第四章控制系統(tǒng)根軌跡繪制

1、5/10/20221第四節(jié) 控制系統(tǒng)根軌跡分析5/10/20222 前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下： 標注開環(huán)極點“ ”和零點 “ ”； 畫出n-m條漸進線。其與實軸的交點和傾角分別為：.3, 2, 1, 0,) 12(;kmnkmnzpij 確定實軸上的根跡區(qū)間； 計算極點處的出射角和零點處入射角：）（）（矢量幅角從各個零點到該極點的矢量幅角從其他極點到該極點的出射角) 12( k）（）（矢量幅角從其他零點到該零點的矢量幅角從各個極點到該零點的入射角) 12( k5/10/20223 計算根軌跡和虛軸的交點； 計算會合點和分離點：

2、0求解(s)N(s)D-(s)D(s)由N注意： 后兩步可能不存在； 在判斷大致形狀時，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對稱性。5/10/20224閉環(huán)零、極點的分布與系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的關(guān)系u要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點均應(yīng)為于S平面左半部；u要求系統(tǒng)快速性好，則閉環(huán)極點均應(yīng)遠離虛軸，以便階躍響應(yīng)中的每個分量都衰減的快；u由二階系統(tǒng)的分析可知，共軛復(fù)數(shù)極點位于 45線上時，其對應(yīng)的阻尼比 為最佳阻尼比，這是系統(tǒng)的平穩(wěn)性與快速性都比較理想。超過45線，則阻尼比減小，振蕩加??；u離虛軸最近的閉環(huán)極點對系統(tǒng)動態(tài)過程的性能影響最大，起著決定性的主導(dǎo)作用，故稱它為主導(dǎo)極點。通常，若主導(dǎo)極點離虛軸的距離比

3、其他極點離虛軸距離的五分之一還小，而且附近又沒有閉環(huán)零點存在，則其他極點便可忽略；707. 02245cos5/10/20225u閉環(huán)零點的存在，可以削弱或抵消其附近的閉環(huán)極點的作用。當某零點Zi與其極點Sj靠得很近時，它們便稱為偶極子。它們靠得越近，則Zi對Sj得抵消作用就越強。這時由Sj所對應(yīng)得暫態(tài)分量很小，可以忽略； 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)零點和閉環(huán)零點是相同的，在設(shè)計時可以有意識的在系統(tǒng)中加入適當?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，使系統(tǒng)的動態(tài)性能獲得改善。v以上結(jié)論為我們利用根軌跡分析或設(shè)計系統(tǒng)提供了主要的依據(jù)。5/10/20226利用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標 由于主導(dǎo)極點在動

4、態(tài)過程中起主要作用，因此，由于主導(dǎo)極點在動態(tài)過程中起主要作用，因此，計算性能指標時，在一定的條件下，就可以只考慮主計算性能指標時，在一定的條件下，就可以只考慮主導(dǎo)極點所對應(yīng)的暫態(tài)分量，忽略其余的暫態(tài)分量。將導(dǎo)極點所對應(yīng)的暫態(tài)分量，忽略其余的暫態(tài)分量。將高階系統(tǒng)近似看作一階或二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章高階系統(tǒng)近似看作一階或二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計算性能指標的公式和曲線。中計算性能指標的公式和曲線。5/10/20227例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其中其中H(s)=1,試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算K0.525時的暫態(tài)性能指標。時的

5、暫態(tài)性能指標。解：解：作出根軌跡圖：作出根軌跡圖：) 15 . 0)(1()()(sssKsHsG)2)(1() 15 . 0)(1()()(sssksssKsHsG5/10/202285/10/20229根軌跡與虛軸的交點為根軌跡與虛軸的交點為 ，對應(yīng)的，對應(yīng)的kc6。 當當K=3時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（等幅振蕩）；時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（等幅振蕩）； 當當K3時，有兩條根軌跡進入時，有兩條根軌跡進入S右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定；右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 當當K3時，三個閉環(huán)極點全在時，三個閉環(huán)極點全在S平面左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定。平面左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定。 K0.525，即，即k1.05時，閉環(huán)的三個極

6、點為：時，閉環(huán)的三個極點為： S10.33j0.58 S20.33j0.58 S32.34 由于由于S3距虛軸的距離大于距虛軸的距離大于S1和和 S2實部離虛軸距離的七倍，所實部離虛軸距離的七倍，所以可以忽略以可以忽略S3的影響，將此三階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。的影響，將此三階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。 S1和和 S2稱為主導(dǎo)極點。稱為主導(dǎo)極點。22, 1js1 . 733. 034. 2)Re()Re(23ss5/10/202210)(12667. 05 . 044%3 .16667. 0)58. 0()33. 0(5 . 060cos225 . 015 . 0122steensn調(diào)整時間：超調(diào)量：用

7、下的性能指標為：系統(tǒng)在單位階躍信號作02. 0取5/10/202211 分析v當0K0.192（根軌跡的分離點對應(yīng)的K值）時，閉環(huán)極點均為負實數(shù)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為非周期過程，且由于最靠近虛軸的實數(shù)閉環(huán)極點離開虛軸向左移動，所以系統(tǒng)的調(diào)整時間ts逐漸減小。v當0.192K 3時，閉環(huán)極點有一對實部為負的共軛復(fù)數(shù)。階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。由于根軌跡移向虛軸，響應(yīng)衰減漸慢。vK3時，閉環(huán)極點有一對在虛軸上，階躍響應(yīng)為等幅振蕩過程。vK3時，兩條根軌跡進入S平面右半部分，系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)為發(fā)散振蕩。5/10/202212通過改造根軌跡改善系統(tǒng)的品質(zhì) 系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置決定于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的系

8、統(tǒng)根軌跡的形狀、位置決定于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點。因此，可通過增加開環(huán)的零、極點來改造根軌跡，零、極點。因此，可通過增加開環(huán)的零、極點來改造根軌跡，從而改善系統(tǒng)的品質(zhì)。從而改善系統(tǒng)的品質(zhì)。5/10/202213例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 若給此系統(tǒng)增設(shè)一個開環(huán)極點（若給此系統(tǒng)增設(shè)一個開環(huán)極點（p=-2），或增設(shè)一），或增設(shè)一個開環(huán)零點（個開環(huán)零點（z=-2）。試分別討論對系統(tǒng)根軌跡和）。試分別討論對系統(tǒng)根軌跡和系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：附加極點后：解：附加極點后： 附加零點后：附加零點后：依據(jù)根軌跡的繪制規(guī)則，繪出根軌跡依據(jù)根軌跡的繪制規(guī)則

9、，繪出根軌跡 )2)(1()()(sssksHsG) 1()2()()(sssksHsG) 1()()(ssksHsG5/10/202214 j 0 j 0 j 0 原系統(tǒng)的根軌跡 附加極點后的根軌跡 附加零點后的根軌跡原系統(tǒng)的分離點： s=-0.5附加極點后的分離點： s=-0.422附加零點后的分離點： s1=-0.586， s2=-3.414附加極點使根軌跡的分離點和根都向附加極點使根軌跡的分離點和根都向右移右移，附加零點使分離，附加零點使分離點和根軌跡向點和根軌跡向左移左移。 5/10/202215 分析v原二階系統(tǒng)，K從零變到無窮大時，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；v附加一個開環(huán)極點后，K大到一定

10、程度時，有兩條根軌跡進入S平面右半部，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。同樣的K值情況下，對應(yīng)的阻尼比 值更小，也就是說系統(tǒng)的超調(diào)量變大，調(diào)整時間變長，振蕩也更加劇。 結(jié)論結(jié)論：附加開環(huán)極點對系統(tǒng)動態(tài)性能不利；v附加一個開環(huán)零點后，K從零變化到無窮大時，所有的閉環(huán)極點都在S左半平面，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。而且隨著K的增大，閉環(huán)極點由兩個負實數(shù)變?yōu)楣曹棌?fù)數(shù)，再變?yōu)閮蓚€負實數(shù)，相對穩(wěn)定性比原系統(tǒng)更好。在相同K值的情況下，對應(yīng)的阻尼比 值更大，系統(tǒng)的超調(diào)量變小，調(diào)整時間變短。 結(jié)論結(jié)論：附加開環(huán)零點對系統(tǒng)動態(tài)性能有利。5/10/202216總結(jié):v開環(huán)零點對根軌跡的影響1、改變了根軌跡在實軸上的分布；2、改變了漸近線的

11、條數(shù)、傾角和分離點；3、若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很 近，構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消，因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點；4、根軌跡曲線將向左移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。5/10/202217v開環(huán)極點對根軌跡的影響1、改變了根軌跡在實軸上的分布；2、改變了根軌跡的分支數(shù)；3、改變了漸近線的條數(shù)、傾角和分離點； 4、根軌跡曲線將向右移，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。5/10/202218開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)和條件穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點有一個或一個以上在S右半平面，系統(tǒng)開環(huán)是不穩(wěn)定的。此類系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定，這要看閉環(huán)特征根的分布情況，根軌跡法可以解決這一問題。5/1

12、0/202219例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。繪制系統(tǒng)的根軌跡，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解： 開環(huán)有四個極點：開環(huán)有四個極點： P2位于位于S平面右半部，所以屬于平面右半部，所以屬于開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。 按照繪制根軌跡圖的一般規(guī)則，繪制出該系統(tǒng)的根軌跡：按照繪制根軌跡圖的一般規(guī)則，繪制出該系統(tǒng)的根軌跡：)164)(1() 1()()(2sssssksHsG322104321j,p,pp,5/10/202220從根軌跡圖可知：從根軌跡圖可知：起始于開環(huán)極點起始于開環(huán)極點P1（0）、）、P2（1）的兩條根軌跡分支）的兩條根

13、軌跡分支的大部分軌跡位于的大部分軌跡位于S平面的右平面的右半部，只有當半部，只有當23.3k35.7時，時，其根軌跡才在左其根軌跡才在左S平面內(nèi)。因平面內(nèi)。因此該系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件是此該系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件是23.3k35.7，而當，而當k35.7時，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。時，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。具有這種性質(zhì)的系統(tǒng)稱為具有這種性質(zhì)的系統(tǒng)稱為條件條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。5/10/202221參數(shù)根軌跡 定義：前面所講到的繪制根軌跡一般以開環(huán)增益K作為參變量。其實，繪制根軌跡時，可變參數(shù)可以是控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的任意參數(shù)（如某一待定系數(shù)或校正元件的時間常數(shù)等）。為了與以開環(huán)增益K作為可變參數(shù)的根軌跡相區(qū)別

14、，我們稱非開環(huán)增益系數(shù)為可變參數(shù)繪制的根軌跡為參數(shù)根軌跡。5/10/202222 繪制參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制一般根軌跡的規(guī)則完全相同。只是在繪制參數(shù)根軌跡之前，需將控制系統(tǒng)的特征方程進行等效變換，寫成符合于以非開環(huán)增義系數(shù)的待定參數(shù)k為可變參數(shù)時的標準形式，即： 0)()(1)()(sHsGsMksN)(),(必須滿足方程：是可變參數(shù)，而且它們的多項式；都是復(fù)變量其中kssNsM1)()(sNsMk5/10/202223參數(shù)根軌跡和一般根軌跡一樣，只能確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布。例：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1()()(TsssksHsG跡。為可變參數(shù)的參數(shù)根軌試繪制以待定參數(shù)（時間常數(shù)）為待定。已確定，