第二章誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理

1、11:211第二章第二章 誤差及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理誤差及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理2.1 誤差的基本概念誤差的基本概念2.2 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布2.3 有限測定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理有限測定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理2.4 提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法2.5 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則11:212準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度: 1、測定值與真值接近的程度測定值與真值接近的程度; 2、準(zhǔn)確度高低常用誤差大準(zhǔn)確度高低常用誤差大小表示小表示,誤差小，準(zhǔn)確度高。誤差小，準(zhǔn)確度高。2.1 定量分析化學(xué)中的誤差定量分析化學(xué)中的誤差一、準(zhǔn)確度與誤差一、準(zhǔn)確度與誤差11:213%100rTTxEi誤差誤差：

2、測定值測定值 xi 與真實(shí)值與真實(shí)值 T 之差。之差。 相對誤差相對誤差 (Relative Error)：絕對誤差絕對誤差 (Absolute Error)： Ea = xiT11:214例題：例題：分析天平稱量兩物體的質(zhì)量各為1.6380 g 和0.1637g，假定兩者的真實(shí)質(zhì)量分別為1.6381 g 和0.1638 g，計(jì)算其誤差？解：解： E1=(1.63801.6381) = 0.0001 g E2=(0.16370.1638) = 0.0001 g%006. 0%1006381. 10001. 01Er%06. 0%1001638. 00001. 0r2E11:215討論討論:(1

3、) 誤差的大小是衡量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。誤差的大小是衡量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。(2) 誤差是有正負(fù)號之分。誤差是有正負(fù)號之分。(3) 實(shí)際工作中真值實(shí)際上是難以獲得。實(shí)際工作中真值實(shí)際上是難以獲得。 11:216真值v理論真值:理論組成,純物質(zhì)中元素的理論含量v計(jì)量學(xué)約定真值:長度,質(zhì)量,物質(zhì)的量單位v相對真值:標(biāo)準(zhǔn)試樣,標(biāo)準(zhǔn)參考物質(zhì)11:217精密度的大小常用偏差表示。精密度的大小常用偏差表示。 1、精密度：、精密度： 一組平行測定值之間相互接近的程度一組平行測定值之間相互接近的程度.二、精密度與偏差二、精密度與偏差11:218xxdii%100 xxxdir2、偏差、偏差(Deviation)：

4、x相對偏差相對偏差 dr：絕對偏差在平均值中所占的百分率。絕對偏差在平均值中所占的百分率。絕對偏差絕對偏差 di：測定結(jié)果測定結(jié)果(xi)與平均值與平均值( )之差。之差。(有正負(fù)號之分有正負(fù)號之分)11:219 各絕對偏差值絕對值的算術(shù)平均值，又稱算術(shù)平各絕對偏差值絕對值的算術(shù)平均值，又稱算術(shù)平均偏差（均偏差（Average Deviation）。niniiixxndnd1111%100 xddr平均偏差：平均偏差：相對平均偏差：相對平均偏差：(無正負(fù)號之分無正負(fù)號之分)11:2110例題：測定某銅合金中銅的質(zhì)量分?jǐn)?shù)例題：測定某銅合金中銅的質(zhì)量分?jǐn)?shù)()，結(jié)果如下：，結(jié)果如下：10.3、9.8

5、、9.6、10.2、10.1、10.4、10.0、9.7、10.2、9.710.0、10.1、9.3、10.2、9.9、9.8、10.5、9.8、10.3、9.9解：解：00.101x98. 92x24. 01d24. 02d28. 01s33. 02s11:21112-11 基本概念基本概念 1. 總體：考察對象的全體總體：考察對象的全體2. 樣本：從總體中隨機(jī)抽取的一組測量值樣本：從總體中隨機(jī)抽取的一組測量值3. 樣本容量：樣本所含的測量值的數(shù)目樣本容量：樣本所含的測量值的數(shù)目(n)4. 總體平均值總體平均值： 1 當(dāng)當(dāng)n ，=lim x n _ 當(dāng)當(dāng)x=，=T(真值真值)11:2112v

6、極差R=xmax-xminv中位數(shù)xmv數(shù)據(jù)排列由小到大，奇數(shù)時(shí)中間的數(shù)，偶數(shù)時(shí)中間兩數(shù)的平均值11:2113v數(shù)據(jù)有分散性與集中性v分散性：偏差與極差v集中性：平均值與中位數(shù)11:21143、標(biāo)準(zhǔn)偏差（、標(biāo)準(zhǔn)偏差（Standard Deviation）總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差()：nxni12)(112-)(nxxsnii (n-1) 表示表示 n 個(gè)測定值中具有獨(dú)立偏差的數(shù)目，又稱為自由度。個(gè)測定值中具有獨(dú)立偏差的數(shù)目，又稱為自由度。樣本標(biāo)準(zhǔn)樣本標(biāo)準(zhǔn)偏偏差差( s )：11:2115相對標(biāo)準(zhǔn)偏差相對標(biāo)準(zhǔn)偏差( sr ) :又稱為變異系數(shù)又稱為變異系數(shù) CV (coefficient of

7、variation)%100 xssr11:2116s平平 的相對值（的相對值（s平平/s）0.00.20.40.60.81.0 1 5 10 15 20 n4、平均值平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差nxnssx增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差的影響，提高測定的精密度增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差的影響，提高測定的精密度11:2117三、三、 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件； 精密度高不一定準(zhǔn)確度高；精密度高不一定準(zhǔn)確度高；兩者的差別主要是由于系統(tǒng)誤差的存在。兩者的差別主要是由于系統(tǒng)誤差的存在。精密度精密度 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度 好好 好好差差 差

8、差很差很差 偶然性偶然性 好好 稍差稍差11:2118四、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差四、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差11:2119（1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是定量分析誤差的主要來源。是由系統(tǒng)誤差是定量分析誤差的主要來源。是由某些固定的原因引起的某些固定的原因引起的重現(xiàn)性：同一條件下的重復(fù)測定中，結(jié)果重復(fù)出現(xiàn)；重現(xiàn)性：同一條件下的重復(fù)測定中，結(jié)果重復(fù)出現(xiàn)；單向性：測定結(jié)果系統(tǒng)偏高或偏低；對測定結(jié)果影單向性：測定結(jié)果系統(tǒng)偏高或偏低；對測定結(jié)果影 響固定。響固定。可測性：其大小可以測定，可對結(jié)果進(jìn)行校正可測性：其大小可以測定，可對結(jié)果進(jìn)行校正。性質(zhì)：性質(zhì)：11:2120產(chǎn)生的原因：產(chǎn)生的原因：（2）試劑誤差試劑

9、誤差（Reagent Error)：試劑或蒸餾水純度不夠。（1）方法誤差（方法誤差（Method Error）：如反應(yīng)不完全，干擾成分 的影響，指示劑選擇不當(dāng)?shù)?。?） 儀器誤差（儀器誤差（Instrumental Error）：如容量器皿刻度不 準(zhǔn)又未經(jīng)校正，電子儀器“噪聲”過大等造成；（4）操作誤差（操作誤差（Personal Errors）：）：如觀察顏色偏深或偏淺， 第二次讀數(shù)總是想與第一次重復(fù)等造成。11:2121系統(tǒng)誤差的校正方法：系統(tǒng)誤差的校正方法：標(biāo)準(zhǔn)方法、提純試劑、校正儀器。標(biāo)準(zhǔn)方法、提純試劑、校正儀器。對照試驗(yàn)、空白試驗(yàn)、使用校正值對照試驗(yàn)、空白試驗(yàn)、使用校正值。11:21

10、22（二）隨機(jī)誤差（二）隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因：產(chǎn)生的原因： 由一些無法控制的不確定因素引起的。由一些無法控制的不確定因素引起的。1、如環(huán)境溫度、濕度、電壓、污染情況等變化引、如環(huán)境溫度、濕度、電壓、污染情況等變化引 起樣品質(zhì)量、組成、儀器性能等的微小變化；起樣品質(zhì)量、組成、儀器性能等的微小變化；2、操作人員實(shí)驗(yàn)過程中操作上的微小差別；、操作人員實(shí)驗(yàn)過程中操作上的微小差別；3、其他不確定因素等所造成。、其他不確定因素等所造成。11:2123減免方法：減免方法： 無法消除。通過增加平行測定次數(shù)無法消除。通過增加平行測定次數(shù), 取取平均值報(bào)告結(jié)果，可以降低隨機(jī)誤差。平均值報(bào)告結(jié)果，可以降低隨機(jī)誤差。1

11、1:2124三、過失誤差三、過失誤差:認(rèn)真操作，可以完全避免。認(rèn)真操作，可以完全避免。重做！重做！11:21252022-5-22頻率分布頻率分布v為了研究測量數(shù)據(jù)分布的規(guī)律性，按如下步驟編制頻數(shù)分布表和繪制出頻數(shù)分布直方圖，以便進(jìn)行考察。v1. 算出極差算出極差v Rv2. 確定組數(shù)和組距確定組數(shù)和組距v組數(shù)組數(shù)視樣本容量而定。2.2:2.2:測量值與隨機(jī)誤差的正態(tài)分布測量值與隨機(jī)誤差的正態(tài)分布 11:2126隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布一、頻率分布一、頻率分布 w(BaCl22H2O)： n =173， 98.9 100.2%， 極差極差(R)=100.2 98.9 = 1.3(%

12、) 組距組距(x) =1.3/14 = 0.1 (%) 分分14組。組。事例：測定某試劑中事例：測定某試劑中BaCl22H2O的含量。的含量。11:21272022-5-22組距組距:極差除以組數(shù)即得組距，此例組距為： 每組數(shù)據(jù)相差0.1，如98.999.0, 99.099.1 。 為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)分在兩個(gè)組內(nèi)，將組界數(shù)據(jù)的精度定提高一位， 即98.8598.95, 98.9599.05 。 頻頻 數(shù)數(shù): :落在每個(gè)組內(nèi)測定值的數(shù)目。 相對頻數(shù)相對頻數(shù): :頻數(shù)與樣本容量總數(shù)之比。3. 統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和計(jì)算相對頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和計(jì)算相對頻數(shù)11:2128組號組號分分 組組頻數(shù)頻數(shù)ni 頻率頻率 ni/n

13、頻率密度頻率密度(ni/ns) 198.85 98.9510.0060.06298.95 99.0520.0120.12399.05 99.1520.0120.12499.15 99.2550.0290.29599.25 99.3590.0520.52699.35 99.45210.1211.21799.45 99.55300.1731.73899.55 99.65500.2892.89999.65 99.75260.1501.501099.75 99.85150.0870.871199.85 99.9580.0460.461299.95 100.0520.0120.1213100.05 10

14、0.1510.0060.0614100.15 100.2510.0060.06合計(jì)合計(jì)1731.001 頻數(shù)分布表頻數(shù)分布表11:212998.899.099.299.499.699.8100.0100.20.00.51.01.52.02.53.0頻 率 密 度測 定 值頻率密度直方圖頻率密度直方圖11:2130 頻率密度直方圖和頻率密度多邊形頻率密度直方圖和頻率密度多邊形00.511.522.533.598.8598.9599.0599.1599.2599.3599.4599.5599.6599.7599.8599.95100.05100.1587%(99.6%0.3)測量值（%）頻率密度1

15、1:21312-31頻數(shù)分布表頻數(shù)分布表 1.2651.295 1 0.01 1.2951.325 4 0.04 1.3251.355 7 0.07 1.3551.385 17 0.17 1.3851.415 24 0.24 1.4151.445 24 0.24 1.4451.475 15 0.15 1.4751.505 6 0.06 1.5051.535 1 0.01 1.5351.565 1 0.01 100 1 規(guī)律：規(guī)律：測量數(shù)據(jù)既分散又集中測量數(shù)據(jù)既分散又集中11:2132測量數(shù)據(jù)有明顯的集中趨勢測量數(shù)據(jù)有明顯的集中趨勢這種既分散又集中的特性，就這種既分散又集中的特性，就是其規(guī)律性是

16、其規(guī)律性11:2133v隨機(jī)事件隨機(jī)事件以統(tǒng)計(jì)形式表現(xiàn)的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。v偶然誤差偶然誤差對測定結(jié)果的影響是否服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律？11:21342-34.頻率和概率頻率和概率(Frequency and probability)1. 頻率頻率(frequency): 如果如果n次測量中隨機(jī)事件次測量中隨機(jī)事件A出現(xiàn)了出現(xiàn)了 nA次，則稱次，則稱 F(A)= nA/n2. 概率概率(probability)：隨機(jī)事件：隨機(jī)事件A的概率的概率P(A)表表示事件示事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小當(dāng)當(dāng)n無限大時(shí)，頻率的極限為概率：無限大時(shí)，頻率的極限為概率：limF(A)=P(A) (0P(A)1

17、)P的可加性的可加性 P(A1+A2+A3+.An)=111:21352-352. 概率密度概率密度 (當(dāng)數(shù)據(jù)非常多，分得非常細(xì)時(shí)當(dāng)數(shù)據(jù)非常多，分得非常細(xì)時(shí)) n，折線變?yōu)槠交€，折線變?yōu)槠交€正態(tài)分布曲線縱正態(tài)分布曲線縱坐標(biāo)由相對頻率坐標(biāo)由相對頻率概率密度概率密度 P dpP 定義：定義：lim = = f(x) X dx11:21362-363.正態(tài)分布正態(tài)分布 (Normal Distribution Curve)通過對測量值分布的抽象與概括，得到正通過對測量值分布的抽象與概括，得到正態(tài)分布的數(shù)學(xué)模型：正態(tài)分布密度函數(shù)態(tài)分布的數(shù)學(xué)模型：正態(tài)分布密度函數(shù) 以以X= 為對稱軸，當(dāng)為對稱軸

18、，當(dāng)X= 時(shí)，時(shí)，f(x)最大概率最大概率密度密度(說明測量值落在說明測量值落在的領(lǐng)域內(nèi)的概率的領(lǐng)域內(nèi)的概率)最大最大. 決定曲線橫軸的位置決定曲線橫軸的位置. 22212xPfxe11:2137 y: 概率密度概率密度 x: 測量值測量值 : 總體平均值總體平均值 x-: 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 : 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 (0.607h處半峰寬處半峰寬)222)(21)(xexfy二、正態(tài)分布曲線二、正態(tài)分布曲線11:21382022-5-22正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線N( , 2)v正態(tài)分布曲線呈鐘形正態(tài)分布曲線呈鐘形對稱，兩頭小，中間對稱，兩頭小，中間大。大。v分布曲線有最高點(diǎn)，分布曲線有最

19、高點(diǎn)，通常就是總體平均值通常就是總體平均值 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。v分布曲線以分布曲線以 值的橫坐值的橫坐標(biāo)為中心，標(biāo)為中心， 和和 是正是正態(tài)分布的兩個(gè)基本參態(tài)分布的兩個(gè)基本參數(shù)，這種曲線用數(shù)，這種曲線用N( , 2)表示。表示。11:2139正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線 N (,2 )特點(diǎn)特點(diǎn):1. 極大值在極大值在x=處處.2. 拐點(diǎn)在拐點(diǎn)在x=處處.3. 于于x=對稱對稱.4. x軸為漸近線軸為漸近線.5. 21)(xy11:21402-401 2(相同，相同，1不等于不等于2)圖圖23相同而相同而不同時(shí)曲線形態(tài)不同時(shí)曲線形態(tài)11:21412-41 2大大 大大1(相同相同, 2 1 2 1 (

20、0) x(x- )說明：說明：愈愈大大，x落在落在附近的概附近的概率愈小率愈小,精密度精密度差，差，愈愈小小，x落落在在附近的概率附近的概率愈大，精密度愈大，精密度好好圖圖25 精密度不同時(shí)測定值分布形態(tài)精密度不同時(shí)測定值分布形態(tài)11:21432022-5-221. 測定值正態(tài)分布規(guī)律測定值正態(tài)分布規(guī)律 1) 測量值分布的集中趨勢測量值分布的集中趨勢() x =時(shí)，y值最大，此即分布曲線的最高點(diǎn)。 大多數(shù)測量值集中在算術(shù)平均值的附近大多數(shù)測量值集中在算術(shù)平均值的附近，或者說算術(shù)平均值是最可信賴值或最佳值算術(shù)平均值是最可信賴值或最佳值。 它能很好地反映測定的集中趨勢。 x=時(shí)的概率密度 乘以dx

21、就是測量值落在dx范圍內(nèi)的概率。 越小，y越大，測量值分布越集中。 越大，y越小，測量值分布越分散。21y 2) 測量值分布的分散趨勢測量值分布的分散趨勢()11:21442022-5-22 3)絕對值相同的正誤差和負(fù)絕對值相同的正誤差和負(fù)誤差的測定值出現(xiàn)的概率相誤差的測定值出現(xiàn)的概率相等等 正態(tài)分布曲線以 x= 這一直線為其對稱軸。 這是因?yàn)楫?dāng)x趨向于-或+時(shí)，曲線以x軸為漸近線。11:2145xu221:( )2uyue 即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線令：令：2221)(uexfydxdu1duuduedxxfu)(21)(2211:2146橫坐標(biāo)：偶然誤差的值，縱坐標(biāo)：誤差出現(xiàn)的概率

22、大小。2221)(ueu11:21472022-5-222. 概率概率(possibility) 無論和值為多少，曲線和橫坐標(biāo)之間的總面積為1。 即各種偏差的測定值出現(xiàn)的概率總和為1。 測定值落在區(qū)間(a, b)的概率為曲線與a, b間所夾面積。121)(222)(dxexPx11:21482-484.3.5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布: =0，2=1的正態(tài)分布，以符號的正態(tài)分布，以符號N(0.1)表示表示 若測量值誤差若測量值誤差u以標(biāo)準(zhǔn)偏差以標(biāo)準(zhǔn)偏差為單位，改橫為單位，改橫坐標(biāo)為坐標(biāo)為因?yàn)橐驗(yàn)閤-=u ，dx=du 所以所以 2212 u /Pf uexx11:21492-49x圖圖26 標(biāo)

23、準(zhǔn)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(u分布曲線分布曲線)11:2150三、隨機(jī)誤差的區(qū)間概率三、隨機(jī)誤差的區(qū)間概率121)(2)(2dueduuPuu11:2151曲線下面積曲線下面積-3 2 1 0 1 2 3 Y0.20 xu22011,0.3412uuduSeuS當(dāng)時(shí)| u |S2S0.6740.25001.0000.34130.6831.6450.45001.9600.47500.9502.0000.47732.5760.49870.9903.0000.49870.9970.5001.000正態(tài)分布概率積分表正態(tài)分布概率積分表11:21522022-5-22隨機(jī)誤差的區(qū)間概率隨機(jī)誤差的區(qū)間

24、概率v分析結(jié)果分析結(jié)果(個(gè)別測量值）落在此范個(gè)別測量值）落在此范圍的概率圍的概率v若若u = 1 vx = u P=20.3413 = 68.3%v若若u = 2vx = u P=20.4773 = 95.5%v若若u = 3vx = u P=20.4987 = 99.7%xu11:2153對稱性、單峰性、有界性對稱性、單峰性、有界性00.10.20.30.4-4-3-2-10123468.3%95.5%99.7%u -3 -2 - 0 2 3 x- -3 -2 - + +2 +3 x y11:21542-54 f(x)dx=1 ：總體中所有測量值出現(xiàn)的總概率為：總體中所有測量值出現(xiàn)的總概率為

25、1f(u)du=1： 各種大小隨機(jī)誤差出現(xiàn)的總概率為各種大小隨機(jī)誤差出現(xiàn)的總概率為1 顯然顯然: 隨機(jī)變量在區(qū)間隨機(jī)變量在區(qū)間a,b上出現(xiàn)的概率等上出現(xiàn)的概率等于曲線與橫軸在該區(qū)間所圍的面積，對應(yīng)的積分于曲線與橫軸在該區(qū)間所圍的面積，對應(yīng)的積分為為1 1baP a,bf u du 2.3.6. 2.3.6. 隨機(jī)誤差的區(qū)間概率隨機(jī)誤差的區(qū)間概率概率面積概率面積 dueuu 02/22111:21552-55正態(tài)分布概率積分表正態(tài)分布概率積分表(|u|=|x-|/)0.0 0.0000 1.0 0.3413 2.0 0.47730.1 0.0398 1.1 0.3643 2.1 0.48210.

26、2 0.0793 1.2 0.3849 2.2 0.48610.3 0.1179 1.3 0.4032 2.3 0.48930.4 0.1554 1.4 0.4192 2.4 0.49180.5 0.1915 1.5 0.4332 2.5 0.49380.6 0.2258 1.6 0.4452 2.6 0.49530.7 0.2580 1.7 0.4554 2.7 0.49650.8 0.2881 1.8 0.4641 2.8 0.49740.9 0.3159 1.9 0.4713 3.0 0.4987 11:2156隨機(jī)誤差的規(guī)律隨機(jī)誤差的規(guī)律:(2) 正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。正、負(fù)誤差出

27、現(xiàn)的概率相等。(1) 小誤差出現(xiàn)的概率大小誤差出現(xiàn)的概率大, 大誤差出現(xiàn)的概率小大誤差出現(xiàn)的概率小, 特大誤差概率極小特大誤差概率極小;對稱性、單峰性、有界性對稱性、單峰性、有界性11:21572-57例例4已知某試樣中已知某試樣中Co%的標(biāo)準(zhǔn)值為的標(biāo)準(zhǔn)值為=1.75%，= 0.10%，若無系統(tǒng)誤差存在，試，若無系統(tǒng)誤差存在，試求：分析結(jié)果落在求：分析結(jié)果落在1.75 0.15%范圍內(nèi)的概范圍內(nèi)的概率率解解|X-| |X-1.75%| 0.15%|u|= = = =1.5 0.10% 0.10%查表得概率為查表得概率為20.4332=86.6%（雙邊）（雙邊）11:21582-58例例5上例上

28、例求分析結(jié)果大于求分析結(jié)果大于2.00%的概率的概率? (大于大于2.00% 屬于單邊檢驗(yàn)問題）屬于單邊檢驗(yàn)問題）解解|x-| |2.00%-1.75%| 0.25%|u|= = = =2.5 0.10% 0.10%查表得陰影部分的概率為查表得陰影部分的概率為0.4938，整個(gè)正態(tài)，整個(gè)正態(tài)分布曲線右側(cè)的概率為分布曲線右側(cè)的概率為1/2，即，即0.5000. 故陰影部故陰影部分以外的概率為分以外的概率為0.5000-0.4938=0.62% 即分析結(jié)果大于即分析結(jié)果大于2.00%的概率僅為的概率僅為0.62%11:2159例題：測得某鋼樣中磷的百分含量為例題：測得某鋼樣中磷的百分含量為0.09

29、9，已知，已知0.002，問測定值落在區(qū)間，問測定值落在區(qū)間0.0950.103的概率的概率是多少？（無系統(tǒng)誤差）是多少？（無系統(tǒng)誤差）解：解：2002. 0099. 0103. 01u2002. 0099. 0095. 02u查表P 88，得|u|0.4773P20.47730.95511:21602022-5-22隨機(jī)誤差的區(qū)間概率隨機(jī)誤差的區(qū)間概率 從以上的概率的計(jì)算結(jié)果看， 1）分析結(jié)果落在 3 范圍內(nèi)的概率達(dá)范圍內(nèi)的概率達(dá)99.7%，即誤差超過3的分析結(jié)果是很少的，只占全部分析結(jié)果的0.3%。 2）在多次重復(fù)測定中，出現(xiàn)特別大誤差的概率是很小的，平均1000次中只有3次機(jī)會。 3）一

30、般分析化學(xué)測定次數(shù)只有幾次，出現(xiàn)大于3的誤差是不可能的。11:21612.3 有限測定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理有限測定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理目的：目的：通過對隨機(jī)樣本的有限次數(shù)的測定， 推測有關(guān)總體的情況總體總體樣本樣本數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)抽樣抽樣觀測觀測統(tǒng)計(jì)處理統(tǒng)計(jì)處理11:2162一、一、t 分布曲線分布曲線 t 分布曲線反映了有限次測定數(shù)分布曲線反映了有限次測定數(shù)據(jù)及其誤差的分布規(guī)律。據(jù)及其誤差的分布規(guī)律。 縱坐標(biāo)概率密度縱坐標(biāo)概率密度 橫坐標(biāo)統(tǒng)計(jì)量橫坐標(biāo)統(tǒng)計(jì)量t值值 隨自由度隨自由度 f ( f =n-1)而變，當(dāng)而變，當(dāng) f 20時(shí)，與正態(tài)分布曲時(shí)，與正態(tài)分布曲線很近似，當(dāng)線很近似，當(dāng) f時(shí)，二者一致。時(shí)，二者一

31、致。 sxt11:2163不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 正態(tài)分布：正態(tài)分布：u 一定，相應(yīng)的概率一定。一定，相應(yīng)的概率一定。 t 分布：分布：t 一定，相應(yīng)的概率并不一定，還與自由度有關(guān)。一定，相應(yīng)的概率并不一定，還與自由度有關(guān)。正態(tài)分布與正態(tài)分布與t 分布：分布：相同點(diǎn)相同點(diǎn) ： 隨機(jī)誤差在某區(qū)間的概率，就是隨機(jī)誤差在某區(qū)間的概率，就是分布曲線下這一區(qū)間的積分面積。分布曲線下這一區(qū)間的積分面積。11:2164t 值表值表置 信 度測定次數(shù)90%95%99%26.31412.70663.65732.9204.3039.92542.3533,1825.84152.1322.7764.60462.0152.5

32、714.03271.9432.4473.70781.8952.3653,50091.8602.3063.355101.8332.2623.250111.8122.2283.169211.7252.0862.8461.6451.9602.576一般選P0.90，0.9511:2165二、平均值二、平均值的的置信區(qū)間置信區(qū)間置信度置信度 ： 在某一定范圍內(nèi)測定值或誤差出現(xiàn)的概率在某一定范圍內(nèi)測定值或誤差出現(xiàn)的概率 。 置信區(qū)間置信區(qū)間 ： 在一定的置信度下，以測定結(jié)果為中心，估在一定的置信度下，以測定結(jié)果為中心，估計(jì)總體平均值的取值范圍計(jì)總體平均值的取值范圍, 稱置信區(qū)間稱置信區(qū)間. 11:216

33、61、已知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差、已知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)時(shí)ux測定值出現(xiàn)在該區(qū)間的概率由測定值出現(xiàn)在該區(qū)間的概率由u決定決定ux由單次測定值來估計(jì)由單次測定值來估計(jì)可能存在的范圍?？赡艽嬖诘姆秶?。xux以平均值來估計(jì)以平均值來估計(jì)可能存在的范圍?？赡艽嬖诘姆秶?。11:2167例題：用標(biāo)準(zhǔn)方法測定鋼樣中磷的含量，測定例題：用標(biāo)準(zhǔn)方法測定鋼樣中磷的含量，測定4次，次，平均值為平均值為0.087，且，且 = 0.002。求該。求該鋼樣中磷鋼樣中磷含量的置信區(qū)間（含量的置信區(qū)間（P = 0.95）解：解： P = 0.95，u=1.96)%002. 0087. 0(4002. 096. 1087. 0置信區(qū)間：置信

34、區(qū)間：0.0850.08911:21682、已知樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差、已知樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s時(shí)時(shí)xfPstx,sxtfP,t 分布：分布：置信區(qū)間：置信區(qū)間：tsxfP,11:2169例題：測定例題：測定 SiO2 的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。測了的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。測了6次平均值為次平均值為28.56%、標(biāo)準(zhǔn)偏差為、標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.06%，置信度分別為，置信度分別為90%和和95%時(shí)平均值的置信區(qū)間。時(shí)平均值的置信區(qū)間。 )%05. 056.28(606. 0015. 256.28t 0.95，5= 2.571)%06. 056.28(606. 0571. 256.28置信度置信度，置信區(qū)間，置信區(qū)間。解：解： t0.90，5

35、= 2.01511:2170：022. 0s例題：測定鋼中含鉻量時(shí)，先測定兩次，測得的例題：測定鋼中含鉻量時(shí)，先測定兩次，測得的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為質(zhì)量分?jǐn)?shù)為1.12%和和1.15%；再測定三次；再測定三次, 測得的測得的數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為1.11%, 1.16%和和1.12%。計(jì)算兩次和五次。計(jì)算兩次和五次平均值的置信區(qū)間（平均值的置信區(qū)間（P = 95%） t0.95,1 = 12.71%14. 1x021. 0s)%19. 014. 1 (2021. 071.1214. 1CrWn = 2 時(shí)時(shí):解：解： n = 5 時(shí)時(shí)：t0.95,4 = 2.78%13. 1x)%03. 013. 1 (5022.

36、 078. 213. 1CrW11:2171 測定次數(shù)一定時(shí)，置信度測定次數(shù)一定時(shí)，置信度，置信區(qū)間，置信區(qū)間，其區(qū)間包括真，其區(qū)間包括真值的可能性值的可能性，一般將置信度定為，一般將置信度定為95%或或90%。置信度一定時(shí)，測定次數(shù)置信度一定時(shí)，測定次數(shù) ，置信區(qū)間顯著，置信區(qū)間顯著，即可使測，即可使測定的平均值與總體平均值定的平均值與總體平均值接近。接近。 置信區(qū)間的寬窄與置信度、測定值的精密度置信區(qū)間的寬窄與置信度、測定值的精密度和測定次數(shù)有關(guān)和測定次數(shù)有關(guān) 。 區(qū)間的大小反應(yīng)了估計(jì)的準(zhǔn)確程度，而區(qū)間的大小反應(yīng)了估計(jì)的準(zhǔn)確程度，而置信度的高低說明了估計(jì)的把握程度。置信度的高低說明了估計(jì)的

37、把握程度。11:21721、平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較、平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較(t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法)是對分析結(jié)果或分析方法的準(zhǔn)確度作出評價(jià)。是對分析結(jié)果或分析方法的準(zhǔn)確度作出評價(jià)。nsTxt若若 t計(jì)算計(jì)算 t表表 ，則與已知值有顯著差別，則與已知值有顯著差別(存在系統(tǒng)誤差存在系統(tǒng)誤差)。若若 t計(jì)算計(jì)算 t表表，正常差異（偶然誤差引起的）。，正常差異（偶然誤差引起的）。三、顯著性檢驗(yàn)三、顯著性檢驗(yàn)11:2173例題：例題：用一種新方法來測定含量為用一種新方法來測定含量為11.70 mg/kg的標(biāo)準(zhǔn)試樣中的標(biāo)準(zhǔn)試樣中銅含量，五次測定結(jié)果為：銅含量，五次測定結(jié)果為：10.9, 11.8, 10.9, 10.

38、3, 10.0 判斷判斷該方法是否可行？（是否存在系統(tǒng)誤差）。該方法是否可行？（是否存在系統(tǒng)誤差）。 解：計(jì)算平均值解：計(jì)算平均值 = 10.78，標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)準(zhǔn)偏差 S = 0.69t計(jì)算計(jì)算 t 0.95 , 4 = 2.78，說明該方法存在系統(tǒng)誤差，結(jié)果偏低。，說明該方法存在系統(tǒng)誤差，結(jié)果偏低。98. 2569. 070.1178.10nsTxt。11:21742、F 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 (方差比檢驗(yàn)方差比檢驗(yàn))：22小小大大SSF 若若 F F表表，兩組數(shù)據(jù)精密度存在顯著性差異，不是來自，兩組數(shù)據(jù)精密度存在顯著性差異，不是來自同一個(gè)總體。同一個(gè)總體。單邊檢驗(yàn)：一組數(shù)據(jù)的方差只能大于、等于但不

39、能小于另一單邊檢驗(yàn)：一組數(shù)據(jù)的方差只能大于、等于但不能小于另一 組數(shù)據(jù)的方差。組數(shù)據(jù)的方差。雙邊檢驗(yàn)：一組數(shù)據(jù)的方差可能大于、等于或小于另一組數(shù)雙邊檢驗(yàn)：一組數(shù)據(jù)的方差可能大于、等于或小于另一組數(shù) 據(jù)的方差。據(jù)的方差。11:2175置信度置信度95%時(shí)時(shí) F 值值fs大大：方差大的數(shù)據(jù)的自由度；：方差大的數(shù)據(jù)的自由度；fs小小：方差小的數(shù)據(jù)的自由度。：方差小的數(shù)據(jù)的自由度。11:2176例題例題：甲、乙二人對同一試樣進(jìn)行測定，得兩組測定值：甲、乙二人對同一試樣進(jìn)行測定，得兩組測定值： （甲）（甲）1.26, 1.25, 1.22（乙）（乙）1.35, 1.31, 1.33, 1.34 問兩種方

40、法精密度是否有無顯著性差異？問兩種方法精密度是否有無顯著性差異？241.甲甲x解：解：n甲甲 = 3S甲 = 0.021n乙乙 = 4331.乙乙xS乙 = 0.01753. 1)017. 0()021. 0(2222小大SSF 查表，查表，F(xiàn) 值為值為 9.55，說明兩組的方差無顯著性差異。，說明兩組的方差無顯著性差異。11:21773、兩組數(shù)據(jù)平均值之間的比較、兩組數(shù)據(jù)平均值之間的比較適用于：適用于： 對兩個(gè)分析人員測定相同試樣所得結(jié)果進(jìn)行評價(jià)；對兩個(gè)分析人員測定相同試樣所得結(jié)果進(jìn)行評價(jià)； 對兩個(gè)單位測定相同試樣所得結(jié)果進(jìn)行評價(jià)；對兩個(gè)單位測定相同試樣所得結(jié)果進(jìn)行評價(jià)； 對兩種方法進(jìn)行比較

41、，即是否有系統(tǒng)誤差存在；對兩種方法進(jìn)行比較，即是否有系統(tǒng)誤差存在；前提：前提： 兩個(gè)平均值的精密度沒有大的差別。兩個(gè)平均值的精密度沒有大的差別。（F 檢驗(yàn)法；檢驗(yàn)法； t 檢驗(yàn)法）檢驗(yàn)法）11:2178212121nnnnSxxt合合2) 1() 1(21222211nnSnSnS合t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法：若若 t t表表 ，則與已知值有顯著差別，則與已知值有顯著差別(存在系統(tǒng)誤差存在系統(tǒng)誤差)。若若 t t表表，正常差異（偶然誤差引起的）。，正常差異（偶然誤差引起的）。11:2179例題例題：甲、乙二人對同一試樣進(jìn)行測定，得兩組測定值：甲、乙二人對同一試樣進(jìn)行測定，得兩組測定值： （甲）（甲）1.

42、26, 1.25, 1.22（乙）（乙）1.35, 1.31, 1.33, 1.34 問兩種方法是否有無顯著性差異？問兩種方法是否有無顯著性差異？241.甲甲x解：解：n甲甲 = 3S甲 = 0.021n乙乙 = 4331.乙乙xS乙 = 0.017019. 0243)017. 0)(14()021. 0)(13(2) 1() 1(2221222211nnSnSnS合11:218009021.xx04. 04343019. 057. 2212121nnnnstxx0.09 0.04 = 0.05的值由系統(tǒng)誤差產(chǎn)生。的值由系統(tǒng)誤差產(chǎn)生。根據(jù)根據(jù) t 分布規(guī)律，偶然誤差允許最大值為：分布規(guī)律，偶然

43、誤差允許最大值為：f = 3 + 4 2 = 5，T0.95，5 = 2.57， 二人測定結(jié)果之間存二人測定結(jié)果之間存在顯著性差異。在顯著性差異。21. 64343019. 033. 124. 1212121nnnnsxxt合11:2181 四、可疑測定值的取舍四、可疑測定值的取舍 在測定的一組數(shù)據(jù)中，對個(gè)別偏離較大的測定數(shù)據(jù)在測定的一組數(shù)據(jù)中，對個(gè)別偏離較大的測定數(shù)據(jù)(稱為離群值稱為離群值) 是保留？還是棄去？是保留？還是棄去？ 離群值的存在對平均值、精密度會造成相當(dāng)大的影離群值的存在對平均值、精密度會造成相當(dāng)大的影響。如：響。如：0.001、0.002、0.009. 可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)

44、的取舍過失誤差的判斷過失誤差的判斷 11:21822-82)檢驗(yàn)步驟檢驗(yàn)步驟(1)去掉可疑值，求余下的值的平均值去掉可疑值，求余下的值的平均值X好好1. 4d法法：統(tǒng)計(jì)學(xué)證明：統(tǒng)計(jì)學(xué)證明與與之間的關(guān)系之間的關(guān)系 =0.8 少量數(shù)據(jù)時(shí)少量數(shù)據(jù)時(shí) _ _ d0.8 則則4=3，故故4d3超過超過 4d的測量值概率的測量值概率小于小于0.3% 要用要用4d法檢驗(yàn)時(shí)，需法檢驗(yàn)時(shí)，需n411:21832-83 _ _(3)計(jì)算：計(jì)算：|x 可疑可疑-x 好好|4d則舍去，否則保留則舍去，否則保留 _ _(4)若可以值可保留，則重算若可以值可保留，則重算 x 和和 d例例 測藥物中的測藥物中的Co(g/g

45、)結(jié)果為：結(jié)果為：1.25，1.27，1.31，1.40問：問：1.40是否為可疑值？是否為可疑值？ _ _解解去掉去掉1.40 求余下數(shù)據(jù)求余下數(shù)據(jù) X=1.28 d=0.023 _則：則：| x 可疑可疑-x 好好|=|1.40-1.28|=0.1240.023說明：說明：1.40為離群值應(yīng)舍去為離群值應(yīng)舍去11:21842、Q 值檢驗(yàn)法值檢驗(yàn)法 （1） 數(shù)據(jù)排列數(shù)據(jù)排列 x1 x2 xn （2） 計(jì)算計(jì)算：11211xxxxQxxxxQnnnn或 若若 Q Qx 舍棄該數(shù)據(jù)舍棄該數(shù)據(jù), （過失誤差造成）（過失誤差造成） 若若 Q Qx 保留該數(shù)據(jù)保留該數(shù)據(jù), （偶然誤差所致）（偶然誤差所

46、致）11:2185Q 值表值表測 定 次 數(shù)nQ0.90Q0.95Q0.993456789100.940.760.640.560.510.470.440.410.980.850.730.640.590.540.510.480.990.930.820.740.680.630.600.5711:2186（1）排序：）排序：x1,x2,x3,x4（2）求）求 和和標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 s（3）計(jì)算計(jì)算G值：值：3、Grubbs檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 （4） 若若G計(jì)算計(jì)算 G 表表，棄去可疑值，反之保留。，棄去可疑值，反之保留。 由于由于 Grubbs檢驗(yàn)法引入了平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，檢驗(yàn)法引入了平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，故

47、準(zhǔn)確性比故準(zhǔn)確性比Q 檢驗(yàn)法高。檢驗(yàn)法高。sXXGsXXGn1計(jì)計(jì)算算計(jì)計(jì)算算或或X11:2187G (p，n)值表值表置 信 度n95%97.5%99%3456789101112131415201.151.461.671.821.942.032.112.182.232.292.332.372.412.561.151.481.711.892.022.132.212.292.362.412.462.512.552.711.151.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.712.8811:2188例題：例題：測定某藥物中測定某藥物中Co的含量（的含量

48、（10-4）得到結(jié)果如下：）得到結(jié)果如下： 1.25、1.27、1.31、1.40， 用用Grubbs檢驗(yàn)法和檢驗(yàn)法和 Q 值檢驗(yàn)值檢驗(yàn)法判斷法判斷 有無離群值。有無離群值。 查表，G0.95，4 = 1.46 G計(jì)算 ，故 1.40 應(yīng)保留。3610660311401.計(jì)算計(jì)算G 解：解：Grubbs檢驗(yàn)檢驗(yàn)法：法： = 1.31 ； s = 0.066x11:2189Q 值檢驗(yàn)法值檢驗(yàn)法：60025140131140111.xxxxQnnn計(jì)算計(jì)算 Q0.90，4 = 0.76 Q計(jì)算計(jì)算 Q0.90，4 故故 1.40 應(yīng)保留。應(yīng)保留。11:2190(1) Q值法不必計(jì)算值法不必計(jì)算 x

49、 及及 s，使用比較方便；使用比較方便；(2) Q值法在統(tǒng)計(jì)上有可能保留離群較遠(yuǎn)的值。值法在統(tǒng)計(jì)上有可能保留離群較遠(yuǎn)的值。 (3) Grubbs 法引入法引入 s 和和 ，判斷更準(zhǔn)確。，判斷更準(zhǔn)確。(4) 不能追求精密度而隨意丟棄數(shù)據(jù)；必須進(jìn)行檢不能追求精密度而隨意丟棄數(shù)據(jù)；必須進(jìn)行檢 驗(yàn)。驗(yàn)。討論：討論：x11:2191例題：三個(gè)測定值，例題：三個(gè)測定值，40.12, 40.16 和和 40.18 （P0.95）080154030310341540.ntsx(40.07 40.23)13017402014071121740.ntsx（40.04 40.30），變大。變大。若舍去 40.12：

50、不能刻意追求精密度而隨意丟棄數(shù)據(jù)。不能刻意追求精密度而隨意丟棄數(shù)據(jù)。11:21922.4 提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法一、選擇合適的分析方法一、選擇合適的分析方法 根據(jù)待測組分的含量、性質(zhì)、試樣的組成根據(jù)待測組分的含量、性質(zhì)、試樣的組成及對準(zhǔn)確度的要求選方法。及對準(zhǔn)確度的要求選方法。 消除系統(tǒng)誤差，減小隨機(jī)誤差，提高分析結(jié)消除系統(tǒng)誤差，減小隨機(jī)誤差，提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。果的準(zhǔn)確度。11:2193二、減小分析過程中的誤差二、減小分析過程中的誤差1、減小測定誤差、減小測定誤差 樣品的質(zhì)量，滴定的體積要與誤差要求相匹配。樣品的質(zhì)量，滴定的體積要與誤差要求相匹配。2、增加平行測定

51、次數(shù)，減小隨機(jī)誤差、增加平行測定次數(shù)，減小隨機(jī)誤差3、消除測定過程中的系統(tǒng)誤差、消除測定過程中的系統(tǒng)誤差11:2194對照試驗(yàn)：對照試驗(yàn)： 選擇一種標(biāo)準(zhǔn)方法與所用方法作對比或選擇與試樣組選擇一種標(biāo)準(zhǔn)方法與所用方法作對比或選擇與試樣組成接近的標(biāo)準(zhǔn)試樣作試驗(yàn)，找出校正值加以校正。成接近的標(biāo)準(zhǔn)試樣作試驗(yàn)，找出校正值加以校正。系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)：系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)：回收試驗(yàn)：回收試驗(yàn)： 在測定試樣某組分含量在測定試樣某組分含量(x1)的基礎(chǔ)上，加入已知量的基礎(chǔ)上，加入已知量(x2)的該組分，再次測定其組分含量的該組分，再次測定其組分含量(x3)。由回收試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)。由回收試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)計(jì)算出回收率。計(jì)算出回收率

52、。%100213xxx回回收收率率11:2195空白試驗(yàn)：空白試驗(yàn)： 指除了不加試樣外，其他試驗(yàn)步驟與試樣試驗(yàn)步指除了不加試樣外，其他試驗(yàn)步驟與試樣試驗(yàn)步驟完全一樣的實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果稱為空白值。驟完全一樣的實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果稱為空白值。校正的方法校正的方法系統(tǒng)誤差的消除：系統(tǒng)誤差的消除： 總之，選擇合適的分析方法；盡量減小測定誤差；適總之，選擇合適的分析方法；盡量減小測定誤差；適當(dāng)增加平行測定次數(shù)；消除或校正系統(tǒng)誤差；杜絕過失，就當(dāng)增加平行測定次數(shù)；消除或校正系統(tǒng)誤差；杜絕過失，就可以提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。可以提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。11:2196三、分析化學(xué)中的質(zhì)量保證三、分析化學(xué)中的質(zhì)量保證 和質(zhì)

53、量控制和質(zhì)量控制v質(zhì)量保證：是指為了保證產(chǎn)品、生產(chǎn)質(zhì)量保證：是指為了保證產(chǎn)品、生產(chǎn)(測定測定)過程及過程及服務(wù)符合質(zhì)量要求而采取的有計(jì)劃和系統(tǒng)的活動(dòng)。服務(wù)符合質(zhì)量要求而采取的有計(jì)劃和系統(tǒng)的活動(dòng)。合理的資源配備嚴(yán)格的過程控制科學(xué)的程序管理完善的組織機(jī)構(gòu)質(zhì)量保證11:2197v質(zhì)量控制：是指為了達(dá)到規(guī)范或規(guī)定的數(shù)據(jù)及質(zhì)質(zhì)量控制：是指為了達(dá)到規(guī)范或規(guī)定的數(shù)據(jù)及質(zhì)量要求而采取的作業(yè)技術(shù)和措施。量要求而采取的作業(yè)技術(shù)和措施。5101520測定次序測定次序統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量中心線中心線控制線控制線警告線警告線輔助線輔助線11:21982.5 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字 1 1、非測量值：、非測量值： 如：測定次數(shù)、倍數(shù)、系數(shù)、常數(shù)如：測定次數(shù)、倍數(shù)、系數(shù)、常數(shù)( () ) 、分?jǐn)?shù)等。、分?jǐn)?shù)等。 2 2、測量值或計(jì)算值：、測量值或計(jì)算值： 如：稱量質(zhì)量、滴定體積、吸光度讀數(shù)、計(jì)算含量等。如：稱量質(zhì)量、滴定體積、吸光度讀數(shù)、計(jì)算含量等。 有效數(shù)字是指在測定中所得到的