差分方程及matlab求解

1、1 一個半球狀雪堆，其體積融化的速率與半一個半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積球面面積S成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù)k 0。設(shè)融化中。設(shè)融化中雪堆始終保持半球狀，初始半徑為雪堆始終保持半球狀，初始半徑為R且且3小時小時中融化了總體積的中融化了總體積的7/8，問雪堆全部融化還需，問雪堆全部融化還需要多長時間？要多長時間？ 差分方程初步差分方程初步第一節(jié)第一節(jié) 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一、一、 差分的概念差分的概念定義1 設(shè)函數(shù)yt=f(t)在t=,-2,-1,0,1,2,處有定義,對應(yīng)的函數(shù)值為,y-2,y-1,y0,y1,y2,則函數(shù)yt=f(t)在時間t的一階差分定義為

2、Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)依此定義類推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),一階差分的性質(zhì) (1) 若yt=C(C為常數(shù)),則Dyt=0;(2) 對于任意常數(shù)k,D(kyt)=kDyt;(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt定義2 函數(shù)yt=f(t)在時刻t的二階差分定義為一階差分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt依此定義類推,有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-

3、2yt+2+yt+1,D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,類推,計算兩個相繼的二階差分之差,便得到三階差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, 一般地,k階差分(k為正整數(shù))定義為 這里 ), 3 , 2 , 1()1( )(01111= =- -= =D D- -D D= =D DD D= =D D = =- -+ +- -+ +- - -kyCyyyykiiktikitktktktk)!( !ikikCik- -= =二、

4、二、 差分方程差分方程定義3 含有未知函數(shù)yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,的函數(shù)方程,稱為常差分方程(簡稱差分方程);出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù),稱為差分方程的階. n階差分方程的一般形式為F(t,yt, Dyt, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt, Dnyt的已知函數(shù),且Dnyt一定要在方程中出現(xiàn) 定義3 含有兩個或兩個以上函數(shù)值yt,yt+1,的函數(shù)方程,稱為(常)差分方程,出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差,稱為差分方程的階 n階差分方程的一般形式為F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0, 其中F為t,yt,yt+1,，yt+n的已知函數(shù),且yt和y

5、t+n一定要在差分方程中出現(xiàn).三、三、 差分方程的解差分方程的解定義4 如果將已知函數(shù)yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使其對t=,-2,-1,0,1,2,成為恒等式,則稱yt=j(t)為方程的解.含有n個任意(獨立)常數(shù)C1,C2,Cn的解yt=j(t,C1,C2,Cn)稱為n階差分方程的通解.在通解中給任意常數(shù)C1,C2,Cn以確定的值所得的解,稱為n階差分方程的特解. 例如,函數(shù)yt=at+C(a為已知常數(shù),C為任意常數(shù))是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函數(shù)yt=at,yt=at-1,均是這個差分方程的特解. 由差分方程的通解來確定它的特解,需要給出確

6、定特解的定解條件.n階差分方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常見的定解條件為初始條件.y0=a0, y1=a1，,yn-1=an-1，這里a0,a1,a2,，an-1均為已知常數(shù) 只要保持差分方程中的時間滯后結(jié)構(gòu)不變,無論對t提前或推后一個相同的等間隔值,所得新方程與原方程是等價的,即二者有相同的解.例如,方程ayt+1-byt=0與方程ayt+2-byt+1=0都是相互等價的 四、四、 線性差分方程及其基本定理線性差分方程及其基本定理 形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t) 的差分方程,稱為n階非齊次線性差分方程

7、.其中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函數(shù),且an(t)0,f(t)0.而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的 差 分 方 程 , 稱 為 n 階 齊 次 線 性 差 分 方 程 . 其 中ai(t)(i=1,2,，n)為t的已知函數(shù),且an(t)0. 如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均為常數(shù)(an0),則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)， yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分別稱為n階常系數(shù)非齊次線性差分

8、方程和n階常系數(shù)齊次線性差分方程. 定理定理1(齊次線性差分方程解的疊加原理齊次線性差分方程解的疊加原理) 若y1(t),y2(t),ym(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的m個特解(m2),則其線性組合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，Am為任意常數(shù)定理定理2 n階齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0一定存在n個線性無關(guān)的特解定理定理3(齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理) 如果y1(t),y

9、2(t),yn(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0的n個線性無關(guān)的特解,則方程的通解為：yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)， 其中A1，A2，An為n個任意(獨立)常數(shù) 定理定理4(非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理) 如果 (t)是非齊次線性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的一個特解,yA(t)是其對應(yīng)的齊次線性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0的通解

10、,那么,非齊次線性差分方程的通解為：y(t)=yA(t)+ (t) 即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+ (t)，這里A1，A2,An為n個任意(獨立)常數(shù)yyy第二節(jié)第二節(jié) 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+1+ayt=f(t) 和yt+1+ayt=0, 其中f(t)為t的已知函數(shù),a0為常數(shù).分別稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程和其對應(yīng)的齊次差分方程. 一、一、 齊次差分方程的通解齊次差分方程的通解將方程yt+1+ayt=0改寫為:yt+1=-ayt, t=0,1,2,假定在初始時刻(即t=0)時,函數(shù)yt取任意值

11、A,那么由上式逐次迭代,算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,方程的通解為yt =A(-a)t, t=0,1,2,如果給定初始條件t=0時yt=y0,則A=y0,此時特解為：yt =y0(-a)t 二、二、 非齊次方程的通解與特解非齊次方程的通解與特解1. 迭代法求通解迭代法求通解將方程改寫為 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,逐步迭代,則有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), 由數(shù)學(xué)歸納法,可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+

12、(-a)t-2f(1)+f(t-1) =(-a)ty0+ , (t=0,1,2,)， ty.)1()( )1()1()()0()(1021為為方方程程的的特特解解其其中中 - -= =- - - - - -= =- -+ +- -+ +- -= =tiitttitfatffafayyA(t)=(-a)ty0為對應(yīng)的齊次方程的通解. 解解例例.2211的的通通解解求求差差分分方方程程tttyy= =- -+ +ttfa2)(,21= = =)12()21(31411)41(12)41(22)21(22)21(211101101101- -= =- - - = = = = = = =- - - -

13、= =- - -= =- - - -= =- - - tttttiittiiittiitity121231)21()12()21(31)21(+ +- -+ += =- -+ += =ttttttAAy方程的通解方程的通解 .32為為任任意意常常數(shù)數(shù)- -= = AA2.待定系數(shù)法求特解待定系數(shù)法求特解情形 f(t)為常數(shù)方程變?yōu)閥t+1+ayt=b, a,b均為非零常數(shù)試以 (為待定常數(shù))形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b = =ty當(dāng)a-1時,可求得特解abyt+ += =1當(dāng)a=-1時,改設(shè)特解 (為待定系數(shù)),將其代入方程得 (t+1)+a t=(1+a) t+ =b ty

14、t = =求得特解btyt= =方程的通解為 .1 ,1,1)()( 為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中AabtAaabaAytyyttAt - -= =+ +- - + + +- -= =+ += =解解例例.521的的通通解解求求差差分分方方程程= =- -+ +ttyy5, 12-= =- - = =ba., 52為為任任意意常常數(shù)數(shù)AAytt- - = =情形情形 f(t)為為t的多項式的多項式不妨設(shè)f(t)=b0+b1t(t的一次多項式),即 yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,， 其中a,b0,b1均為常數(shù),且a0,b10試以特解 =a+bt,(a,b為待定系數(shù))代入方程得a+

15、b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，ty上式對一切t值均成立,其充分必要條件是： = =+ += =+ + +10)1()1(babab bb ba a當(dāng)1+a0時,即a-1時，ababab+ += =+ +- -+ += =1)1(11210b ba a方程的特解為 tabababy+ + + +- -+ += =1)1(11210當(dāng)a=-1時,改設(shè)特解 =(a+bt)t=at+bt2 ty將其代入方程可求得特解211021)21(tbtbby+ +- -= =方程的通解為 - -= =+ +- -+ + + + + +- -+ + +- -= =. 1,21)21(, 1,1)1

16、(1)(21101210atbtbbAatabababaAytt解解例例.231的的通通解解求求差差分分方方程程tyytt+ += =- -+ +2, 3, 110= = =- -= =bba.,22為為任任意意常常數(shù)數(shù)AttAyt+ + += =情形情形 f(t)為指數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù) 不妨設(shè)f(t)=bdt, b,d均為非零常數(shù),方程變?yōu)?yt+1+ayt=bdt, t=0,1,2, 求得特解ttddaby + += =當(dāng)a+d0時,設(shè)方程有特解 =dt, 為待定系數(shù).將其代入方程得 dt+1+adt=bdt, ty當(dāng)a+d=0時,改設(shè)方程的特解 =tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解

17、= =btdt tytyty當(dāng)a+d=0時,改設(shè)方程的特解 =tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解= =btdt ty求得特解ttddaby + += =當(dāng)a+d=0時,改設(shè)方程的特解 =tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解= =btdt ty方程的通解為 = =+ + +- - + + + + +- -= =+ += =. 0,)(, 0,)(dabtdaAdaddabaAyyytttttAt解解例例.21的的通通解解求求差差分分方方程程tttyy= =- -+ +01, 2, 1, 1 = =+ += = =- -= =dadba.,2為為任任意意常常數(shù)數(shù)AAytt+ += =

18、情形 f(t)為正弦、余弦型三角函數(shù) 設(shè)f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均為常數(shù),且 0,b1與b2不同時為零.于是非齊次方程變?yōu)閥t+1+ayt=b1cost+b2sint,a0, t=0,1,2, 設(shè)方程有特解 =acost+bsint,a,b均為待定系數(shù). ty將其代入方程得acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint =b1cost+b2sint, (acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sint=b1cost+b2sint (acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sint=

19、b1cost+b2sint 上式對t=0,1,2,恒成立的充分必要條件是 = =+ + + - -= = + + +.)cos(sin,sin)cos(21babab b a a b b a a 其系數(shù)行列式 22sin)cos(cossinsincos+ + += =+ +- -+ += =aaaD當(dāng)D0時,則可求得其解 + + += =- -+ += =;sin)cos(1,sin)cos(11221 b b a ababDbabD當(dāng)D=(a+cos)2sin2=0時,則有 )(. 1,12. 1,2為整數(shù)為整數(shù)或或kakak = =+ += = - -= = = 改設(shè)特解 .,),sin

20、cos(為待定系數(shù)為待定系數(shù)b ba a b b a atttyt+ += =代入方程并整理可得 - -= =- -= = = = =.,2121bbbbb ba ab ba a或或方程的通解為 = =+ += =+ + + +- - - -= = =+ + + + + +- -= =. 1,)12(,)12sin()12cos()1(, 1,2),2sin2cos(, 0,sincos)(2121aktkbtkbtAaktkbtkbtADttaAyttt b b a a例例 求差分方程求差分方程yt+1- -2yt= =cost的通解的通解解解 對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為 yA

21、(t)= =A2t設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為 = =a acost+b bsint,其中其中a a, b b為待定系數(shù)為待定系數(shù) ty將其代入原方程將其代入原方程,并利用三角函數(shù)的和角公式并利用三角函數(shù)的和角公式,得得 = =- -+ +- -= =+ +- -. 0)21(cos1sin, 11sin)21(cosb ba ab ba a1cos451sin,1cos4521cos- -= =- - -= =b ba a所給方程的通解為所給方程的通解為 ttAyttsin1cos451sincos1cos451cos22- -+ +- - - - = =第三節(jié)第三節(jié) 二階常系數(shù)

22、線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程 二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,， 其中f(t)為t的已知函數(shù),a1,a2為已知常數(shù),且a20,稱為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程 特別地,當(dāng)f(t)0時,方程變?yōu)閥t+2+a1yt+1+a2yt=0 稱為對應(yīng)的齊次差分方程一、 齊次差分方程的通解 稱2a1+a2=0為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程或其對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程特征方程它的解(或根)稱為方程的特征根特征根(值值) 特征方程的兩個根為 )4(),4(2122122112, 1aaaaa- -= =D D- - - -= = (1) 特

23、征根為相異的兩實根特征根為相異的兩實根當(dāng)D0時,1, 2為兩相異的實根. y1(t)= 1t與y2(t)=2t是齊次差分方程的兩個線性無關(guān)的特解. 齊次差分方程的通解 ttAAAty2211)( + + = =1,2由特征方程確定,A1,A2為兩任意(獨立)常數(shù) 例例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解解解 特征方程為2-7+12=( -3)( -4)=0,有兩相異實特征根 1=3, 2=4 原方程的通解為 .,43)(2121為為任任意意常常數(shù)數(shù)AAAAtyttA + + = =(2) 特征根為兩相等的實根特征根為兩相等的實根當(dāng)當(dāng)D D=0時時, = 1= 2= 為兩相等的實

24、根為兩相等的實根. 21a- -方程的一個特解：方程的一個特解：yt(t)= t 方程的另一個特解為方程的另一個特解為y(t)=t t，且與且與 t線性無關(guān)線性無關(guān). 方程的通解為方程的通解為 .,2)()()()(2112121為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中或或AAatAAtytAAtytAtA - -+ += =+ += = 例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -4yt+ +1+ +4yt=0的通解的通解.解解 特征方程為特征方程為 2- -4 + +4=( - -2)2=0，方程有重特征根方程有重特征根 = 1= 2=2 原方程的通解為原方程的通解為yA(t)=(A1+ +A2t)2

25、t, A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù)(3) 特征根為一對共軛復(fù)根特征根為一對共軛復(fù)根當(dāng)當(dāng)D D0時時, 1, 2為一對共軛復(fù)根為一對共軛復(fù)根. 1,2=a aib b=r(cos isin ) .,20 ,tan,21sin,2cos2221為為復(fù)復(fù)特特征征根根的的輻輻角角為為復(fù)復(fù)特特征征根根的的模模 a ab b b ba a b b a ararrar = = =+ += =D D= = =- -= = =y1(t)=rtcos t, y2(t)=rtsin t是方程的兩個線性無關(guān)特解是方程的兩個線性無關(guān)特解. 方程的通解為方程的通解為yA(t)=rt(A1cos t+ +A2sin t)

26、 其中其中 A1，A2為任意常數(shù)為任意常數(shù).例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -2yt+ +1+ +2yt=0的通解的通解解解 特征方程特征方程 2- -2 + +2=( - -1)21=0 特征根為一對共軛復(fù)根特征根為一對共軛復(fù)根 1,2=1i 方程的通解為方程的通解為 4, 1tan,2 = = = =r.,)4sin4cos(2)( 21212為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中AAtAtAtytA + += =二、二、 非齊次方程的特解與通解非齊次方程的特解與通解例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -7yt+ +1+ +12yt=6的通解的通解解解 對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊

27、次方程的通解為 yA(t)=A13t+ +A24t，原方程的通解為原方程的通解為yt=yA(t)+ +=A13t+ +A24t+ +1，這里這里A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù) 由于由于1+ +a1+ +a2=1- -7+ +120,設(shè)特解設(shè)特解 =B,B為待定常為待定常數(shù)數(shù),將其代入原方程將其代入原方程,求得求得B=1.ty例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -3yt+ +1+ +2yt=4的通解的通解解解 特征方程為特征方程為 2- -3 + +2=( - -1)( - -2)=0,特征根特征根 1=1, 2=2. 對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為 yA(t)=A1+ +A22

28、t因因1+ +a1+ +a2=1- -3+ +2=0,故應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為故應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為 =Bt,B為待定系數(shù)為待定系數(shù),將其代入原方程將其代入原方程,求得求得B=- -4 ty原方程的通解為原方程的通解為yt=yA(t)+ + =A1+ +A22t- -4t，這里這里A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù)ty例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -4yt+ +1+ +4yt=3+ +2t的通解的通解. 解解 對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+ +A2t)2t此式對此式對t=0,1,2,恒成立的充要條件是恒成立的充要條件是B0- -2B1=3, B1=2.由

29、此解得：由此解得：B0=7，B1=2 設(shè)非齊次方程有特解設(shè)非齊次方程有特解 =B0+ +B1t,B0,B1為待定系數(shù)為待定系數(shù).將其代入原方程中將其代入原方程中,得得(B0- -2B1)+ +B1t=3+ +2t, ty所求非齊次方程的特解為所求非齊次方程的特解為 tyt27+ += =原方程的通解為原方程的通解為 ttAAytytyttA272)()()(21+ + + + += =+ += =A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù) 例例 求差分方程求差分方程yt+ +2- -4yt+ +1+ +4yt=5t的通解的通解解解 對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+ +A2t)2

30、t設(shè)所給非齊次方程的特特為設(shè)所給非齊次方程的特特為 =B5t,B為待定系數(shù)為待定系數(shù). ty將其代入所給方程將其代入所給方程,可得可得 B5t+ +2- -4B5t+ +1+ +4B5t=5t91= =B非齊次方程的特解為非齊次方程的特解為 tty591 = =所給方程的通解為所給方程的通解為 其中其中A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù)tttAtAAytyty5912)()()(21 + + + += =+ += =差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)模型差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)模型一、 存款模型 設(shè)St為t期存款總額,i為存款利率,則St與i有如下關(guān)系式：St+1=St+iSt=(1+i)St, t=0,1,2,，其中

31、S0為初始存款總額 二、 動態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理) 設(shè)Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價格,則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為： = =+ += =+ += =- -)3(,)2()1(, 111ttttttSDPbaSbPaD其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù). (1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價格； (2)式表示t期(現(xiàn)期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格 (3)式為供需均衡條件 若在供需平衡的條件下,而且價格保持不變,即 Pt=Pt- -1=Pe，靜態(tài)均衡價格 bbaaPe- - -= =11需求曲線與供給曲線的交點(Pe,Qe)即為該種商品的靜態(tài)均衡點動

32、態(tài)供需均衡模型的等價差分方程 baaPbbPtt- -= =- - -111方程的一個特解 etPbbaaP= =- - -= =11方程的通解為 ettPbbAP+ + = =1若初始價格P0已知時,將其代入通解,可求得任意常數(shù)A=P0-Pe,此時,通解改寫為 etetPbbPPP+ + - -= =10)(如果初始價格P0=Pe,那么Pt=Pe,這表明沒有外部干擾發(fā)生,價格將固定在常數(shù)值Pe上,即靜態(tài)均衡如果初始價格P0Pe,那么價格Pt將隨t的變化而變化. ,11時時 bbeetetttPPbbPPP= =+ + - -= =+ + + + )(limlim10動態(tài)價格Pt隨著t的無限增

33、大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價格Pe.普通商品的價格與供需關(guān)系圖三、 凱恩斯(Keynes.J.M)乘數(shù)動力學(xué)模型 設(shè)Yt表示t期國民收入,Ct為t期消費,It為t期投資,I0為自發(fā)(固定)投資,DI為周期固定投資增量.凱恩斯國民經(jīng)濟(jì)收支動態(tài)均衡模型為： D D+ += =+ += =+ += =- -)3(,)2()1(,0, 1IIIbYaCICYtttttt(1)式為均衡條件,即國民收入等于同期消費與同期投資之和;(2)式為消費函數(shù),即現(xiàn)期消費水平依賴于前期國民收入(消費滯后于收入一個周期),a(0)為基本消費水平,b為邊際消費傾向(0b1);(3)式為投資函數(shù),這里僅考慮為固定投資 在(

34、1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一階常系數(shù)非齊次線性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+DI 方程的一個特解 bIIaYt- -D D+ + += =10方程的通解為 bIIabAYtt- -D D+ + + + = =10其中A為任意常數(shù). 稱系數(shù) 為凱恩斯乘數(shù). b- -11四、 哈羅德(Harrod.R.H)經(jīng)濟(jì)增長模型 設(shè)St為t期儲蓄,Yt為t期國民收入,It為t期投資,s稱為邊際儲蓄傾向(即平均儲蓄傾向),0s1,k為加速系數(shù).哈羅德宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型為：其中其中s,k為已知常數(shù)為已知常數(shù)11,01 (1)()0(2) (3)tttttttSsYsIk YYkSI-=-=，

35、(1)式表示t期儲蓄依賴于前期的國民收入;(2)式表示t期投資為前兩期國民收入差的加速,且預(yù)期資本加速系數(shù)k為常數(shù);(3)式為均衡條件.經(jīng)整理后得齊次差分方程01= =+ +- - -ttYkskY其通解為ttksAY)1( + += =其中A為任意常數(shù), ,哈羅德稱之為“保證增長率” 0 ks其經(jīng)濟(jì)意義就是：如果國民收入Yt按保證增長率 增長,那么就能保證t期儲蓄與t期投資達(dá)到動態(tài)均衡,即It=St, t=0,1,2, ks假定t-1期收入Yt-1滿足于通解,而t期收入Yt由于某種外部干擾滿足), 0()1(稱稱為為外外部部干干擾擾 + + += =BBksAYtt設(shè)B0,那么有 kBSkB

36、sYkBkssABksAkskYYkIttttttt+ += =+ += =+ + += =+ + += =- -= =- - - - -1111)1( )1()(因kB0,故ItSt. 表示:總投資將大于總供給(由儲蓄提供),從而對收入產(chǎn)生一個向上的壓力,迫使收入較以前增加得更多. 充分地說明了,“保證增長率”保證了國民收入的增長. 五、 薩繆爾森(Samuelson P.A)乘數(shù)加速數(shù)模型 設(shè)Yt為t期國民收入,Ct為t期消費,It為t期投資,G為政府支出(各期均相同).薩繆爾森將乘數(shù)和加速數(shù)兩個參數(shù)同時引進(jìn)而得到國民經(jīng)濟(jì)收支均衡模型(也稱為乘數(shù)-加速數(shù)模型)： - -= = = =+ +

37、 += =- - -)3(, 0),()2(, 10,)1(,11kCCkIbbYCGICYtttttttt其中G0為常數(shù),b稱為邊際消費傾向(常數(shù)),k為加速數(shù). 將(2)(3)兩式代入(1)并經(jīng)整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G 其特解 bGYt- -= =1其經(jīng)濟(jì)意義為：國民收入的均衡值等于凱恩斯乘數(shù)與政府支出自發(fā)投資G的乘積.b- -11對應(yīng)的齊次方程為 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0， 其特征方程為 2-b(1+k)+bk=0， 特征方程的判別式 D=b2(1k)2-4bk=bb(1+k)2-4k 當(dāng)D0時,特征方程有兩相異實根 )1(21)1(212

38、1D D+ + += =D D- -+ += =kbkb 齊次方程的通解為：YA(t)=A11t+A22t (A1,A2為任意常數(shù))當(dāng)D=0時,特征方程有一對相等實特征根 )1(21kb+ += = 齊次方程的通解為： (A1,A2為任意常數(shù)為任意常數(shù)) tAtAAtY + += =)()(21當(dāng)D y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3)利用plot 繪圖觀察數(shù)量變化趨勢n可以用不同線型和顏色繪圖nr g b c m y k w 分別表示 紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色： + o * .

39、X s d 表示不同的線型 n plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐標(biāo)系下畫圖 plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在圖上做標(biāo)記。n人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk +5 ,a=1+r如果我們想考察每年孵化多少只比

40、較合適，可以令Xk+1=aXk +b ,a=1+rnfunction x=fhsqh(n,r,b)na=1+r;nX=100;nFor k=1:nnX(k+1)=a*x(k)+b;nendnk=(0:20) ; %一個行向量ny1=(20,-0.0324,5); 也是一個行向量nround( k , y 1 ) 對k,y1四舍五入，但 是 不改變變量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以也可以觀察200年的發(fā)展趨勢，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢，也可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響。一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點及其穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點及其穩(wěn)定性n自

41、然環(huán)境下,b=0n人工孵化條件下n令xk=xk+1=x得 差分方程的平衡點nk時，xkx,稱平衡點是穩(wěn)定的0kkxax=10(1)kkkxa xbaa-=+011kkaaxba-=+-1bxa=-1kkxaxb+=+高階線性常系數(shù)差分方程n n 如果第k+1時段變量Xk+1不僅取決于第k時段變量Xk，而且與以前時段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來描述一年生植物的繁殖n一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，

42、如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過兩個冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。模型及其求解n記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過一個冬天的(1歲種子)比例為b,活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天的（2歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。n設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件n記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有關(guān)，由 Xk-1決定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2決定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-

43、2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2n實際上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我們需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同時，種子繁殖的情況。在這里假設(shè)nX0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20n這樣可以用matlab計算了Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2nfunction x=zwfz(x0,n,b)nC=10;a1=0.5;a2=0.25;np=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;nx(1)=x0;nx(2)=p*x(1);nfor k=3:nnx(k)=p*x(k-1)+q*

44、x(k-2);nendnk=(0:20);ny1=zwfz(100,21,0.18);ny2=zwfz(100,21,0.19);ny3=zwfz(100,21,0,20);nRound(k,y1,y2,y3)nPlot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),nGtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)結(jié)果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2 (1) x1+px0=0 (2) n對高階差分方程可以尋求形如的解。代入(1)式得稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為C1,c2 由初始條件x0,x1確定。kkx=20pq+=21

45、 , 242ppq-=1122kkkxcc=+1,21,0()kxk n本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時,c1=95.64, c2=4.36 ， 這樣實際上，植物能一直繁殖下去的條件是b0.19112( ,)(0.9430, 0.0430) =-95.64(0.9430)4.36( 0.0430)kkkx =+-1,21,()kxk 1 , 251 02b=線性常系數(shù)差分方程組n汽車租賃公司的運營n一家汽車租賃公司在3個相鄰的城市運營，為方便顧客起見公司承諾，在一個城市租賃的汽車可以在任意一個城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗估計和市場調(diào)查，一個租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車在A,B,C市歸還的比例分

46、別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)時將600輛汽車平均分配到3個城市，建立運營過程中汽車數(shù)量在3個城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時間充分長以后的變化趨勢。0.60.3nA B CnA B CnA B C假設(shè)在每個租賃期開始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還0.10.70.20.10.60.30.1模型及其求解n記第k個租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量分別為x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1個租賃期開始各個城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫出第k+1個租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量為(k

47、=0,1,2,3)112321233123(1)0.6 ( )0.2( )0.1 ( )(1)0.3 ( )0.7( )0.3( )(1)0.1 ( )0.1( )0.6( )x kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx k+=+=+=+n用矩陣表示用matlab編程，計算x(k),觀察n年以后的3個城市的汽車數(shù)量變化情況112233(1)0.60.20.1( )(1)0.30.70.3( )(1)0.10.10.6( )x kx kx kx kx kx k+=+nfunction x=czqc(n)nA=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;nx(:,1)=200,200,200;nfor k=1:nn x(:,k+1)=A*x(:,k);nend如果直接看10年或者20年發(fā)展趨勢，可以直接在命令窗口（commond