù)歹=f(x + a)與，=f(b-x)的圖彖關(guān)于直線兀=2對稱.21假設(shè)/(X) = -f(-x + a),那么函數(shù)y = /(犬)的圖象關(guān)于點(-.0)對稱；假設(shè)/(a) = -f(x + a),那么函數(shù)y = f(x)為周期為2a的周期換數(shù)22. 參項式函數(shù)P(x) =+ an_Lxnl +心的奇偶性

10、幺項式曲數(shù)P(x)是奇甫數(shù)O P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.幺項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)<=> P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23. 函數(shù)y = /(x)的圖象的對稱性(1) 函數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于直線x = a對稱O f(a + x) = f(a-x) O/(2a-x) = /(x).(2) 換數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于直線x = +對稱O f(q + tnx) = f (b一mx)2<=> /(d + b_ir) = f (nix).24. 兩個函數(shù)圖象的對稱性(1) 函數(shù)y = f(x)與函數(shù)y = /(-x)的圖象關(guān)于直線x =

11、0 (即y軸)對稱.(2) 函數(shù)y = f(nvc-a)與函數(shù)y = f(b-nix)的圖象關(guān)于直線兀=匕對稱.2m(3) 函數(shù)y = /(x)和y = /_1(x)的圖象關(guān)于直線尸x對稱.25. 假設(shè)將函數(shù)y = /(x)的圖象右移d、上移b個單位，得到函數(shù)y = f(x-a) + h的 圖彖；假設(shè)將曲線/(x,y) = 0的圖象右移上移b個單位，得到曲線f(x-a,y-b) = 0 的圖象.26. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系f(a) = bO 廠(b) = a.27. 假設(shè)函數(shù)y = f(kx+b)存在反函數(shù)，那么其反函數(shù)為y = Lf-x)-b，并不是kV = fl伙X+ b),而函數(shù)y

12、 =伙X+ b)是y = 1/(x) -b的反函數(shù)k28. 幾個常見的函數(shù)方程正比例函數(shù)/(x) = CX, /(% + y) = /(X)+ /(>%/=C.(2)指數(shù)函數(shù) f(x) = ax9 /(x+y) = /W/(jX/(D = * 0. 對數(shù)函數(shù) f (x) = logd x, f(xy) = /(X)4-/(y),/(a) = l(a>0,a# 1).幕函數(shù) /(x) = x°, fxy) = /(x)/(y),/(1) = a.(5)余弦函數(shù)/(x) = cosx,正弦函數(shù) g(x) = sinx, f(x-y) = f(x)f(y)+g(x)g(y),

13、/(0) = l,lmi= 1.滾TO X29. 幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)(1) /(x)=/(X+a),那么/(X)的周期 T二a；(2) /(x) = /(% + «) = 0 >或/(x + a) =17u)或 f(x+a) =命皿0),或* +J/(X)-廠(X) = /(x + d),(/(x)wo,l),那么/(x)的周期 T=2a；(3) /(X) = 1 一一) (/(X)工 0),那么 /(X)的周期 T=3a：/(x+a)(4) f(X + xJ=嚴且/(Q)= lCAxJ.f(xjHl,0v|X|-“|v2a),那么/(A)的周期T=4u；(

14、5) f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a).那么 f(x)的周期 T=5a：(6) f(x + a) = /(x)-/(x+a),那么/(x)的周期 T二6a.30. 分數(shù)指數(shù)幕更 1(1) an = = ( a >0jnjie 且 >1).1(2) a rt = ( a > Qjtiji e 且.aH31. 根式的性質(zhì)(1) ) =a.aQO -ci,a <0(2) 當(dāng)"為奇數(shù)時，0 = d：當(dāng)為偶數(shù)時，V=|«|=32. 有理指數(shù)帚的運算性質(zhì)(1) a

15、r -as =ar's(a>0. r.seQ).(2) (ar)s =a°(67>0,r,seQ).(3) (ah)r = arbr(a > 0./? > 0,r 6 0).注：假設(shè)a > 0 , p是一個無理數(shù)，那么aP表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)幕的運 算性質(zhì),對于無理數(shù)指數(shù)幕都適用.33. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log“ N = b U> 沙=n (° > 0衛(wèi) H1, N > 0)34. 對數(shù)的換底公式log Nlog“ N =-(a>0,且 ghI,加0,且加 Hi, N >0).1°

16、;亦a推論 log b" = logub (a >0,且且加N>0).m35. 對數(shù)的四那么運算法那么假設(shè) a>0, aHl, M>0, N>0,那么(1) log. (MN) = log“ M +log“ N ；M log-亓=晦 M - log. N ；(3) log. Mn = nlogfl M(n e R).36. 設(shè)函數(shù) f(x) = logm(ax' + bx + ca h 0),記 = / 一4觀.假設(shè)/(x)的定義域 為心那么a>0,且<()；假設(shè)/(x)的值域為R,那么a>0,且?().對于d = 0的情形,

17、需要單獨檢驗.37. 對數(shù)換底不等式及其推廣假設(shè)d0, b>0, x>0, xh 丄，那么函數(shù)y = logav(bx)當(dāng)a>b時，在(0,丄)和(-,+oo)上y = logbx)為增函數(shù).a a.當(dāng)a<b時,在(0,)和(一,2)上y二log<M(Z?x)為減函數(shù).推論:設(shè)/?>/?> 1 p>0, a>0，IlaHl，那么 log*p("+")vlog logjllogj V10g,一 38. 平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的根底數(shù)為N,平均增長率為"，那么對于時間X的總產(chǎn)值y,冇 y = N(1 + p)

18、x.39. 數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系S.,/? = 1r (數(shù)列%的前n項的和為匚=q + a + + a)S廠心2初.等差數(shù)列的通項公式an = q + (-l)d = dn + a -d(n e N4)；其前n項和公式為ia.+a)n(n -1)sn = =na. + a=n2 +(a -d)n.2 1 241. 等比數(shù)列的通項公式q其前n項的和公式為ch (1 q"). 詡工加/ = 1a. - a a ._.(/Hl或_qg,q = l42. 等比差數(shù)列%: a+i = qaii+d,a = b(q豐0)的通項公式為(b +(H_l)d、q = 1I q_i其前n項和

19、公式為 nb + n(n-l)d,(q = 1)»= < f d l-qn d z t (b)+ 兒(QHl) i-q q_i i_g43.分期付款(按揭貸款)每次還款x=ab()n-元(貸款d元/次還清，每期利率為b).(1 + b) 1n=hq" +(d-b)qn'l-d 曠】；44 常見三角不等式(1)假設(shè)xw(0,號)，那么sm.v<x<taiix.(2) 假設(shè) XG (0,y),那么 1 V Sill 兀 +cos(3) |smx| + |cosx|> 1.45. 同角三角因數(shù)的根本關(guān)系式sm2 8+ cos，0 = 1, taii

20、= SU1 , tanO cof。= 1.COS&46. 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(-1)2 sm a,/l-l(-1)2 cosa. J17Tsin( + a) =n為偶數(shù)n為奇數(shù)n為偶數(shù)(一 1)'cos a,n為奇數(shù)n+l (-1) 2 sin a.47. 和角與差角公式sin(a±0) = suiacos0土COSQS1110 ； cos(a ±p) = cos a cos J3sma sm p ； tan(a±0)=士加“.lq:taiiatansin(a + 0)sm(a-0) = sm'a-sin0 (平方正弦公式)； cos(a

21、+ 0)cos(a 0) = cos' a-sm2 0.dsina + bcosa = Ja2-b2 sin(a +卩)(輔助角0所在象限由點(ab)的彖限決 b 、定,tan = -).a48. 二倍角公式sm 2a = smacos a cos2a = cos' a-sin2a = 2cos2 a- = l-2sm2 a 宀2 tanatan 2a =；.1-tan* a49. 三倍角公式sin 3& = 3 sin &一 4 sin3 & = 4 sin & sin(y 一 0) sin(y + 0). cos 30 = 4 cos3 &a

22、mp; - 3 cos 0 = 4 cos 0 COS(y - 0) COS(y + 6)tan 3& = 3皿曲& =& tail(£ _ &)+ &).l-3tan- 03350. 三角函數(shù)的周期公式函數(shù) y sill69X+ p , xWR 及函數(shù)COS0Y4 0, xGRA, 3, 0 為常數(shù)且 AHO.3>0)的周期T =；函數(shù)y = tan(er+0), xhR;t+蘭,R wZ (A, 3, °為常數(shù)，且 a co2HO, 3>O)的周期T =-CD51. 正弦定理 亠亠= = 2R.sm A sm B sm

23、 C52. 余弦定理a2 =b2 +c2 -2bccosA；b2 =c2 + a2 - 2cacos B ；c2 =a2 +h2 - 2ah cos C.53. 面積定理(1) S = -aha=-bhh = -ch (ha.他、九分別表示a、b、c邊上的高).<2(2) S = -absinC = besinA = casmB.2 2 2=yl(OAOBf-(pAOB)2.54. 三角形內(nèi)角和定理在AABC 中，有 A + B+C=?roC = /r-(A + B)o C=£_4 + B <_>2C = 2_2 2 255. 簡單的三角方程的通解sinx = a

24、o x = Rr+ (-1)* arcsin a(k e Z,| 咋 1) cosx = a o x = 2k 托土 arccosa 伙 e ZJ n |< 1). tanx = a=>x = k/r+aictana伙 gZ,«g R).特別地，有sin a = sin 0 o a = k/r + ( l)k /3(k e Z).co s a = cos 0 O a = 2k兀土 p(k e Z).tan a = tan 0 => a = k/r + 0伙 g Z).56. 最簡單的三角不等式及其解集smx > a(|«|< 1) <=&

25、gt; xe Qk托+ arcsina.2R/r+/raicsma),keZ .sinx <a( n|<l)<=>xe (2k/r-兀一arcsina.2k/r+ aicsma),k eZ. cosx > a( a < 1) <=> xg (2ktt-aiccosa.2k;r+aiccosa).k g Z. cosx <t/(| d |< 1) <=> g (2R;r+aiccosa2R;r+2/r-aiccosd),R g Z.taiix>d(67G /?) => x e+ aictan a,k7r+),k

26、e Z.tailx <a(ci g /?)=>xg 伙龍一彳，R;r+aictand).R g Z.57. 實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)入、為實數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：X(ua) = (A u)a；(2) 第一分配律：(X + P)a"a+Ua;(3) 第二分配律：X (a+b)=Xa+Xb.58向最的數(shù)呈枳的運算律：(1) a b= b a (交換律)；(2) ( A a) b= A fa b) =2 a b= a ( A b);(3) Mb) c= a c +b c.59. 平面向量根本定理如果e,、e 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且 只

27、有一對實數(shù)入1、X使得q= ：e：+入:e：.不共線的向量e：、e；叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.60. 向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a=(x1,y1),b=(x,y2).且 bHO,那么 a|b(bH0)O 心兒=0.53."與b的數(shù)量枳(或內(nèi)枳)a b= a 丨 b jcos 0 .61. ab的幾何意義數(shù)量枳ab等丁 a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘積.62. 平面向最的坐標(biāo)運算(1) 設(shè) 8二(召，yj, b二(£,兒)，那么 a+b=(Xj + x2,y + y2).(2) 設(shè) a二(旺,), b=(x2,y2),那么 ab=(X -x2

28、,- y2).(3) 設(shè) A3，%), B(w)，那么 AB = OB-OA = (x2-xL,y2-y).設(shè) a 二(x,y),人 w/?,那么 Aa=(2x,2>).(5)設(shè) a二(X, yj, b=(A, yj,那么 a b=(x1x: +)y2).63. 兩向量的夾角公式cos 0 =A- + 12i=(干(兀，yj,b二(兀，yj)yjx; + yyx;y;64. 平面兩點間的距離公式dAB=AB= A8-AB=J(W xj' + O, (A(兀,yj，B(x:,y,).65. 向量的平行與垂直設(shè) a=(X1,y1),b=(X：,).且 b=0那么A lbCb=&quo

29、t; O5兒一兀>=0.alb(a 0) <=>a b=0O xkx2 + yj2 =0.66. 線段的定比分公式設(shè)片(兀,牙)，人(壬,兒)，P(x,y)是線段片人的分點，人是實數(shù)，且Pf=APP2,那么X. + 兄 X、X = <1+2。麗=°人+久理丫_兒+兄兒+21 + 2-,、1OOP = tOP(-t)OP2 (/=).1+267 三角形的更心坐標(biāo)公式ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(“yJ、B(x2,y2). C(x3,y3),那么AABC的重心的坐)標(biāo)是G(6&點的半移公式x = x+h x = x - h-r ?IOOP =OP+PP .

30、y=y+i<y = y-注：圖形f上的任意一點p(x, y)在平移后圖形F上的對應(yīng)點為P(?,y),且兩的 坐標(biāo)為(力,R).69. “按向量平移的幾個結(jié)論點P(x,y)按向最a= (/?,k)平移后得到點Px +h、y + k).(2) 函數(shù)y = f(x)的圖彖C按向最平移后得到圖彖C',那么C'的函數(shù)解析式 為丁=/(兀-力)+R(3) 圖象C'按向呈a=(h.k)平移后得到圖彖C,假設(shè)C的解析式y(tǒng) = /(x)，那么C'的前 數(shù)解析式為y = f(x+h)-k.曲線C : f(x9y) = 0按向量/從)平移后得到圖象C',那么C'

31、的方程為 f(x-h,y-k) = O.(5)向量(X, y)按向量a=(九A)平移后得到的向量仍然為m=(X,刃.70. 三角形五“心向量形式的充要條件設(shè)O為AABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a、b,c,那么(1)(2)(3)(5)O 為 AABC 的外心O OA =OB =OCO 為 AABC 的重心 <>OA + OB + OC = 6.O 為 SABC 的垂心O OA OB = OB OC=OC OA.O 為 ABC 的內(nèi)心 O aOA + bOB + cOC = 6.O 為 AABC 的 Z4 的旁心 O= bOB + cOC 71 常用不等式:(1) a

32、.heR>a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取“二號).(2) n他(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“二號).<x <x2 <=> (x-x1)(x-x2) <0(, <x2)；x <xrx> x2 <=> (x-xJGv-xJ > 0( <x2).74. 含有絕對值的不等式 當(dāng)3> 0時，有|x| <aO x2 <a2 O-a <x <a.W > d O X? > / o x > d 或 x v a 75. 無理不等式/Gv)>0> Jg(x)o g(x)

33、n ob(x)> g(x) J/(x)>g(x)o/(x) n 0 g(x)nof(Q > g(x)F/(V) > og(x)v°/Cv)>0 Jf(x) V g O < g(x) > 0 丿(x)vg(x)F76. 指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1) 當(dāng)d>l 時，af(x) > ax> <=> f(x)> g(x)；|7(x)>0log“ /(x) > log “ g(x) O g(x) > 0 l/W > g(Q(2) 當(dāng) 0 <a< 1 時， aHx) > ax&

34、lt;x) <=> /(x) < g(x)；|V(x)>0log。/(x) > log“ g(x) o g(x) > 0fW < g(x)77. 斜率公式k= £州,、P2x2,y2.X2X17&直線的五種方程1點斜式，一開=*兀一兀直線/過點片兀,兒，且斜率為R.2斜截式y(tǒng) = k.x+bb為直線/在y軸上的截距.3兩點式丄=- 開工yJ 片兀,開、只&,yj XHx、兒一1 兀一兀4截距式 上+ £ = 14、b分別為直線的橫、縱截距，a、bHOa b5一般式 Av + By + C = 0其中A、B不同時為0.

35、79. 兩條直線的平行和垂直假設(shè)ll:y = klx+blt l2ty = k2x+b2®/j |/2 U> k嚴 k：,b H 化；/j ±/2 <=>kk2 =-l.(2) 假設(shè)lL: Ax+ Bly + Cl = 0,/2: A2x+ B2y + C2 =0,且 Ai、A：、Bi、B?都不為零,111 - A B、 C h 丄 12A1A2-fB1B2 = 0：80. 夾角公式、kr 匕-(A : y = k"*, l2:y = k2x+h2,叭 h 1)i ABr A.B |(2) tan a =| 1 - 1 |.人九+ BB,(/1:

36、 Ax+Qy + q = 0丄:A2x-B2y + C2 =0,AA2 + BlB2 h0).直叫丄側(cè)，宜線的夾角是號.81. A到人的角公式(l)tana =k十&1 + k2kt(/!:y = klx+bi, l2: y = k2x+h2,kLk2 工-1)(2) tan a =A、B廠 A& A, + BB、(ll :Alx+Biy + Cl = Oj2: Ax+2y + C2 =0,& + Bfi2 hO).直線A丄人時,直線/】到b的角是蘭. 282. 四種常用直線系方程定點直線系方程：經(jīng)過定點匕(X。)的直線系方程為y-y0 = (x-x0)(除直線 x =

37、 x0 ),其中R是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點心(兀,凡)的直線系方程為 A(A-xo)+B(y-yo) = O,其中A,3是待定的系數(shù).(2) 共點直線系方程:經(jīng)過兩直線ll:AlxBy + Cl = O,l2:A2x + B2y + C2= 0的交點的直線系方程為(Arx+ CJ +A(A:x+ B2y + C2) = 0 (|/2),其中入是待定的系數(shù).(3) 平行直線系方程：直線y = kx-b中當(dāng)斜率& 一定而b變動時，表示平行直線 系方程.與直線Ax + Bv + C = 0平行的直線系方程是Ai + B.y + /l = O(久工0),入是 參變量.(4) 垂直直線系方程：與直

38、線Ar+Bv + C = O (AHO, BH0)垂直的直線系方程是 Bx-Av + 2 = 0,入是參變量.r83. 點到直線的距離d = M'o foY (點pg,兒)，直線/: A"By + C = 0).y/A2 + B81. Av+Bv + C>0或vO所表示的平面區(qū)域r設(shè)直線/:Av+Bv + C = O,那么Ay + Bv + C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：FOr假設(shè)BhO,當(dāng)與Ar+Bv + C同號時，喪示直線/的上方的區(qū)域：當(dāng)與 Av+By + C異號時，表示直線/的下方的區(qū)域簡言之，同號在上，異號在下.假設(shè)B = 當(dāng)4與Av+Bv +

39、C同號時，表示直線/的右方的區(qū)域：當(dāng)4與 FAv+By + C異號時，表示直線/的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.85. (Ax+ 3+ (7)(4/+ B + CJ > 0或<0所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線C:Bky + CjXAx+B2y + C2) = 0 ( AlA2BlB2 0 ),那么(&x + B y + QXAx + y + C J > 0或v 0所表示的平而區(qū)域是：(Ax+ Bly + Cl)(A2x+B2y + C2) > 0所表示的平面區(qū)域上下兩局部：(Arr +By + C)(Ax +B2y + C2)< 0所表示的平面區(qū)域上下兩

40、局部.86. 圓的四種方程(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2 +(y-b)2 = r2.(2) 隕I的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 -4F >0),“(x = a + rcosO(3) 圓的參數(shù)方程y = p+rsm(4) 圓的直徑式方程(x_.Yj(x_兀)+ (y_yJ(y_yJ = O (圓的直徑的端點是 力(人,兒)、B(x29y2).87. 圓系方程(1) 過點A(Ar>), B(x2,y2)的圓系方程是O(x-xJ(兀一xj + (y-yj(y兒)+2(ox+by + c) = 0 ,其中 ax+by + c = 0 是直

41、線 43的方程，入是待定的系數(shù).(2) 過直線/: Av+By + C = 0與圓C :x2 + y2 + Dx+Ey + F = 0的交點的圓系方程 是x: + / + Dx+Ey + F-i-A(AA+By + C) = 0,入是待定的系數(shù).(3) 過圓 Q : x2 + y2 + Dtx+ E$ + F = 0 與圓 C?: x2 + y2 + D2x+E2y+ F2=0 的交點的圓系方程是x2 + y2 + 8+疋+存+久(疋+ D+ Ej + FJ = 0 , X是待定的系數(shù).88. 點與圓的位置關(guān)系點卩(兀,兒)與(x-a)2 +(y-b)2 =r2的付罟關(guān)系有三種假設(shè)d = J(

42、a-Xo)，+ (b-yo)'，那么d >廠0點卩在圓外；J = r <=>點P在圓上； </*<=>點P在圓內(nèi).89. 直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C = 0與圓(x - a)2 + (y - b)2 =尸的位置關(guān)系有三種：d > 廠 <=> 相離 O < 0 ；d = rO 相切 <=> = ()；d <r<=> 相交 O 0.其中d =卑翌兇JaSb290. 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為0“ 0：,半徑分別為門，r：, 10，! = d > /; + 口 O外離O 4條

43、公切線；=人+廠二O外切O 3條公切線；|斤一也vdv斤+心U*相交u>2條公切線；d = r-r O內(nèi)切O1條公切線； 0<J<|/-r2|<=>內(nèi)含O無公切線.91. 圓的切線方程(1) 圓 x2 + Dx+ Ey + F = 0 . 假設(shè)己知切點在圓上，那么切線只有一條，其方程是D(x0 4- x) E(yQ + y)廠 八X。X + y0y + ； +； + F = 0當(dāng)(兀，兒)圓外時，3 +)叨+ %；+恥：+刃+ F = 0表示過兩個切點 的切點弦方程. 過圓外一點的切線方程可設(shè)為y-yQ = k(x-x0).再利用相切條件求k,這時必 有兩條切線，

44、注意不要漏掉平行于y軸的切線. 斜率為k的切線方程可設(shè)為y = kx+b,再利用相切條件求b,必有兩條切線.(2) Hl x2 + y2 = r.過圓上的心(兀,兒)點的切線方程為兀。/+ yoj = r2 ；斜率為k的圓的切線方程為y二kx± ,1 + F .x = acos0 y = hsin0Jr92. 橢圓(+=l(db0)的參數(shù)方程是 cr lr93. 橢圓2 +真=1(。b0)焦半徑公式 cr lr2 2Pg = e(x+)9 PFA = e(-x).cc94橢圓的的內(nèi)外部JT11)點 P(x0, yo)在橢圓一+ 亍r = 1(。> b > 0)的內(nèi)部 U&

45、gt; t + yr < 1 “cr lrit lr222 2(2)點Pg譏)在橢圓存+其= l(d>b>0)的外部o 算+典>1./ lrcr b95. 橢圓的切線方程2橢圓二+匚= l(a>b>Q)上一點P(x0,凡)處的切線方程是卑+孚=1.cr lr(T lrr v 過橢圓+ = l(n>/?>0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是 cr trxox+ yoyCT b2=1.r* V*(3 )橢圓 r + K = l(a>b>0)與直線 Ar+Bv + C = 0相切的條件是A2a2 + B2b2 = c2.96

46、. 雙曲線二-冥=1(0 > O.b > 0)的焦半徑公式 6F ir|Pf；|=|x+y)|, PF2=e(-x).97 雙曲線的內(nèi)外部點P(x0,y0)在雙曲線二-賽= l(a>0,b>0)的內(nèi)部。冬_典>1. CTb，CTb>>22點P(A0,y0)在雙曲線二一 = l(a>0,b>0)的外部o其一冀V1. crlrcrlr98. 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2 2 2 2(1) 假設(shè)雙曲線方程為二一兵=1=>漸近線方程：(一其=0O v，= ±£x. / bcr lra(2) 假設(shè)漸近線方程為，=

47、77;2xO±£ = 0=>雙曲線可設(shè)為二一吳=入.aa b茁 b'(3) 假設(shè)雙曲線與匚一兵=1有公共漸近線，可設(shè)為匚-=九(入>0,焦點在xa ba' b軸上，九vO,焦點在y軸上).99. 雙曲線的切線方程(1) 雙曲線二=1>0小>0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是M 孚=1.>JC V*(2) 過雙曲線=1(«>0,/?>0)外一點P(A0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是亍 ，一.*» 、(3 )雙曲線匚一匚= l>0,b>0)與直線Ay+Bv + C = O相切的條

48、件是 a bA2a2- B2b2 = c2.100. 拋物線y2=2px的焦半徑公式拋物線尸=2px(p > 0)焦半徑|CF| = x0 +號.過焦點弦長CD = £ +彳+兀+ # = a; + w + p.2101. 拋物線y =2px±.的動點可設(shè)為P(,y.)或P(2pt2pt)或P(x、,y ),其中2py; = 21叫a>2102. -次函數(shù)yG+加+c = c心+與 + "工0)的圖象是拋物線：(1)頂2a 4。點坐標(biāo)為(丄嚴-/；(2)焦點的坐標(biāo)為(丄,"H)；(3)準(zhǔn)線方程是 2a 4a2a 4a4ac-b2 -Iy =.

49、4d103. 拋物線的內(nèi)外部點P(x0,y0)在拋物線y2 = 2px(p > 0)的內(nèi)部o尸v 2px(p > 0).點 P(x°, y0)在拋物線才=2px(p > 0)的外部O y2 > 2px(p > 0).點 F(.v0,y0)在拋物線 =-2px(/? >0)的內(nèi)部O y2 <-2px(p>0).點 P(.v0, y0)在拋物線 y2 = -2px(p > 0)的外部U> y2 > 一2px(p > 0).(3) 點 P(x0,y0)在拋物線 x2 =2py(p>0)的內(nèi)部 Ox' &l

50、t;2py(p>0).點 P(x°，幾)在拋物線 X = 2py(p > 0)的外部o X2 > 2py(p > 0).(4) 點P(x0,y0)在拋物線=2py(p>Q)的內(nèi)部Ox' <2py(p>0).點 P(x°，兒)在拋物線 X = -2py(p > 0)的外部o X2 > -2py(p > 0).104 拋物線的切線方程(1) 拋物線= 2px上一點P(x0,y0 )處的切線方程是yQy = p(.x + xQ).過拋物線y2=2px外一點P(x°,y°)所引兩條切線的切點弦方

51、程是yoy=p(x+xo).(3) 拋物線r = 2px(p > 0)與直線Av+ By + C = 0相切的條件是pB = 2AC.105. 兩個常見的曲線系方程過曲線/(x,y) = 0,厶(x) = 0的交點的曲線系方程是fl(x,y) + Af2(x,y) = Q (2 為參數(shù)).共焦點的有心圓錐曲線系方程卓 +二匚 =1,其中k vmax，,，.當(dāng) cr _k !r _kk >niin<72,Z?2Ibt,表示橢圓，當(dāng) iiiina29b2 <k vmaxa',，時,表示雙曲線.106. 直線與圓錐曲線相交的眩長公式|4B| = Jg_xJ+(y廠兒尸

52、或AB = J(l + R')(X2兀)'=| Xj -x21J1 + tan2 a =| y - y2 yjl + cov a (弦 端點V = kx + br,由方程消去y得到av + bx+c = 0 , A>0, a為直線F(x,y) = 0A3的傾斜角，k為直線的斜率).107. 圓錐曲線的兩類對稱問題(1)曲線F(x,y) = 0關(guān)于點Pg,y° )成中心對稱的曲線是F(2x0-x,2y0-y) = 0. 曲線F(x, y) = 0關(guān)于直線Av + By + C = 0成軸對稱的曲線是24(Aa + B.v + C)、，2B(/h + By + C)

53、、_a108. M四線 一方程對于一般的二次曲線 Av2 + Bxy + Cy2 + Dx+ Q + F = 0,用,vox 代x',用 yoy 代 y2, 用代好,用號:代X,用號!:代y即得方程A.X+B.直于比+ 0,0，+£>洱工+E丄寧+尸=0,曲線的切線，切點弦，中點 弦，弦中點方程均是此方程得到.109證明直線與直線的平行的思考途徑(1) 轉(zhuǎn)化為判定共而二直線無交點：(2) 轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行：(3) 轉(zhuǎn)化為線面平行：(4) 轉(zhuǎn)化為線面垂直；(5) 轉(zhuǎn)化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑(1) 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點：(2) 轉(zhuǎn)

54、化為線線平行；(3) 轉(zhuǎn)化為而面平行.111.證明平面與平面平行的思考途徑(1) 轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點：(2) 轉(zhuǎn)化為線面平行；(3) 轉(zhuǎn)化為線面垂直112證明直線與直線的垂直的思考途徑(1) 轉(zhuǎn)化為相交垂直；(2) 轉(zhuǎn)化為線面垂直：(3) 轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；(4) 轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂II.113 證明直線與平面垂直的思考途徑(1) 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直：(2) 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)柑交二直線垂直：(3) 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的-條垂線平行：(4) 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面：(5) 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考途

55、徑(1) 轉(zhuǎn)化為判斷二而角是直二面角；(2) 轉(zhuǎn)化為線面垂直.115. 空間向量的加法耳數(shù)乘向量運算的運算律(1) 加法交換律：a+b二b+a(2) 加法結(jié)合律：(a+b)+cp+(b+c)(3) 數(shù)乘分配律：X (a+b)=Xa+Xb.116. 平面向量加法的平行四邊形法那么向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向最之和等于以這三個向量為棱的平行六面體的 以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117 共線向最定理對空間任意兩個向量a. b(bHO), abU>存在實數(shù)入使a=hb.P、4、B 三點共線 <=> AP|AB<=>AP = t AB <=

56、> OP = (l t)OA + tOBABCD<>AB. CQ共線且A3、CD不共線u>AA = /CQ且A3、CD不共線. 118.共面向量定理向最P與兩個不共線的向最a. b共面的O存在實數(shù)對也兒使p = ax+by .推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的O存在有序?qū)崝?shù)對圮y，使MP = xMA + yMB 或?qū)臻g任一定點0,有序?qū)崝?shù)對X，使OP = OM+xMA+yMB.119對空間任一點O和不共線的二點A、B、C,滿足 OP = xOA + yOB + zOC(X+y+Z = R),那么當(dāng)R = 1時.對于空間任一點O總有氏A. B、C四點共面；當(dāng) 5 時，假

57、設(shè)OW平面ABC,那么P、A、B、C四點共面；假設(shè)O住平面ABC,那么P、A、B、C四點 不共面.4、BC D四點共面O方萬與AB. 疋共面<> AD = xAB + yAC <>OD = (i-x-y)OA + xOB+yOC(O右平面ABC)120空間向量根本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y> z> 使 p=xa+yb+zc推論 設(shè)0、A、B、C是不共面的四點.那么對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)嵤?OP = xOA + yOB + zOC.121.射影公式己知向量ABa和軸/, e是/上與/同方向的單位向量作A點在/上的射影A,作B點在/上的射影X,那么A B = AB | cos“ e) e122 向量的直角坐標(biāo)運算設(shè) a= (opa2,a5)> b=(勺厶厶)那么(1) a+b=(q