控制系統(tǒng)的頻率特性

1、.控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第第6章章 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性.本章主要內(nèi)容：（1）研究控制系統(tǒng)的頻率特性及其表示方法，即研究控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。（2）頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）。（3）頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）。.6.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法是分析控制系統(tǒng)的直接方法。時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法是分析控制系統(tǒng)的直接方法。時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)：直觀。時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)：直觀。時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的缺點(diǎn)：分析高階系統(tǒng)非常繁瑣。時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的缺點(diǎn)：分析高階系統(tǒng)非常繁瑣。頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系

2、統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性。應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。性。應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。頻率特性分析法（頻域法）頻率特性分析法（頻域法） 是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性等，是工程上廣泛采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。頻率確性等，是工程上廣泛采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。不必直

3、接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)特性分析法是一種圖解的分析方法。不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)域表達(dá)式，可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間存在著對應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡潔的時(shí)域指標(biāo)之間存在著對應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便和直觀。曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便和直觀。.時(shí)域時(shí)域線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 微分方程微分方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 復(fù)數(shù)域復(fù)

4、數(shù)域頻率特性頻率特性 頻域頻域系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型頻率特性的特點(diǎn)頻率特性的特點(diǎn)（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。要的實(shí)際意義。（2）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進(jìn)行）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞）頻率響應(yīng)法不僅適

5、用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。.頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。 注意注意：穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的頻率相同，僅振幅和相位不同。線性系統(tǒng)00.51.01.52.02.53.0-5-4-3-2-101234500.51.01.52.02.53.0-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0.0123456-8-6-4-20246x(t)y(t)yss(t)紅色為輸入x(t)，藍(lán)色為全響應(yīng)y(t)，黑色為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)305cos(2

6、)(ttx輸入：.)3020cos(2)(ttx輸入：0123456-2-1.5-1-0.500.511.52x(t)y(t)紅色為輸入x(t)，藍(lán)色為全響應(yīng)y(t)，黑色為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)yss(t).oiU (s)11G(s)U (s)RCs1Ts1 i22AUs=s + RCi (t)ui(t)u0(t)引例：如圖所示的阻容濾波引例：如圖所示的阻容濾波RC電路，求其頻率特性。電路，求其頻率特性。已知該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)輸入信號為正弦信號設(shè)輸入信號為正弦信號 iUt= A sint 其拉普拉斯變換為其拉普拉斯變換為6.1.1 引例引例. 2222222222222

7、2111111111ssTTsTTATsTTAsATssUsGsUio則系統(tǒng)輸出信號的拉普拉斯變換為則系統(tǒng)輸出信號的拉普拉斯變換為 TtTAeTTAttTAeTTAtutTtToarctg-sin11sincoscossin112212222122作拉普拉斯反變換，得系統(tǒng)的輸出信號為作拉普拉斯反變換，得系統(tǒng)的輸出信號為221T T 1 . tAAtAtuosssinTarctg-sinT122oiU (s)11G(s)U (s)RCs1Ts1 RC電路的傳遞函數(shù)：將s=j代入G(s)，可得 Tarctg 2211TA式中：221T T 1 )()(22)(1111)(jTarctgjeAeTT

8、jjG系統(tǒng)輸出信號的穩(wěn)態(tài)分量為系統(tǒng)輸出信號的穩(wěn)態(tài)分量為.式中: X輸入信號的振幅;輸入信號的角頻率。一般線性定常系統(tǒng),設(shè)輸入信號為正弦函數(shù),即:x(t)=Xsin t其拉氏變換為：)()(22jsjsXsXsX一般情況下,傳遞函數(shù)可以寫成如下形式:X(s)Y(s)G(s)()()()()()(210)(0)(nnjjnjmiimipspspssMsasbsNsMsG6.1.2 頻率特性的定義頻率特性的定義.系統(tǒng)的輸出為2221)()()()(sXpspspssMsYn)()()()(21jsjsXpspspssMnnitpitjtjieAeAAety1)(穩(wěn)定系統(tǒng) jsAjsApsAsYnii

9、i1)(), 2 , 1(和,niAAAi待定系數(shù) 穩(wěn)態(tài)輸出tjtjseAAety)(.式中的待定系數(shù) 可按求留數(shù)的方法求得：AA,jsjsjsjsXsGA)()()(jXjG2)(jsjsjsjsXsGA)()()(jXjG2)(G(j)是一個(gè)復(fù)數(shù),它可以表示為:)()()(jejGjG)()()()()(jjejGejGjG)()()()(jGRjGIarctgjGem式中:.將待定系數(shù) 代入式 中,有:tjjtjjseejGjXeejGjXty)()()(2)(2)()(sin)(sin()(2)()()(tYtjGXjeejGXtjtj式中: 穩(wěn)態(tài)輸出的幅值,是的函數(shù)。)j(GXY 線

10、性定常系統(tǒng)對正弦輸入信號Xsint的穩(wěn)態(tài)輸出Ysin(t+),仍是一個(gè)正弦信號。其特點(diǎn)是：頻率與輸入信號相同。相位為 ()=G(j)。振幅Y為輸入振幅A的 倍。)j(GX 振幅振幅Y Y和相位和相位 都是都是輸入信號頻率輸入信號頻率 的函數(shù)。的函數(shù)。對于確定的對于確定的 值值, ,振幅振幅Y Y和和相位相位 都是常量。都是常量。AA,tjtjseAAety)(.(b) 向量圖XYReIm0(a) 函數(shù)圖XYx(t)ys(t)ys(t)tx(t)0 輸入、輸出關(guān)系用函數(shù)圖和向量圖表示如下:頻率特性的定義頻率特性的定義 幅頻特性 相頻特性XYjGA)()()()(jG 頻率特性)()()()()(

11、jeAjGjejGjG.頻率特性的求取方法頻率特性的求取方法（1 1）根據(jù)定義求取）根據(jù)定義求取已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。（2 2）根據(jù)傳遞函數(shù)求?。└鶕?jù)傳遞函數(shù)求取已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。 )()()()()()(jXjYjssXsYjssGjG頻率特性等于系統(tǒng)輸出和輸入的傅里葉變換之比。.頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)求?。? 3）通過實(shí)驗(yàn)方法測量）通過實(shí)驗(yàn)方法測量.6.1.3 頻率特性的性質(zhì)頻率特性的性質(zhì)（1 1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特

12、性也是一種數(shù)學(xué)模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。（2 2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。（3 3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當(dāng)頻率改變，則輸出、輸入量的幅值之比A()和相位移()隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲能元件引起的。.系統(tǒng)模型之間的關(guān)系系統(tǒng)模型之間的關(guān)系線性

13、系統(tǒng)微分方程頻率特性傳遞函數(shù)sj dsd t djdt .6.1.4 頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法(1)(1)頻率特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式頻率特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式)(je )(A)(jV)(U)j(G)j(G)j(G （直角坐標(biāo)表示法）（直角坐標(biāo)表示法） （極坐標(biāo)表示法）（極坐標(biāo)表示法）)()()()(22VUjGA)()()()(UVarctgjG.(2)(2)頻率特性的幾何表示法頻率特性的幾何表示法對數(shù)頻率特性曲線：Bode圖，對數(shù)坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)為頻率，采用對數(shù)分度。分作兩張圖，縱坐標(biāo)分別為幅值和相位，采用線性分度。幅值的單位采用分貝（dB）來表示。相位的單位采用度或弧度來表示。幅相頻率特性曲線

14、：Nyquist圖，極坐標(biāo)圖對數(shù)幅相特性曲線：Nichols圖，對數(shù)幅相圖，復(fù)合坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)為實(shí)頻特性?？v坐標(biāo)為虛頻特性。橫坐標(biāo)為相頻特性，采用度或弧度來表示。縱坐標(biāo)為幅頻特性，采用分貝（dB）來表示。.例：一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性例：一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性nnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110)(1212221122111212(1)(21)(1)(21)(22)mmnkkknknnijjjijKssssTsT sT smmmnnn ，122211221122 1)(2)() 1()( 1)(2)() 1()(ninjjjjimnmkkkknjTTjTjj

15、jjjKjG)(3)(2)(1321)()()(jjjeAeAeA.由上式可知，一般系統(tǒng)的頻率特性是由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成。)()()()(321AAAA幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之乘積。 相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。)()()(jeAjG)()()()(321)(3)(2)(1321)()()()(jjjeAeAeAjG.控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第第6章章 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性6.2 頻率特性的極坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）圖）.極坐標(biāo)圖（極坐標(biāo)圖（Polar PlotsPolar Plots）當(dāng)從0變化時(shí)，根據(jù)頻率特

16、性的極坐標(biāo)公式G(j)=A()()，可以計(jì)算出每一個(gè)值所對應(yīng)的幅值A(chǔ)()和相位()，將其畫在極坐標(biāo)平面圖上，就得到頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）。 RC 網(wǎng)絡(luò)的極坐標(biāo)圖 12211G(j)jRC1jT11tgT1T 6.2.1 極坐標(biāo)圖概述極坐標(biāo)圖概述.極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）是反映頻率特性的幾何表示。當(dāng)從0逐漸增長至+時(shí)，頻率特性G(j)作為一個(gè)矢量，其矢量端點(diǎn)在復(fù)平面相對應(yīng)的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖。.乃奎斯特（H. Nyquist)18891976美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家極坐標(biāo)圖也稱為奈奎斯特圖（Nyquist Plots）或奈奎斯特曲線，也稱為幅相頻率特性曲線。.6.

17、2.2 典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 如果系統(tǒng)如右圖所示 , 則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為nnnnmmmmasasasbsbsbsbsHsG1111110)()(典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)(sc)(sRG(s)H(s)將其分子、分母分解因式 ，則常見有以下七種典型環(huán)節(jié)： 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)K 一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)0,) 1(1TTs式中 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)0,1式中s 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)s1 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)s 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)100,) 1/2/(122，式中nnnss 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)10,0,1222nnnss式中.（1）比例環(huán)節(jié)）比

18、例環(huán)節(jié)K)(A 幅頻特性0K0K1800)( 相頻特性KsG)(傳遞函數(shù)KjG)(頻率特性K)(U 實(shí)頻特性0)(V 虛頻特性比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖所有元部件和系統(tǒng)都包含這種環(huán)節(jié)，如減速器、放大器、液壓放大器等。.K=1;G=tf(K,1);nyquist(G,*);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：.（2）積分）積分 1)(A 幅頻特性90)( 相頻特性S1)s(G 傳遞函數(shù) j1)j(G 頻率特性0)(U 實(shí)頻特性 1)(V 虛頻特性積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率從0時(shí)，特性曲線由虛軸的-趨向原點(diǎn)。G(j0)=-90G(j+)=0-90

19、.G=tf(0,1,1,0);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：.（3）微分）微分 )(A幅頻特性90)( 相頻特性S)s(G 傳遞函數(shù) j)j(G 頻率特性0)(U 實(shí)頻特性 )(V虛頻特性微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率從0時(shí)，特性曲線由虛軸的原點(diǎn)趨向+。G(j0)=090G(j+)=+90.G=tf(1,0,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：.（4）一階慣性環(huán)節(jié)）一階慣性環(huán)節(jié)() 000111/T45 1/21/ 21/ 2 90 00A()

20、 U() V() 01)T(1)(A2 幅頻特性 Ttg)(1 相頻特性1Ts1)s(G 傳遞函數(shù)1jT1)j(G 頻率特性1)T(1)(U2 實(shí)頻特性1)T(T)(V2 虛頻特性-.一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖T1222)21(V)21U(一階慣性環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性與虛頻特性滿足下列圓的方程，圓心在（0.5，0），半徑為0.5：G(j0)=10G(j1/T)=0.707-45G(j+)=0-90.一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對稱于實(shí)軸。證明如下： T)(U)(V 222)UV(1KT1KU 整理得：222)2K(V)2KU( 2222T1KT)(VT1K)(U T1一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖.

21、T=1;G=tf(0,1,T,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：.一階慣性環(huán)節(jié)G(j)0ReG(j)ImG(j)1=0= 11TssG.（5）一階微分環(huán)節(jié)）一階微分環(huán)節(jié)1)()(A2 幅頻特性 1tg)( 相頻特性1s)s(G 傳遞函數(shù)1j)j(G 頻率特性1)(U 實(shí)頻特性 )(V虛頻特性一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖() 000111/ 45211 90 1 A() U() V() ReIm01.tau=1;G=tf(tau,1,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制一階微分環(huán)節(jié)的極

22、坐標(biāo)圖：.（6）二階振蕩環(huán)節(jié)）二階振蕩環(huán)節(jié) 12122TssTsG傳遞函數(shù)TjTjG21122頻率特性 222222211TTTU實(shí)頻特性虛頻特性 2222212TTTV.幅頻特性相頻特性 2222211TTA TTTarctgTTTarctg1,121801,122222.相位角0-180，表示與負(fù)虛軸有交點(diǎn)。G(j0)=10G(j+)=0-180二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖nT1902121)(jjGn令U()=0，或令()=-90，可得與負(fù)虛軸的交點(diǎn)為：21)(nV.由圖可見，無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大，其圖形越接近圓。.T=1;Zeta1=

23、0.3;G1=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta1*T,1);Zeta2=0.4;G2=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta2*T,1);Zeta3=0.5;G3=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta3*T,1);Zeta4=0.6;G4=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta4*T,1);Zeta5=0.7;G5=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta5*T,1);Zeta6=0.8;G6=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta6*T,1);Zeta7=0.9;G7=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta7*T,1);Zeta8=1.0;G8=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta8

24、*T,1);Zeta9=2.0;G9=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta9*T,1);nyquist(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);axis(-2,2,-2,2);采用MATLAB繪制二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：.下面討論二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性可能出現(xiàn)的極值問題：二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性 2222211TTA 12122TssTsG令得 0ddA0218143222222222TTTTT化簡后為021222T. 0rddA當(dāng)時(shí)， 即將=r代入上式，021222rT可以解得二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性出現(xiàn)極值時(shí)的頻率值r。所以因?yàn)?22121nrT此頻率值

25、r才是非負(fù)數(shù)。將此出現(xiàn)極值時(shí)的頻率值r代入二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性表達(dá)式，可得幅頻特性的極值Mr為此時(shí)要求0212，即當(dāng)707. 0210時(shí)，. 22222222122221212121212212112TrTTAMr又因?yàn)锳(0)=1，A(+)=0，所以Mr是極大值。因?yàn)樗?rM707. 0210.定義：將使得二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性出現(xiàn)極大值Mr時(shí)的頻率值r稱為諧振頻率，并將此極大值Mr稱為諧振峰值。諧振（resonance）也稱為共振。 2121rAMr222121nrT討論：（1）隨著阻尼比減小，諧振峰值Mr增大，諧振頻率r趨近于無阻尼自然振蕩固有頻率n。（2）當(dāng)阻尼比=0時(shí)，r=n，M

26、r，此時(shí)二階振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 （3）諧振峰值Mr越大，表示系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也越大。707. 0210707. 0210.0ReG(j)ImG(j)1ABA點(diǎn)：諧振點(diǎn)2212121rnrAB點(diǎn)：與負(fù)虛軸的交點(diǎn)onnA90)(21)( 2222nnnsssG二階振蕩環(huán)節(jié)G(j). 2121rAMr707. 0210二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值Mr與阻尼比的關(guān)系：. 2121rAMr222121nrT707. 0210二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性 2222211TTMA7 . 0;6 . 0;5 . 0;4 . 0;3 . 0111T

27、Tn.二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性 2222211TTMA.定義：控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)定義：控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)（1）諧振峰值）諧振峰值Mr：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值Mmax。出現(xiàn)諧振峰值，。出現(xiàn)諧振峰值，表明阻尼比表明阻尼比 m時(shí)，當(dāng)時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點(diǎn)處。例如：一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)。 當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，即n=m時(shí)，當(dāng)時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值。見下面的例題。 結(jié)論：高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsHsG11101110. 11TsssG例：繪制頻率特性的例：繪制頻率特性的Nyqui

28、st圖（考慮圖（考慮m=n）tau1=1;T1=2;num1=tau1,1;den1=T1,1;g1=tf(num1,den1);tau2=3;T2=1;num2=tau2,1;den2=T2,1;g2=tf(num2,den2);nyquist(g1,g2);.（3）Nyquist圖的負(fù)頻段令從增長到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與從0增長到+得出的乃氏圖以實(shí)軸對稱的。采用MATLAB繪制乃氏圖，可以顯示范圍：T20，系統(tǒng)1為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)2為非最小相位系統(tǒng)。兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性相同：兩個(gè)系統(tǒng)的相頻特性不同：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的幅頻特性系統(tǒng)1的相頻特性系統(tǒng)2的相頻特性.T1=10;T2=1;g1=tf

29、(T1,1,T2,1);g2=tf(-T1,1,T2,1);w=logspace(-2,1,100);bode(g1,g2,w);grid;采用MATLAB繪制頻率特性的Bode圖：.控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第第6章章 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性6.5 傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定方法傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定方法.由穩(wěn)態(tài)的輸入、輸出信號的幅值比和相位差繪制出被測對象的對數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖），再得漸近對數(shù)幅頻曲線。對實(shí)驗(yàn)測得的系統(tǒng)對數(shù)幅頻曲線進(jìn)行分段處理。即用斜率為20dB/dec整數(shù)倍的直線段來近似測量到的曲線。注意：求得的傳遞函數(shù)的對數(shù)相頻特性曲線與實(shí)驗(yàn)曲線應(yīng)當(dāng)基本一致，兩條曲線在低頻和高

30、頻段應(yīng)嚴(yán)格相符。信號源信號源對象對象記錄儀器記錄儀器Xsin t 由Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與繪制系統(tǒng)Bode圖相反。即由實(shí)驗(yàn)測得的Bode圖，經(jīng)過分析和測算，確定系統(tǒng)所包含的各個(gè)典型環(huán)節(jié)，從而建立起被測系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)方法：.根據(jù)漸近對數(shù)幅頻曲線確定傳遞函數(shù)的方法，即由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則：（1）系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)決定。即由低頻段的斜率(-20)dB/dec來確定包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。如果低頻段斜率為(-20)dB/dec，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為型系統(tǒng)。（2）開環(huán)增益K的確定。由低頻段在=1處的幅頻高度L()=20lgK來

31、求得比例環(huán)節(jié)的增益K值。也可以由低頻段斜線（或其延長線）與零分貝線的交點(diǎn)頻率來求得比例環(huán)節(jié)的增益K。設(shè)與零分貝線的交點(diǎn)頻率為，當(dāng)=1時(shí)，K=；當(dāng)=2時(shí)，K=*。具體方法為：由=1作垂線，此垂線與低頻段(或其延長線)的交點(diǎn)的分貝值L()=20lgK(dB)，由此求出開環(huán)增益K值。低頻段斜率為-20dB/dec時(shí)，此線(或其延長線)與0dB線交點(diǎn)處的值等于開環(huán)增益K值。當(dāng)?shù)皖l段斜率為-40dB/dec時(shí)，此線(或其延長)與0dB線交點(diǎn)處的值即等于開環(huán)增益K值的平方根。.（3）在頻率從低頻向高頻逐漸增加的過程中，當(dāng)某 處系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此 即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。斜率每增加一

32、個(gè)-20dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率 處即包含一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。斜率每增加一個(gè)+20dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率 處即包含一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。斜率每增加一個(gè)-40dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率 處即包含一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比。或者包含兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。斜率每增加一個(gè)+40dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率 處即包含一個(gè)二階微分環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比。或者包含兩個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。.0型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：)1()1()(11jnjzimiTjTjKjG其對數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。0型系統(tǒng)的特點(diǎn)低頻段斜率為0dB/dec；低頻段的幅值為L()=20

33、lgK。0型系統(tǒng)對數(shù)頻率特性低頻段示意圖.I型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：其對數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。111) 1() 1()(njjmiziTjjTjKjGI型系統(tǒng)對數(shù)頻率特性低頻段示意圖 I型系統(tǒng)特點(diǎn)低頻段斜率為-20dB/dec；位置由下式確定lg20lg20lg20)(KKL當(dāng) 時(shí)， 1KLlg20) 1 (低頻漸近線（或其延長線）與0分貝線的交點(diǎn)為Kc()0cLKc當(dāng) 時(shí)， .型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：其對數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。型系統(tǒng)對數(shù)頻率特性低頻段示意圖 型系統(tǒng)特點(diǎn)低頻段斜率為-40dB/dec；位置由下式確定當(dāng) 時(shí)， 1KLlg20) 1 (低頻漸近線（或其延

34、長線）與0分貝線的交點(diǎn)為()0cL當(dāng) 時(shí)， 2121) 1()() 1()(njjmiziTjjTjKjGlg40lg20lg20)(2KKLKcKc.例：例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。解：解：1）由于低頻段斜率為-20dB/dec，所以有一個(gè)積分環(huán)節(jié) 2）在=1處，L()=15dB=20lgK，可得K=5.6 3）在=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?-40dB/dec，故有一階慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1) 4）在=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1) 121() 171(6 .

35、5)(ssssG7290)(11tgtg.例：例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。) 1501)(1301() 18 . 01(4) 1501)(1301() 18 . 01()(22ssssssssKsG解：解：1）由于低頻段斜率為-40dB/dec，所以有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)， =2 3）在=30處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?-40dB/dec，故有一階慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1) 2）在=0.8處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?-20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/0.8+1) 4）在=50處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?-60dB/dec，故有一階慣性環(huán)

36、節(jié)1/(s/50+1) 5）低頻段延長線與零分貝線的交點(diǎn)頻率=2，因?yàn)?2，所以K=22=4習(xí)題：習(xí)題：P.226：6-9.控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第第6章章 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性6.6 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性.6.6.1 開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)頻率特性的定義開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)頻率特性的定義根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。工程設(shè)計(jì)中常用的方法。對于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為對于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為jGjGjRjCj1 sGsGsRsCs1.對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)

37、為對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 sHsHsGsHsGsHsGsGsRsCs111處理方法：可以將非單位反饋系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)環(huán)節(jié)的處理方法：可以將非單位反饋系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式來處理串聯(lián)形式來處理: （1）其中一個(gè)環(huán)節(jié)是以非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞）其中一個(gè)環(huán)節(jié)是以非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)函數(shù)G(s)H(s)為前向通道傳遞函數(shù)的單位反饋環(huán)節(jié)；為前向通道傳遞函數(shù)的單位反饋環(huán)節(jié)；（2）另外一個(gè)環(huán)節(jié)是非單位反饋系統(tǒng)的反饋通道傳）另外一個(gè)環(huán)節(jié)是非單位反饋系統(tǒng)的反饋通道傳遞函數(shù)的倒數(shù)。遞函數(shù)的倒數(shù)。. jHjjjjjejHjejjjjjHjHjGjHjGjHjGjGj12112121111

38、.6.6.2 根據(jù)開環(huán)頻率特性近似分析閉環(huán)頻率特性根據(jù)開環(huán)頻率特性近似分析閉環(huán)頻率特性根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。工程設(shè)計(jì)中常用的方法。在進(jìn)一步分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常需要用到系統(tǒng)在進(jìn)一步分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常需要用到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。的閉環(huán)頻率特性。下面介紹如何利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來近似分下面介紹如何利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來近似分析系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。析系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。.例：采用例：采用MATLAB分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的Bo

39、de圖。圖。MATLAB程序：num=1;den1=1,0;den2=1,1;den=conv(den1,den2);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);w=logspace(-3,3,100);bode(openloop,closedloop,r,w);grid;顏色說明：openloop：藍(lán)色closedloop：紅色 11sssG 1112sssGsGs.例：采用例：采用MATLAB分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的Nyquist圖。圖。MATL

40、AB程序：num=1;T1=1;T2=0.5;den1=1,0;den2=T1,1;den3=T2,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);w=0,logspace(-2,2,500);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);quotient=openloop/(1+openloop);%比值nyquist(openloop,closedloop,r+, quotient,k.,w);axis(-2 2 -2 2); 15 . 011ssssG 15 . 15 . 01123ssssGsGs.MATLA

41、B程序：num=3;den1=1,0;den2=0.05,1;den3=0.2,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);w=0,logspace(-2,2,100);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);figure(1);nyquist(openloop,closedloop,r,w);axis(-1.5 1.5 -1.5 1.5);grid;figure(2);bode(openloop,closedloop,r,w);grid; 12 . 0105. 03ssssG例：采用例：采用MATLAB分

42、別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的頻率特性和閉環(huán)頻率特性的Nyquist圖和圖和Bode圖。圖。.定性討論：定性討論：對于一般的實(shí)用系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性對于一般的實(shí)用系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性G(j )具有低通濾波的性質(zhì)，即有具有低通濾波的性質(zhì)，即有（1）在低頻段，一般有）在低頻段，一般有|G(j )|1，即，即L( )0（假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)（假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)v1，低頻段斜率，低頻段斜率-20dB/dec），故閉環(huán)頻率特性可近似為），故閉環(huán)頻率特性可近似為1)(1)()(jGjGj此式說明，在低頻段，閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性近似等于此式說明，在低頻段，閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性近似等于1，即輸出信號與輸入，即輸出信號與輸入信號近似相等，即輸出信號可以復(fù)現(xiàn)輸入信號。信號近似相等，即輸出信號可以復(fù)現(xiàn)輸入信號。（2）在高頻段，一般有）在高頻段，一般有|G(j )|1，即，即L( )0，故閉環(huán)頻率特性可近似為，故閉環(huán)頻率特性可近似為)()(1)()(jGjGjGj( )20lg()0Lj此式說明，在高頻段，閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性與開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性近