有限元法與程序-桿系結(jié)構(gòu)單元1

1、第第5 5章章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法桿系結(jié)構(gòu)的有限元法5.1 概述概述桿系結(jié)構(gòu)桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、框架、桁架等，它們常可離：梁、拱、框架、桁架等，它們?？呻x散成桿元和梁元。散成桿元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架坐標(biāo)系坐標(biāo)系 有限元中的坐標(biāo)系有整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。有限元中的坐標(biāo)系有整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)，整體坐標(biāo)系一般只有一個(gè)；而局部對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)，整體坐標(biāo)系一般只有一個(gè)；而局部坐標(biāo)系有很多個(gè)，一個(gè)單元就有一個(gè)局部坐標(biāo)。并坐標(biāo)系有很多個(gè)，一個(gè)單元就有一個(gè)局部坐標(biāo)。并且在局部坐標(biāo)系中每一個(gè)單元的規(guī)定都是相同的，且在局部坐標(biāo)系中每一個(gè)單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?/p>

2、。這樣，同類型單元?jiǎng)偠染仃囅嗤YPxyxy 桿系結(jié)構(gòu)單元主要有桁架單元和梁?jiǎn)卧獌煞N類桿系結(jié)構(gòu)單元主要有桁架單元和梁?jiǎn)卧獌煞N類型。它們都只有型。它們都只有2個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j。 約定：約定：?jiǎn)卧鴺?biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i；節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)i到到j(luò)的的桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中x軸的正向。軸的正向。 y軸、軸、z軸都與軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。軸垂直，并符合右手螺旋法則。 對(duì)于梁?jiǎn)卧瑢?duì)于梁?jiǎn)卧?y軸和軸和z軸分別為橫截面上的兩個(gè)慣軸分別為橫截面上的兩個(gè)慣性主軸。性主軸。xyzij5.2 桿單元桿單元 下圖示出了一維桿單元，橫截面

3、積為下圖示出了一維桿單元，橫截面積為A，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l，彈性模量為，彈性模量為E，軸向分布載荷為，軸向分布載荷為px。單元有。單元有2個(gè)結(jié)個(gè)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)i，j，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸x。ijxlLINKpxujui1、一維桿單元、一維桿單元單元結(jié)點(diǎn)力向量：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)力向量：jieFFF（1）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù) 位移模式位移模式單元結(jié)點(diǎn)位移向量單元結(jié)點(diǎn)位移向量 jieuu 因?yàn)橹挥幸驗(yàn)橹挥?個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移只有個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移只有1個(gè)自由度，個(gè)自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：因此單元的位移模式可設(shè)為：xaau21式中式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條

4、件為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條件 x=xi 時(shí)，時(shí)， u=ui x=xj 時(shí)，時(shí)， u=uj確定。再將由此確定的確定。再將由此確定的a1、a2 其代入上式，得其代入上式，得 xluuxluuuuijiiji)( 形函數(shù)形函數(shù) 將位移模式改寫為下列形式將位移模式改寫為下列形式 eNu)()(1xxxxlNNNijji（2）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣一維桿單元僅有軸向應(yīng)變一維桿單元僅有軸向應(yīng)變 dxdu上式也可寫為上式也可寫為 eB式中式中B為應(yīng)變矩陣為應(yīng)變矩陣 111lBBBjiel111代入位移模式代入位移模式得得 由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （3）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣E將將 代入上式，得代入上式，得

5、eBeeSBE式中式中S為應(yīng)力矩陣為應(yīng)力矩陣 11lES(4) 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃囉上率酵瞥鰡卧獎(jiǎng)偠染仃囉上率酵瞥?dvBDBkvTe對(duì)于等截面桁架桿單元（截面積為對(duì)于等截面桁架桿單元（截面積為A ） ，v=Adx，故有：故有： dxBDBAkvTe1111lEAke由由 111lBBBji得得 (5) 等效節(jié)點(diǎn)力等效節(jié)點(diǎn)力 單元上作用分布力單元上作用分布力px，則等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍，則等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍為以下形式為以下形式 dxpNFxTe當(dāng)分布力集度當(dāng)分布力集度px為常數(shù)時(shí)，有為常數(shù)時(shí)，有 112)()(1lpdxpxxxxlFxxijxxepjix)()(1xxxx

6、lNNNijji2、平面桿單元（、平面桿單元（2D LINK1） 1 2 3 4ijxyl（1）單元坐標(biāo)單元位移向量）單元坐標(biāo)單元位移向量 4321e 1 2 3 4ijxy看成局部坐標(biāo)下的拉壓桿01011lBBBji應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣0101lES應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣0000010100000101lEAke單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?0)(0)(1xxxxlNij形函數(shù)形函數(shù)010120)(0)(1plpdxxxxxlFijxxepji等效節(jié)點(diǎn)力等效節(jié)點(diǎn)力 ijxylz3、空間桿單元（、空間桿單元（3D LINK8）（1）單元坐標(biāo)及單元位移向量）單元坐標(biāo)及單元位移向量 1 2 4 5 3 6 （2

7、）形函數(shù)）形函數(shù)00)(00)(1xxxxlNij （3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣0010011lB （4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣 001001lES (5) 等效節(jié)點(diǎn)力等效節(jié)點(diǎn)力 TeplF0010012 (6) 單元坐標(biāo)及單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)及單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)于等截面鉸接桿單元，對(duì)于等截面鉸接桿單元，000000000000001001000000000000001001lEAke1111lEAke5.3 梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧啥顺惺芗袅?、彎矩的平面梁?jiǎn)卧猧jxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐標(biāo)下單元位移和單元力）局部坐標(biāo)下單元位移和單元力 單元

8、位移單元位移 TjjiiTevv4321其中，其中， vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321其中，其中， Q剪力剪力 M彎矩彎矩3322dxvdEIQdxvdEIMdxdv（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù)342321)(xaxaxaaxv 位移模式位移模式 設(shè)單元坐標(biāo)位移模式為設(shè)單元坐標(biāo)位移模式為ijxy 1 2 3 4l梁?jiǎn)卧獌?nèi)一點(diǎn)有梁?jiǎn)卧獌?nèi)一點(diǎn)有2個(gè)位移：個(gè)位移： v、 因?yàn)椋驗(yàn)椋?=dv/dx；僅一個(gè)位僅一個(gè)位移是獨(dú)立的，取移是獨(dú)立的，取 v 。eNxv)(式中式中4321NNNNN 232433232

9、322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN 形函數(shù)形函數(shù)由單元兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移條件，解出式中的由單元兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移條件，解出式中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式：。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式： 1xy22dxvdyb1y 22tandxvdyyyb 1 （3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變單元彎曲應(yīng)變 b與節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。的關(guān)系。 梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變和該點(diǎn)撓度之間關(guān)系為：梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變和該點(diǎn)撓度之間關(guān)系為： 將式將式 代入代入 ，得單元彎曲應(yīng)，得單元彎曲應(yīng)變和單元位移

10、之間關(guān)系變和單元位移之間關(guān)系 )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣eNxv)( eebbSBEES=DB22dxvdyb (5) 等效節(jié)點(diǎn)力等效節(jié)點(diǎn)力 對(duì)于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時(shí)對(duì)于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時(shí)可將其作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理?？蓪⑵渥饔命c(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理。 這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價(jià)節(jié)這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價(jià)節(jié)點(diǎn)力問題。點(diǎn)力問題。xyijlpy(x) dxxpNFyTlepy)(0 將形函數(shù)矩陣將形函數(shù)矩陣N代入上

11、式，積分可得分布荷載代入上式，積分可得分布荷載的等效結(jié)點(diǎn)力。表的等效結(jié)點(diǎn)力。表5-1給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。點(diǎn)力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij表表 5-1 幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力(6) 單元坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖榱簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖閷的表達(dá)式代入上式進(jìn)行積分，并注意到的表達(dá)式代入上式進(jìn)行積分，并注意到Iz梁截面對(duì)梁截面對(duì)Z軸（主

12、軸）的慣性矩軸（主軸）的慣性矩得單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚨脝卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃噆e:AzdAyI2 dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 單元?jiǎng)偠染仃囀竭m合于單元?jiǎng)偠染仃囀竭m合于連續(xù)梁連續(xù)梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)方向一致。2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?（平面剛架，（平面剛架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F

13、6lF1F4（1）單元坐標(biāo)單元位移和單元力）單元坐標(biāo)單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjjiiiTevuvu654321其中，其中， ux方向（軸向）位移。方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321其中，其中， N軸向力軸向力 Q剪力剪力 M彎矩彎矩 對(duì)于小變形問題，可以認(rèn)為軸向變形和彎曲變形對(duì)于小變形問題，可以認(rèn)為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按一維一維拉壓桿單元拉壓桿單元和和彎剪平面梁?jiǎn)卧獜澕羝矫媪簡(jiǎn)卧慕Y(jié)果

14、簡(jiǎn)單集合而成。的結(jié)果簡(jiǎn)單集合而成。（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù) 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4xaau21362543xaxaxaav 形函數(shù)形函數(shù)式中形函數(shù)式中形函數(shù)N為：為： eNvuf 653241000000NNNNNNN23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變單元彎曲應(yīng)變 與節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。的關(guān)系。 軸剪彎梁?jiǎn)卧S剪彎梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變，應(yīng)為該點(diǎn)撓度（上任一點(diǎn)的應(yīng)變，

15、應(yīng)為該點(diǎn)撓度（v）引起的應(yīng)變和軸向位移（引起的應(yīng)變和軸向位移（u）引起的應(yīng)變之和。）引起的應(yīng)變之和。單元應(yīng)變矩陣為：?jiǎn)卧獞?yīng)變矩陣為：eB654321BBBBBBB 12334256321 (126 )1(64)(126 )(62 )yBBxlllyBxBllyyBxlBxlll ， (5) 等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 xyijlqy(x) （4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣 eeSBEEqx將式彎剪梁、一維桿的等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式膨脹成將式彎剪梁、一維桿的等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式膨脹成61矩陣后相加，有矩陣后相加，有 dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065

16、320000)(00112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix一維桿彎剪梁最后得等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣最后得等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321荷載分布NiQiMiNjQjMj幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 表表 22lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖榱簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖閘EIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlE