數(shù)學(xué)物理方法-ch3_無窮級(jí)數(shù)

1、1 1第三章第三章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)2說 明u吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法第四章3講授要點(diǎn)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù) 復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)，收斂與發(fā)散 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)函數(shù)級(jí)數(shù) 函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性 函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性 含參量反常積分的解析性冪級(jí)數(shù) 阿貝耳定理 收斂圓與收斂半徑 4無窮級(jí)數(shù)u無窮級(jí)數(shù)，特別是冪級(jí)數(shù)，是解析函數(shù)的最重要的表達(dá)形式之一u許多初等函數(shù)和特殊函數(shù)都是用冪級(jí)數(shù)定義的u復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)理論和實(shí)變函數(shù)的比較；概念和方法的異同5無窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散如果級(jí)數(shù)的部分和nnuuuuS210所構(gòu)成的序列Sn收斂，則稱級(jí)數(shù) 收斂，序列Sn的極限 ，稱為級(jí)數(shù) 的和0nnu0nnunnSS lim0limnnnnSu否則，級(jí)數(shù) 是發(fā)散的0

2、nnu復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)0210nnnuuuuu6令un=n+in，則部分和序列)()()()(221100nnniiiiS)()(210210nni復(fù)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂性完全等價(jià)于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù) 和 的收斂性一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù) 完全等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)級(jí)數(shù) 和nunnnunn000nnnnnniu7n絕對(duì)收斂： 若 組成的級(jí)數(shù)收斂， 則稱該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 絕對(duì)收斂 收斂0nnz？8任給 ，必有存在正整數(shù)n,正整數(shù)p，有0npnSS 發(fā)散 發(fā)散 收斂 收斂u收斂判別法nnba 0nna0nnb則1.基本法則Cauchy判據(jù)2.特殊法則比較判別法由基本法則可知，若對(duì)充分大的n有9P具體比較判別法0 ,rrznnrzznnn 1

3、rznnn r1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；r=1時(shí)不一定。n根式判別法（Cauchy判別法）n比值判別法（dAlembert判別法）n與標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)比較，如幾何級(jí)數(shù)10u級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算BAbabakkkkkkk000加減法：兩收斂級(jí)數(shù)的和與差級(jí)數(shù)仍收斂，且Aakk0Bbkk0若 ，11乘法：兩絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積絕對(duì)收斂，且其和與乘積項(xiàng)的排列次序無關(guān)BAbabakllklkkk0000k lb0b1b2 a0a0b0a0b1a0b2a1a1b0a1b1a1b2a2a2b0a2b1a2b2 n012 00000 ,nnkknknnlklkkllkbababanlk12除法是乘法的逆運(yùn)算 k lb0b1b2 a0a0

4、b0a0b1a0b2a1a1b0a1b1a1b2a2a2b0a2b1a2b2 n-1010, ,0lkbalk nnnknkknnlklkkllkbababanlk ,0013u復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性：若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)域D內(nèi)所有點(diǎn)處收斂，則稱該級(jí)數(shù)在D內(nèi)收斂。 zwzwzwzwnkk21014Nn DzzSzSn ,D15u特殊判別法：正實(shí)常數(shù)項(xiàng)收斂級(jí)數(shù) 有 則 在 D 上一致收斂。0kka Dzazwkk zwkk0D16u一致收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)：連續(xù)性：在有限（開）區(qū)域D內(nèi) 連續(xù)，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上 一致收斂，則和函數(shù) 在D內(nèi)連續(xù)。 zwk zwk zwzSk17u一致收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)：積分性

5、質(zhì)：c為分段光滑曲線，在c上 連續(xù)，且在c上級(jí)數(shù)一致收斂，則和 在c上連續(xù)，且可沿c逐項(xiàng)積分，即 00dddkckckkczzwzzwzzS zwk zS18u一致收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)：微商性質(zhì)：在有限（開）區(qū)域D內(nèi) 解析，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上 一致收斂，則其和在D內(nèi)解析且可逐項(xiàng)微商任意多次，即 knknnnzzwzzSdddd zwk zwk19u冪級(jí)數(shù)定義：主要研究整數(shù)冪級(jí)數(shù)，特別是非負(fù)整數(shù)冪級(jí)數(shù)； 稱為以a為中心的冪級(jí)數(shù)。 0nnnazazS20u收斂特性：以a為中心的冪級(jí)數(shù)在某個(gè)圓 內(nèi)收斂且絕對(duì)收斂在 上絕對(duì)一致收斂在圓外 發(fā)散 收斂圓 收斂半徑a收斂發(fā)散RrRazrazRaz21uAbel定理

6、：冪級(jí)數(shù) 在某點(diǎn) 收斂 它在 上收斂且絕對(duì)收斂 它在 上絕對(duì)一致收斂0nnnaza0zzRazaz0azrraz0 aRr0z22證：（利用比較判別法） 級(jí)數(shù) 在 內(nèi)收斂。 Razaz000nnazaznnnnnnazazMazazazaaza00000nnnazaMazann0收斂aRr0z23nnnnazrMazazMaza00azrraz0 aRr0z24u推論：若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn) 處發(fā)散，則它在 處發(fā)散。1zz azaz1aR1z25u收斂半徑的求法（比值或根式判別法）u冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)： 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)其和是解析函數(shù)，且可任意次逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微商。LR11limlim11azLazaaazaannnnnnLannnlim1limnnnaaR26例1：求