理論力學(xué)PPT課件

1、理論力學(xué)多媒體課件理論力學(xué)多媒體課件 教材藍(lán)本教材藍(lán)本 (面向面向21世紀(jì)課程教材世紀(jì)課程教材) 金尚年金尚年,馬永利編著馬永利編著.理論力學(xué)理論力學(xué).第二版第二版.北京：高等教育出版，北京：高等教育出版，2002 主要參考書(shū)：主要參考書(shū)： 1. 陳世民陳世民.理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2001. 2. H.Goldstein .Classical Mechanics (Second Edition). Cambridge:Addison-Wesley,1980. 3. 蔣士亮蔣士亮.理論力學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)引理論力學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)引.桂林桂林:廣西師范大學(xué)出

2、版社廣西師范大學(xué)出版社,1997. 內(nèi)容設(shè)計(jì)內(nèi)容設(shè)計(jì) 蔣士亮教授蔣士亮教授 何良明何良明 腳腳 本本 蔣士亮教授蔣士亮教授 何良明何良明 多媒體制作多媒體制作 趙迎新老師、劉杰、何良明趙迎新老師、劉杰、何良明 動(dòng)畫(huà)制作動(dòng)畫(huà)制作 吳禮燕老師吳禮燕老師 文字錄入文字錄入 盤(pán)佳秀盤(pán)佳秀一、力學(xué)、與理論力學(xué) 經(jīng)典力學(xué) 絕對(duì)時(shí)空 v光速 一般力學(xué)固體力學(xué) 流體力學(xué) 交緣力學(xué) 微觀 宇觀 量子力學(xué) 相對(duì)論力學(xué) (質(zhì)量與尺寸隨v而變化 )宏觀研究桿狀構(gòu)件的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性 。研究桿系結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性。流體力學(xué)：彈性力學(xué)：固體力學(xué)材料力學(xué)：結(jié)構(gòu)力學(xué)： 研究非桿結(jié)構(gòu)在彈性階段 的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性。研

3、究流體受力與運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 理論力學(xué)： (屬于一般力學(xué)) 包 括：研究質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律。靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)二、研究?jī)?nèi)容包括幾何靜力學(xué)、分析靜力學(xué)應(yīng) 用:變形固體 塊、板、殼.桿與桿結(jié)構(gòu).三大關(guān)系(1) 靜力學(xué):研究物體所受力系的簡(jiǎn)化平衡規(guī)律及其應(yīng)用。質(zhì)點(diǎn)系、剛體、流體平衡、幾何、物理(2) 運(yùn)動(dòng)學(xué):(與力無(wú)關(guān)、也是變形體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)) (3) 動(dòng)力學(xué):包括質(zhì)點(diǎn)系、剛體，變形體的動(dòng)力效應(yīng)。研究點(diǎn)與剛體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)研究物體所受力與運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系變形(包含剛體位移和相對(duì)位移)剛體運(yùn)動(dòng)FBCABC包括位移、軌跡、速度、加速度。三、力學(xué)模型1、基本模型:2、一般模型: 理想流體(無(wú)粘性) 。質(zhì)點(diǎn)系基本

4、理論(包括一切模型)質(zhì) 點(diǎn): 具有質(zhì)量的幾何點(diǎn)。剛 體: 任何兩點(diǎn)距離不變的幾何體。變形固體: 連續(xù)、均勻、各向同性或各向異性假設(shè)。分為宏、細(xì)、微三層次。流 體:地震學(xué)中視為多相變形固體。 土木工程中視為彈性半空間。.地球:天文學(xué)中視為質(zhì)點(diǎn)或剛體。3、特殊模型:溫度變化、電磁效應(yīng)、支座移動(dòng)，加工誤差等。工程系統(tǒng)的計(jì)算簡(jiǎn)圖(結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu))形狀輪廓線、桿軸線聯(lián)結(jié)鉸接:限制平移、可轉(zhuǎn)動(dòng)剛結(jié):限制平移與轉(zhuǎn)動(dòng)彈性:可變形荷載恒載與活載靜載與動(dòng)載表面力與體積力分布力與集中力 其它外因:pKK 基本模型基本模型（質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)系 ）普遍定理普遍定理力學(xué)模型力學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型理論解答理論解答誤差檢驗(yàn)誤差檢驗(yàn)

5、 結(jié)果結(jié)果實(shí)際對(duì)象實(shí)際對(duì)象抽象抽象簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 是是否實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)?zāi)ＤM擬基本定律基本定律 公理化公理化修改力學(xué)模型修改力學(xué)模型解析解析計(jì)算計(jì)算四、研究途徑與方法1、途徑: 分理論體系與工程應(yīng)用兩條。分析力學(xué)：從兩個(gè)基本原理出發(fā).公理化:靜力學(xué)：從5條公理出發(fā).動(dòng)力學(xué)： 從牛頓三大定律出發(fā).數(shù)學(xué)方法: 矢量分析、代數(shù)方程、微分方程。計(jì)算機(jī)方法: 數(shù)值計(jì)算、過(guò)程仿真。實(shí)驗(yàn)方法:機(jī)械測(cè)試、電測(cè)、光測(cè)等。開(kāi)拓新方法: 校核優(yōu)化設(shè)計(jì) 響應(yīng) 參數(shù)識(shí)別(系統(tǒng)幾何物理特性)逆問(wèn)題培養(yǎng)能力: 抽象與邏輯思維；運(yùn)動(dòng)、變形與受力分析；計(jì)算模型與方法的選擇。1、經(jīng)典方法分析能力2、創(chuàng)新能力 創(chuàng)造新思想、新方法、新產(chǎn)品的能力

6、。創(chuàng)新思維特點(diǎn):發(fā)散性: 多向性開(kāi)放性:一題多解、多問(wèn)、多變探索性:尋找新問(wèn)題與新途徑。尋找新問(wèn)題與新途徑。由被動(dòng)接收主動(dòng)索取主動(dòng)索取想象性想象性:想象力比知識(shí)更重要。想象力比知識(shí)更重要。3、考研 土木、力學(xué)、機(jī)械、航天研究生必考課程之一.科技創(chuàng)新，需要高級(jí)力學(xué)人才。第一章第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程牛頓動(dòng)力學(xué)方程 內(nèi)容內(nèi)容: 經(jīng)典力學(xué)立論的理論基礎(chǔ)經(jīng)典力學(xué)立論的理論基礎(chǔ) 牛頓力學(xué)的基本定律和定理牛頓力學(xué)的基本定律和定理 牛頓動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用牛頓動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo) 重點(diǎn)重點(diǎn): 牛頓動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用牛頓動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用 難點(diǎn)難點(diǎn): 角動(dòng)量概念和角動(dòng)量定理角動(dòng)量概念和角動(dòng)量定理

7、牛頓在伽利略、開(kāi)普勒工作的基礎(chǔ)上建立了完整的經(jīng)典牛頓在伽利略、開(kāi)普勒工作的基礎(chǔ)上建立了完整的經(jīng)典力學(xué)理論，這是現(xiàn)代意義下的物理學(xué)的開(kāi)端。經(jīng)典力學(xué)理論的力學(xué)理論，這是現(xiàn)代意義下的物理學(xué)的開(kāi)端。經(jīng)典力學(xué)理論的基礎(chǔ)是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)三條定律，其核心是牛頓動(dòng)力學(xué)方程?；A(chǔ)是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)三條定律，其核心是牛頓動(dòng)力學(xué)方程。1、1 經(jīng)典力學(xué)立論的理論基礎(chǔ)經(jīng)典力學(xué)立論的理論基礎(chǔ) 包括：三個(gè)觀點(diǎn)（物質(zhì)觀、時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)觀）和四條推理規(guī)則（簡(jiǎn)單包括：三個(gè)觀點(diǎn)（物質(zhì)觀、時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)觀）和四條推理規(guī)則（簡(jiǎn)單性原理、因果性原理、統(tǒng)一性原理、真理性原理）性原理、因果性原理、統(tǒng)一性原理、真理性原理） 物質(zhì)觀。物質(zhì)觀。所有的物質(zhì)都由原子的

8、微粒組成，原子間存在互相吸引所有的物質(zhì)都由原子的微粒組成，原子間存在互相吸引力和排斥力，可以凝聚分離，構(gòu)成萬(wàn)物及運(yùn)動(dòng)。力和排斥力，可以凝聚分離，構(gòu)成萬(wàn)物及運(yùn)動(dòng)。 時(shí)空觀（絕對(duì)時(shí)空觀）時(shí)空觀（絕對(duì)時(shí)空觀）。時(shí)間是一維的、均勻的、無(wú)限的，與空。時(shí)間是一維的、均勻的、無(wú)限的，與空間和物質(zhì)都無(wú)關(guān)間和物質(zhì)都無(wú)關(guān)牛頓的絕對(duì)時(shí)間?？捎靡粭l長(zhǎng)的直線表示時(shí)間：牛頓的絕對(duì)時(shí)間?？捎靡粭l長(zhǎng)的直線表示時(shí)間：左右過(guò)去 現(xiàn)在 未來(lái)圖1.1 空間是三維的，各向同性的、均勻的、無(wú)空間是三維的，各向同性的、均勻的、無(wú)限的，與時(shí)間和物質(zhì)都無(wú)關(guān)限的，與時(shí)間和物質(zhì)都無(wú)關(guān)牛頓的絕對(duì)空間。牛頓的絕對(duì)空間?？捎靡恢苯亲鴺?biāo)系表示空間。原點(diǎn)為

9、空間任一點(diǎn)，可用一直角坐標(biāo)系表示空間。原點(diǎn)為空間任一點(diǎn)，正交的三個(gè)坐標(biāo)軸方向可以任意選取且可向正負(fù)正交的三個(gè)坐標(biāo)軸方向可以任意選取且可向正負(fù)方向無(wú)限延伸，任一質(zhì)點(diǎn)在空間的位置均可用坐方向無(wú)限延伸，任一質(zhì)點(diǎn)在空間的位置均可用坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)值表出。標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)值表出。絕對(duì)時(shí)間和絕對(duì)空間構(gòu)成了牛頓力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀。 運(yùn)動(dòng)觀.內(nèi)容包括內(nèi)容包括 力學(xué)的最高原理力學(xué)的最高原理牛頓三定律和牛頓三定律和力學(xué)相對(duì)性原理的確立；萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)。力學(xué)相對(duì)性原理的確立；萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)。 簡(jiǎn)單性原理.凡科學(xué)上正確的東西都是簡(jiǎn)單的，因此，凡科學(xué)上正確的東西都是簡(jiǎn)單的，因此，力求用簡(jiǎn)單的方法和形式解決科學(xué)問(wèn)

10、題，表述科學(xué)結(jié)論。力求用簡(jiǎn)單的方法和形式解決科學(xué)問(wèn)題，表述科學(xué)結(jié)論。 因果性原理.即決定論。即決定論。 絕對(duì)性原理絕對(duì)性原理.指物質(zhì)觀、時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)觀對(duì)整個(gè)自然指物質(zhì)觀、時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)觀對(duì)整個(gè)自然都是普遍適用的，是自然哲學(xué)的根本所在。都是普遍適用的，是自然哲學(xué)的根本所在。 真理性原理真理性原理.既承認(rèn)客觀真理的存在，同時(shí)又承認(rèn)人們既承認(rèn)客觀真理的存在，同時(shí)又承認(rèn)人們?cè)谝欢ㄕJ(rèn)識(shí)階段的認(rèn)識(shí)只能接近真實(shí)，即承認(rèn)相對(duì)真理的存在一定認(rèn)識(shí)階段的認(rèn)識(shí)只能接近真實(shí)，即承認(rèn)相對(duì)真理的存在。真理性原理是絕對(duì)真理與相對(duì)真理結(jié)合的觀點(diǎn)。在。真理性原理是絕對(duì)真理與相對(duì)真理結(jié)合的觀點(diǎn)。 四條哲學(xué)推理規(guī)則是自然科學(xué)認(rèn)識(shí)論、方

11、法論的準(zhǔn)則，四條哲學(xué)推理規(guī)則是自然科學(xué)認(rèn)識(shí)論、方法論的準(zhǔn)則，是學(xué)習(xí)、研究自然科學(xué)強(qiáng)大的思想武器。是學(xué)習(xí)、研究自然科學(xué)強(qiáng)大的思想武器。.牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的物體（質(zhì)點(diǎn)）沿曲線的物體（質(zhì)點(diǎn)）沿曲線C運(yùn)運(yùn)動(dòng)，所受到的力為動(dòng)，所受到的力為,當(dāng)物體的質(zhì)量不變時(shí)當(dāng)物體的質(zhì)量不變時(shí),牛牛頓第二定律的表示為頓第二定律的表示為Fdtdm 圖1.3m O Cr式式(1.3)在常用的坐標(biāo)系中的分量式分別為：在常用的坐標(biāo)系中的分量式分別為：),(trrFF (1.1) Frr 力力一般是位矢一般是位矢速度速度和時(shí)間和時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù):(1.2) 則式則式(1.1)可寫(xiě)為可

12、寫(xiě)為 ),(trrFrm (1.3)（）直角坐標(biāo)系（）直角坐標(biāo)系) 6 . 1 ();,;,();,;,();,;,(tzyxzyxFzzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmyx 方程（方程（1.3）可表示為）可表示為 kzj yi xr kzj yi xr （1.4）（1.5）P(x,y,z)yxx圖圖1.4ox（2）平面極坐標(biāo)系）平面極坐標(biāo)系jiejier cossinsincos （1.7）rrredtddedeedtddede （1.8）rr 質(zhì)點(diǎn)的位矢質(zhì)點(diǎn)的位矢和速度和速度為為rerr （1.9） ererererrrrr （1.10）及其單位矢量及其單位矢量rre e和極角和

13、極角及其單位及其單位的方向都隨時(shí)間改變，且的方向都隨時(shí)間改變，且矢量矢量 其結(jié)構(gòu)如圖其結(jié)構(gòu)如圖1.5所示所示.從圖中可知：從圖中可知：隨著質(zhì)點(diǎn)隨著質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，矢徑的運(yùn)動(dòng)，矢徑加速度為加速度為 errerrdtdar )2()(2 （1.11） FrrmFrrmr)2()(2 （1.12） (3)球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 xyzor rN圖圖1.6jieeekjiekjierrcossinsinsincoscoscoscossinsincossin(1.13)(1.1)(1.1)因此，牛頓第二定律可表示為因此，牛頓第二定律可表示為 eeer、，由圖，由圖1.6可知：可知： 空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)

14、及其單位矢量分別為的位置坐標(biāo)及其單位矢量分別為r、和和eeeedtdeeeeeeeeeeerrrrrrcossin)(cossin(1.16)(1.1)(1.1)位矢和速度為位矢和速度為 rerr （1.19） erererrrsin （1.20） aa由定義由定義求出加速度求出加速度的表示式后，可得的表示式后，可得 FrrrmFrrrmFrrrmr)cos2sin2sin()cossin2()sin(222 （4）柱坐標(biāo)）柱坐標(biāo)可看成是由可看成是由OXY平面上的平面極坐標(biāo)平面上的平面極坐標(biāo)R、和直角坐標(biāo)和直角坐標(biāo)Z組合而成。組合而成。單位矢量單位矢量keeR和和、 的變化率為的變化率為 0k

15、eeeeRR （1.221.22）位矢和速度為位矢和速度為kZrR eRkZerR eR（1.231.23）（1.241.24）Y z O x z R r 圖圖1.7牛頓第二定律為牛頓第二定律為 zRFzmFRRmFRRm )2()(2（1.251.25） （5）自然坐標(biāo)與內(nèi)稟方程）自然坐標(biāo)與內(nèi)稟方程 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿著某一空間曲線設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿著某一空間曲線MN運(yùn)運(yùn)動(dòng)，在軌道動(dòng)，在軌道MN上的任意點(diǎn)上的任意點(diǎn)P作密切作密切平面，在密切平面內(nèi)過(guò)平面，在密切平面內(nèi)過(guò)P點(diǎn)作切線點(diǎn)作切線 和法線和法線n，再作直線，再作直線b，使三者的方向關(guān)，使三者的方向關(guān)系為系為 bn ，即互相，即互相，b稱(chēng)為次法線。稱(chēng)為次法線

16、。 nb和和構(gòu)成的平面構(gòu)成的平面稱(chēng)為法平面，稱(chēng)為法平面， 與與 b組成的平面稱(chēng)為直切平面。軌道上每一點(diǎn)組成的平面稱(chēng)為直切平面。軌道上每一點(diǎn)都可作出這樣的三條正交的直線，以、都可作出這樣的三條正交的直線，以、n、b為坐標(biāo)軸構(gòu)成空間自然坐標(biāo)系。為坐標(biāo)軸構(gòu)成空間自然坐標(biāo)系。 bneee、 bneee、 用用表示其單位矢量，顯然，隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，表示其單位矢量，顯然，隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，方向隨時(shí)間方向隨時(shí)間t而變化。而變化。 O x y P ds圖圖1.9 e dtdedtddtda ? dtd （1.26） 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻（質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻（P點(diǎn)）的速度和加速度分別為點(diǎn)）的速度和加速度分別為如圖如圖1.9

17、所示：所示：ddsdtdsdsddtddtedddeed 所以加速度為所以加速度為 ede dted 因因，即，即指向軌道的凹向，可見(jiàn)指向軌道的凹向，可見(jiàn)與法線與法線 edne同向，同向， needtda 2 （1.27）dtda 2 na0 ba ， ，則牛頓第二定律為則牛頓第二定律為 bnFFmFdtdm02 （1.28）1.3 動(dòng)力學(xué)基本定理動(dòng)力學(xué)基本定理 1.3.1 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 (1)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理Fdtdm 牛頓第二定律牛頓第二定律可寫(xiě)為可寫(xiě)為Fdtpddtmddtdm )( (1.29) 對(duì)于由對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系)(1)(enieisF

18、Fdtpd （1.30）式中式中 mp 為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量，式為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量，式(1.29)表明：表明：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受到的力。所受到的力。 為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：式中式中spiniinissmPP11 （1.31）為合外力：為合外力： )(eF nieieFF1)()( （1.32）方程（方程（1.30）表明：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受到的合外力）表明：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受到的合外力質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，方程中體系中的的內(nèi)力完全不出現(xiàn)。定理，方程中體系中的的內(nèi)力完全不出現(xiàn)。 （2）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不變即質(zhì)點(diǎn)

19、系動(dòng)量不變質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。0)( eF，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不守恒，但在某一定方向（例如質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不守恒，但在某一定方向（例如x方向）的合外力方向）的合外力 0)( exF，則在該方向動(dòng)量守恒：，則在該方向動(dòng)量守恒： 常常量量 sxP0 Fdtpds常常矢矢量量 niiismP1 若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零：若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零：，則，則（1.33） 例如外力僅為重力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系水平方向動(dòng)量守恒。例如外力僅為重力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系水平方向動(dòng)量守恒。 您能舉出系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒而在水平方向動(dòng)量守恒的實(shí)例嗎？您能舉出系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒而在水平方向動(dòng)量守恒的實(shí)例嗎？ 為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢，為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)

20、心的位矢，sm為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，則為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，則（3）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量)()(1siiisssiiiniiismrmdtdmmmrmdtdmP 式中式中 sniiicmrmr （1.34） cscssmdtrdmP （1.35）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可改寫(xiě)成：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可改寫(xiě)成： )(ecssFdtdmdtpd （1.36） 是質(zhì)心的速度。上式描述了質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)（平移）規(guī)律，稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)是質(zhì)心的速度。上式描述了質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)（平移）規(guī)律，稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它表明：動(dòng)定理，它表明：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，所受的力等質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)

21、量，所受的力等于作用在整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系上的合力的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣。于作用在整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系上的合力的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣。式中式中c 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的平移，不涉及質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的平移，不涉及質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的空間取向，而且質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化取決于質(zhì)點(diǎn)系所受的外力，而與內(nèi)力空間取向，而且質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化取決于質(zhì)點(diǎn)系所受的外力，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)，內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀無(wú)關(guān)，內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系可以是離散的質(zhì)點(diǎn)組或可變形的柔體（如京劇演員、跳水運(yùn)動(dòng)態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系可以是離散的質(zhì)點(diǎn)組或可變形的柔體（如京劇

22、演員、跳水運(yùn)動(dòng)員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運(yùn)動(dòng)過(guò)程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運(yùn)動(dòng)過(guò)程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些體系中質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理都成立。如跳水運(yùn)動(dòng)員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸體系中質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理都成立。如跳水運(yùn)動(dòng)員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸展多姿多態(tài)，而其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)遵循拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌跡為拋物線。展多姿多態(tài)，而其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)遵循拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌跡為拋物線。 1.3.2 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 （1）角動(dòng)量）角動(dòng)量r m 質(zhì)點(diǎn)的位矢質(zhì)點(diǎn)的位矢 和它的動(dòng)量和它的動(dòng)量的矢量積的矢量積 PrO圖圖1.11L m mrL （1.37）稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的角動(dòng)

23、量（或動(dòng)量矩），是描述物體運(yùn)動(dòng)特性的重要物理的角動(dòng)量（或動(dòng)量矩），是描述物體運(yùn)動(dòng)特性的重要物理量之一。量之一。 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定義為質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定義為 iiniimrL 1 （1.38） （2）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定的角動(dòng)量定理）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定的角動(dòng)量定理 式（式（1.38）兩邊對(duì)）兩邊對(duì)t求導(dǎo)：求導(dǎo)： )()()(1111iieiniiiniiiiniiiiniiFFrFrdtdmrmdtrddtLd 上式中內(nèi)力矩和上式中內(nèi)力矩和 0)(1 iiniiFr于是于是 )(1einiiFrdtLd （1.39） 上式表示：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力矩的和，與上式表示

24、：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力矩的和，與體系內(nèi)部的相互作用無(wú)關(guān)體系內(nèi)部的相互作用無(wú)關(guān)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。 （2）角動(dòng)量守恒定律）角動(dòng)量守恒定律 如果質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力矩為零，則體系角動(dòng)量守恒如果質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力矩為零，則體系角動(dòng)量守恒 常常矢矢量量 iiniimrL 1 （1.40）若在某一固定方向的外力矩為零，則角動(dòng)量在該方向的分量守恒。若在某一固定方向的外力矩為零，則角動(dòng)量在該方向的分量守恒。 宇宙中存在著各種層次的天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉(zhuǎn)的盤(pán)狀結(jié)構(gòu)。例宇宙中存在著各種層次的天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉(zhuǎn)的盤(pán)狀結(jié)構(gòu)。例如

25、銀河系，最初是一團(tuán)極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動(dòng)量如銀河系，最初是一團(tuán)極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動(dòng)量。 在自在自身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動(dòng)量守恒，銀河系演變成了朝一身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動(dòng)量守恒，銀河系演變成了朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的盤(pán)狀結(jié)構(gòu)（圖個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的盤(pán)狀結(jié)構(gòu)（圖1.12）L (3)質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理 質(zhì)心系質(zhì)心系隨質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心平動(dòng)的參考系（當(dāng)質(zhì)心加速度隨質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心平動(dòng)的參考系（當(dāng)質(zhì)心加速度0 ca時(shí)，質(zhì)心系不是慣性系而為非慣性系）。時(shí)，質(zhì)心系不是慣性系而為非慣性系）。imcrir irzXYZxyOc圖圖1.13MLr 、

26、 表示質(zhì)心系中相應(yīng)的量，則表示質(zhì)心系中相應(yīng)的量，則zyxc 如圖如圖1.13所示，所示，o - xyz為固定坐標(biāo)系（慣性系），為固定坐標(biāo)系（慣性系），為原點(diǎn)取在質(zhì)心為原點(diǎn)取在質(zhì)心C上隨質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于上隨質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于oxyz平動(dòng)的質(zhì)心系平動(dòng)的質(zhì)心系, iiniimrL 1)(1einiiFrM nieiiiiniiiiniiiiniiFrdtdmrmdtrdmrdtddtdL1)(111)( 即即MdtLd （1.41）上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心的力矩上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心的力矩的和。的和。對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，與慣

27、性系中的角動(dòng)量形式相同。對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，與慣性系中的角動(dòng)量形式相同。 1.3.3 能量定理能量定理 （1）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能221iiiiimTT （1.42）對(duì)上式兩邊微分得對(duì)上式兩邊微分得 iiiiiiiiiiiiiirdFrddtdmdmmddT)21(2 即即iiiiiieirdFrdFdT )()(（1.43）上式表示：上式表示：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增加等于外力和內(nèi)力所做的元功之和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增加等于外力和內(nèi)力所做的元功之和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。能定理。 （2）寇尼希（）寇尼希（Knig）定理）定理 如圖如圖1.10所示，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能所示，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能

28、 TmrdtdmmmmrmdtdmmmmmTscccsiiiiiiiiiiccsiiciciiciiciiiiiiii)(21)21)(21)2(21)()(212121222222 0 iiiiicmrmr 因質(zhì)心系的原點(diǎn)在質(zhì)心因質(zhì)心系的原點(diǎn)在質(zhì)心C上，故式中上，故式中，所以，所以TmTcs 221 （1.44）221iiimT （1.45）式中式中為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能。（為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能。（1.44）式表示：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)）式表示：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，加在各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，加

29、在各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能寇尼寇尼希定理。希定理。 （3）質(zhì)心系的動(dòng)能定理）質(zhì)心系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分為 iiiieicieiiiciiieiiiiiiiiiiiiiirdFFrdFrdrdFFrdFrddtdmdmmddT).(.).(.21)()()()()(2 根據(jù)寇尼希定理根據(jù)寇尼希定理:)(.)21()(2TdrdFTdrddtdmTddmTmddTcieiccsccscs iiiiieirdFrdFTd)()(1.46) (4) 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 上式為質(zhì)心系中的動(dòng)能定理上式為質(zhì)心系中的動(dòng)能定理,與慣性系中的動(dòng)能定理的形式一樣與慣性系中的動(dòng)能定

30、理的形式一樣.因此得因此得 如果力如果力F是坐標(biāo)的單值、有限、可微的函數(shù)，且是坐標(biāo)的單值、有限、可微的函數(shù)，且 0000 xFyyFFxFzzFzFyyFxxz即即 （1.47）則存在某一單值標(biāo)量函數(shù)則存在某一單值標(biāo)量函數(shù)V（x，y，z），且），且 )()()(.000000rVrVdVdzzVdyyVdxxVrdFWrrrrxyzzyx （1.49）)(,kzVjyVixVzVFVFyVFxVFzyx 即即（1.48）則力所做的功為則力所做的功為 可見(jiàn)力可見(jiàn)力F所做的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。滿足（所做的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。滿足（1.47）式）式或（或（1.

31、48）式的力稱(chēng)為保守力。）式的力稱(chēng)為保守力。 由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：drdFdmmddT.)21(2對(duì)上式積分得對(duì)上式積分得 T+V=E=常數(shù)常數(shù) （1.50）式中單值標(biāo)量函數(shù)式中單值標(biāo)量函數(shù)V稱(chēng)為物體的勢(shì)能，稱(chēng)為物體的勢(shì)能，T+V為物體的機(jī)械能，上式表明：為物體的機(jī)械能，上式表明：如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力FF不做功或不做功或機(jī)械能守恒定律。機(jī)械能守恒定律。為保守力，則質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒為保守力，則質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒 1.4 牛頓力學(xué)理論的應(yīng)用例題牛頓力學(xué)理論的應(yīng)用例題 例例1 長(zhǎng)距離自由落體。長(zhǎng)距離自由落體。試求彗星在萬(wàn)有引力作用下從距太陽(yáng)試求彗星在萬(wàn)有引力作用下從

32、距太陽(yáng)a處到處到b處所用的時(shí)間，其中處所用的時(shí)間，其中ab R，R為太陽(yáng)半徑為太陽(yáng)半徑 解：取圖示的直角坐標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為解：取圖示的直角坐標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為2ZmmGZm 2ZmmGdZZdZmdtZdmZm dZZmmGZdZm2 )11(212aZmGZ dtdZaZmGZ )11(2dZZaaZmGdtba 21dZZaaZmGt21axdxdZxaZ2, )1(2 )1arcsin211(2| )arcsin41121(212310231023ababbamGaxxxmGadxxmGatabab 積分積分 ZZaZdZmGZdZ02 得得 令令 代入上式：代入上式：O Zmf

33、太陽(yáng)中心太陽(yáng)中心 圖圖1.14 例例2 兩個(gè)小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動(dòng)兩個(gè)小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動(dòng) 解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？ 如圖如圖1.15，大環(huán)在豎直方向所受的合力為，大環(huán)在豎直方向所受的合力為 F=T-2Ncos-mg (1)2cos mRNmg （2） mRmg sin（3）小環(huán)沿大環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為小環(huán)沿大環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為由（由（3）式，有）式，有 dgdRsin 積分上式得積分上式得)cos1(sin2102 gdgR（4） （4）式代入（）式代入（2）式可得）式可得)2cos3()cos1(2coscos2 mgmgmgmR

34、mgN （5） （5）式代入（）式代入（1）式：）式：gmmgTF cos)2cos3(2（6） 當(dāng)合力當(dāng)合力F0時(shí)大環(huán)上升，這時(shí)時(shí)大環(huán)上升，這時(shí)T=0，于是（，于是（6）式化為）式化為0cos4cos660cos4cos622 mmmmmm )2311(31cosmm 上式成立的條件為上式成立的條件為 mmmm 23, 0231即即，因此：，因此： 大環(huán)可上升的條件為大環(huán)可上升的條件為mm 23 大環(huán)開(kāi)始上升時(shí)小環(huán)所處的位置為大環(huán)開(kāi)始上升時(shí)小環(huán)所處的位置為)2311(31cos0mmarc 例例3質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線 sin4RS 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)解解:半徑為半徑為R的圓周沿的圓周沿x軸純滾動(dòng)時(shí)軸純

35、滾動(dòng)時(shí),圓周上一點(diǎn)圓周上一點(diǎn)P(x,y)的軌跡即為擺線的軌跡即為擺線.本題給本題給出擺線方程出擺線方程,求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度的大小求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度的大小. 擺線方程通常表成直角坐標(biāo)形式擺線方程通常表成直角坐標(biāo)形式.如圖如圖1.16所示所示: ORCYDRCEPM圖圖1.16XjRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr)cos1()sin()cos1()sin(cossin )cos1()sin( RyRx (1) 上式為上式為M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式),稱(chēng)為擺線稱(chēng)為擺線(式旋輪線式旋輪線)參數(shù)方程參數(shù)方程. dRdRdRdRdydxdS2sin2co

36、s1(2)sin()cos1()()(2222 積分得積分得)2cos1(4)( RS (2) (2) 232,223設(shè)設(shè)x軸正向與軌道切線正向之間的夾角為軸正向與軌道切線正向之間的夾角為,由圖由圖1.16知知:則則(2)式為式為 )sin1(4)23cos(14)( RRS將弧坐標(biāo)原點(diǎn)移至將弧坐標(biāo)原點(diǎn)移至4R處處,上式為上式為 sin4)(RS (3) (3) (3)式為以弧長(zhǎng)為變量的擺線方程式為以弧長(zhǎng)為變量的擺線方程(軌跡方程軌跡方程)sin24cos4RaRS cos4cos4RddRddS cos4cos4)cos4(222RRRan nnneReReaeaa cos4sin22 22

37、24 Raaan 可見(jiàn)可見(jiàn):切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點(diǎn)的位置改變變化切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點(diǎn)的位置改變變化,但總的加速度的大小是常量但總的加速度的大小是常量 例例4 變質(zhì)量方塊串的運(yùn)動(dòng)。變質(zhì)量方塊串的運(yùn)動(dòng)。x y F O 圖圖1.17 NF2TF1TF方塊串的總長(zhǎng)為方塊串的總長(zhǎng)為L(zhǎng)，單位質(zhì)量為，單位質(zhì)量為，開(kāi)，開(kāi)始時(shí)排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣，始時(shí)排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣，小方塊與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)為小方塊與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，用恒力，用恒力F沿沿水平方向從左端推動(dòng)該列小方塊。求當(dāng)左端水平方向從左端推動(dòng)該列小方塊。求當(dāng)左端剛好達(dá)到桌緣時(shí)，這列小方塊的速度。剛好達(dá)到桌緣時(shí)，

38、這列小方塊的速度。解：以桌面上（水平方向）和豎直方向解：以桌面上（水平方向）和豎直方向兩部分方塊串為研究對(duì)象，它們的質(zhì)量在運(yùn)兩部分方塊串為研究對(duì)象，它們的質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷變化，是變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其動(dòng)過(guò)程中不斷變化，是變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)方程分別為運(yùn)動(dòng)方程分別為 1)(TFFgxxxdtd （1）2)(TFFygyydtd （2）在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元dldm 的運(yùn)動(dòng)方程為的運(yùn)動(dòng)方程為21TTNFFFrdl （3） 當(dāng)當(dāng)0 dldm 時(shí)時(shí)021 TTNFFFNTTFFF2221 代入（代入（1）、（）、（2）式，并相減，得）式，并相減，得 Fgyxyyxxdtd )()(

39、因因yxLyxLyx ,，代入上式，可得，代入上式，可得yLggLFy)1()( yLggLFdyydydtdydyydy)1()( dyyLggLFydy) 1()( 積分上式并利用初始條件積分上式并利用初始條件t=0時(shí)，時(shí)，0,0 yy，得，得gLFLLgLgLFy)1(2)1()(22122 例例5帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，磁感應(yīng)強(qiáng)度為EB 求電荷量為求電荷量為q，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為 解：（解：（1）帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)）帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 運(yùn)

40、動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 Btrqtrm )()( （1）BBkB 設(shè)設(shè)沿沿Z軸正向：軸正向： ,則則 )(Brmqr （2）粒子受什么力作用？粒子受什么力作用？ 速度速度用用k標(biāo)乘（標(biāo)乘（2）式：）式：0)()(. tZBrmqkrk 常量常量 Z（3）即沿即沿Z軸方向（軸方向（B方向）的速度分量不變（為何不變？）方向）的速度分量不變（為何不變？） 動(dòng)能動(dòng)能 將將r點(diǎn)乘（點(diǎn)乘（1）式：）式：0)( Btrr qrrm 0)21(2 rmdtd 或或 常常量量 221rmT（4） 即粒子的動(dòng)能守恒（何故？）即粒子的動(dòng)能守恒（何故？） 方程（方程（2）的分量式為）的分量式為)(j xi ymgBkzj y

41、i x 0)()()()()(tztxtytytx （5） 式中式中 mqB （6） 稱(chēng)為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學(xué)中一個(gè)重要的特征量。稱(chēng)為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學(xué)中一個(gè)重要的特征量。 運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡 將（將（5）式中的第一、二兩式再對(duì)）式中的第一、二兩式再對(duì)t求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 0)()(0)()(22tytytxtx （）（） （7） 積分可得積分可得 00)cos()()sin()(yttyxttx 將（將（5）式中的第三式）式中的第三式0)( tz 對(duì)對(duì)t積分二次得積分二次得（）（） 0/)(zttz （8）和（）和（9）式即為粒子的軌跡方程，（）式即為粒子的軌跡方程，（

42、8）式表示：帶電粒子）式表示：帶電粒子磁感應(yīng)線做橫磁感應(yīng)線做橫向圓圈運(yùn)動(dòng)；（向圓圈運(yùn)動(dòng)；（9）式表示：帶電粒子沿磁場(chǎng)方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。）式表示：帶電粒子沿磁場(chǎng)方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。0/)(zttz 00, yx對(duì)于運(yùn)動(dòng)平面（對(duì)于運(yùn)動(dòng)平面（）上的觀察者：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是以（）上的觀察者：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是以（）為圓心（稱(chēng)為引導(dǎo)中心）的圓，圓的半徑（稱(chēng)為回旋半徑）為）為圓心（稱(chēng)為引導(dǎo)中心）的圓，圓的半徑（稱(chēng)為回旋半徑）為Bqmr （10）回旋方向與回旋方向與q的正負(fù)有關(guān)（見(jiàn)圖的正負(fù)有關(guān)（見(jiàn)圖1.18）yxzOByyy(a)(b)yyyxzOBy_圖圖1.18(a)(b)圖圖1.19對(duì)于靜止觀察者：帶

43、電粒子繞磁感應(yīng)線作螺旋運(yùn)動(dòng)，其軌跡形成一個(gè)對(duì)于靜止觀察者：帶電粒子繞磁感應(yīng)線作螺旋運(yùn)動(dòng)，其軌跡形成一個(gè)螺旋管（見(jiàn)圖螺旋管（見(jiàn)圖1.19） E/EB OOxz圖圖1.20 （2）帶電粒子在均勻恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)）帶電粒子在均勻恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 設(shè)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方向?yàn)樵O(shè)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方向?yàn)?kEjEEkBB/ 牛頓力學(xué)方程的分量為牛頓力學(xué)方程的分量為 /)()()()()(qEtzEmqtxtytytx （11）積分（積分（11）中的第三式，很容易求得沿磁場(chǎng)方向的速度）中的第三式，很容易求得沿磁場(chǎng)方向的速度ztmqEtz0/)( （12） 上式表明帶電粒子沿磁場(chǎng)方向作勻加速度運(yùn)動(dòng)。上式表明帶電粒子沿

44、磁場(chǎng)方向作勻加速度運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化討論，設(shè)為簡(jiǎn)化討論，設(shè)E/ =0，jEE 。將（。將（11）式中的第一、二兩式）式中的第一、二兩式對(duì)對(duì)t再求導(dǎo)一次，然后連續(xù)積分兩次，可得再求導(dǎo)一次，然后連續(xù)積分兩次，可得 )sin()()cos()( ttyBEttx（13）是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（13）式表明：）式表明：粒子除粒子除了圍繞其引導(dǎo)中心作圓周運(yùn)動(dòng)外，其引導(dǎo)中心還沿著了圍繞其引導(dǎo)中心作圓周運(yùn)動(dòng)外，其引導(dǎo)中心還沿著x軸方向漂移，軸方向漂移，漂移速漂移速度為度為 式中式中與與 2BBEBEEF 或或 （14） 在在受控核聚變受控核聚變中，需要采用磁場(chǎng)來(lái)約束帶電粒子（

45、等離子體），使之在中，需要采用磁場(chǎng)來(lái)約束帶電粒子（等離子體），使之在c810度高溫下聚集不散，磁場(chǎng)約束裝置設(shè)計(jì)的一個(gè)重要任務(wù)就是克服度高溫下聚集不散，磁場(chǎng)約束裝置設(shè)計(jì)的一個(gè)重要任務(wù)就是克服帶電粒帶電粒子因漂移運(yùn)動(dòng)而引起的損失。子因漂移運(yùn)動(dòng)而引起的損失。 地球是一個(gè)磁體，周?chē)械卮艌?chǎng)存在。地球的大氣層中有由大量的帶電地球是一個(gè)磁體，周?chē)械卮艌?chǎng)存在。地球的大氣層中有由大量的帶電粒子（電子、正離子、負(fù)離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負(fù)粒子（電子、正離子、負(fù)離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負(fù)總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱(chēng)為等離子體。太陽(yáng)也是由等離子總電荷相等，但不是中性的

46、而是呈電性的稱(chēng)為等離子體。太陽(yáng)也是由等離子體組成的，不斷從太陽(yáng)吹向地球的所謂體組成的，不斷從太陽(yáng)吹向地球的所謂“太陽(yáng)風(fēng)太陽(yáng)風(fēng)”，實(shí)際上就是帶電粒子流，實(shí)際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場(chǎng)的作用時(shí)，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論這些帶電粒子受到地磁場(chǎng)的作用時(shí)，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論的帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)很有實(shí)際意義的力學(xué)問(wèn)題。的帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)很有實(shí)際意義的力學(xué)問(wèn)題。 1.5 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo) (1)習(xí)題類(lèi)型及基本解法習(xí)題類(lèi)型及基本解法 牛頓動(dòng)力學(xué)問(wèn)題大體上分為兩類(lèi)牛頓動(dòng)力學(xué)問(wèn)題大體上分為兩類(lèi): )(trr aF .已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

47、動(dòng)學(xué)方程,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度、加速度加速度、和所受的力和所受的力：這是正問(wèn)題。這是正問(wèn)題。所受的力所受的力和加速度和加速度 基本解法基本解法：運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的微分法，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的微分法，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)(trr aamF F 對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t，再由第二定律，再由第二定律求導(dǎo)數(shù)，即可求得速度求導(dǎo)數(shù)，即可求得速度可求出質(zhì)點(diǎn)可求出質(zhì)點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)的初始條件（狀態(tài)），求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程F)(trr a .已知質(zhì)點(diǎn)所受的力、速度、加速度和軌跡。這是逆問(wèn)題這是逆問(wèn)題。 基本解法：基本解法：根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的積分法或解微根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的積分法或解

48、微分方程方法，求出方程的解析解可得速度分方程方法，求出方程的解析解可得速度 )(trr )(trr 、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，消去，消去中的參數(shù)中的參數(shù)t可得軌跡方程?？傻密壽E方程。（2）解題的思路和步驟）解題的思路和步驟 確定研究對(duì)象，并隔離出來(lái)；確定研究對(duì)象，并隔離出來(lái)； 選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析；對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析； 根據(jù)已知條件和所求的量，確定解題方法，建立方程；根據(jù)已知條件和所求的量，確定解題方法，建立方程； 解方程，求出要求的量；解方程，求出要求的量； 必要時(shí)對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。必要時(shí)對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。 （3）范例）范例 例例1

49、 質(zhì)點(diǎn)在粘性介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)在粘性介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)。 mkR Ohmgm圖圖1.20 xmkmgxm （1） 請(qǐng)思考：方程中重力請(qǐng)思考：方程中重力mg和阻力和阻力xmk為何都是為何都是“-”的？的？ ),(xkgdtxdx 所以所以因因 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)無(wú)初速度地自離地面為的質(zhì)點(diǎn)無(wú)初速度地自離地面為h處豎直處豎直下落，空氣阻力大小與速度一次方成正比，即下落，空氣阻力大小與速度一次方成正比，即R=mkv，k為可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定的常數(shù)。試研究其運(yùn)動(dòng)。為可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定的常數(shù)。試研究其運(yùn)動(dòng)。 解：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中受的力有：重力解：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中受的力有：重力mg、空氣阻力空氣阻力R=mkv，取圖，取圖1.20

50、所示的直角坐標(biāo)，所示的直角坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 dtxkgxd 初始條件為：初始條件為：t=0時(shí)，時(shí)，0,00 hx，積分上式，得，積分上式，得tkgekhxkt ) 1(12（2）) 1( ktekgx （3） 討論：當(dāng)討論：當(dāng)t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度恒恒量量 kgekgkt) 1( 這時(shí)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)（為什么？）這時(shí)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)（為什么？） 例例2 在上例中，如果阻力與速度的平方成正比：在上例中，如果阻力與速度的平方成正比：22 mgkR ，試研究，試研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 解：在圖解：在圖1.20的坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為的坐標(biāo)系中，

51、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為22 mgkmgxm （1） （想一想：上式中阻力（想一想：上式中阻力22 mgk為何是為何是“+”？）？） )1 (22 kgdtdx gdtkd 221 （2） 積分（積分（2）式得）式得)(1gkttghk )cosh(ln12gktgkhx )(gkttghk1 討論：討論：當(dāng)當(dāng)t時(shí)，時(shí)，1，故極限速度為，故極限速度為 小結(jié)小結(jié) 求解物體在介質(zhì)阻力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)：求解物體在介質(zhì)阻力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)： 1.介質(zhì)對(duì)物體的阻力規(guī)律是很復(fù)雜的，因?yàn)樽枇Φ拇笮∨c運(yùn)動(dòng)物體介質(zhì)對(duì)物體的阻力規(guī)律是很復(fù)雜的，因?yàn)樽枇Φ拇笮∨c運(yùn)動(dòng)物體的形狀、大小和介質(zhì)的物

52、理性質(zhì)（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運(yùn)的形狀、大小和介質(zhì)的物理性質(zhì)（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)，通常用下式表示：動(dòng)的速度有關(guān)，通常用下式表示： )( scR 式中：式中：c與運(yùn)動(dòng)物體的形狀以及物理性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)；與運(yùn)動(dòng)物體的形狀以及物理性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)；介質(zhì)密度；介質(zhì)密度； S物體投影在物體投影在于速度的平面上的面積；于速度的平面上的面積； （v）物體運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度物體運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度v的函數(shù)，在不同的速度范圍內(nèi)，的函數(shù)，在不同的速度范圍內(nèi)，（v）的形式不同。）的形式不同。 kR 2 kR 2.質(zhì)點(diǎn)在空氣阻力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在速度不大的情況下，阻力的大小與質(zhì)點(diǎn)在空氣阻力作用下

53、運(yùn)動(dòng)時(shí)，在速度不大的情況下，阻力的大小與接近彈速范圍內(nèi)，接近彈速范圍內(nèi)，阻力大小與速度的二次方成正比：阻力大小與速度的二次方成正比：接近聲速時(shí)，一般接近聲速時(shí)，一般R與與v的關(guān)系不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系表示。的關(guān)系不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系表示。 速度的一次方成正比：速度的一次方成正比：（k0，k是一個(gè)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的阻力系數(shù)）；在是一個(gè)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的阻力系數(shù)）；在；當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度增至；當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度增至 3.求解質(zhì)點(diǎn)在阻力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題求解質(zhì)點(diǎn)在阻力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.首先要正確建立運(yùn)動(dòng)微分方程，首先要正確建立運(yùn)動(dòng)微分方程，其關(guān)鍵是正確確定阻力在方程中的符號(hào)。阻力其關(guān)鍵是正確確定阻力在方程中的符號(hào)。阻力R的方向恒與

54、速度的方向恒與速度v反向，但反向，但R在運(yùn)動(dòng)微分方程中不一定為在運(yùn)動(dòng)微分方程中不一定為“-”，例如在前面的，例如在前面的例例1中阻力為中阻力為“-mkv”，而而在在例例2中則為中則為“+的反向的反向決定，還與坐標(biāo)的取向及決定，還與坐標(biāo)的取向及22 mgkn 的符號(hào)有關(guān)。的符號(hào)有關(guān)。 ”，原因是阻力，原因是阻力R在方程中的正負(fù)號(hào)不是簡(jiǎn)單地由在方程中的正負(fù)號(hào)不是簡(jiǎn)單地由R與與v4.確定阻力確定阻力R在微分方程中的符號(hào)的方法與步驟：在微分方程中的符號(hào)的方法與步驟： 先選定坐標(biāo)的正方向；先選定坐標(biāo)的正方向； 然后根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方向，定出速度然后根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方向，定出速度v在取定的坐標(biāo)系中的正

55、負(fù)；在取定的坐標(biāo)系中的正負(fù)； 再根據(jù)再根據(jù)R恒與恒與v反向判定反向判定R在選定的坐標(biāo)系中的正負(fù)；在選定的坐標(biāo)系中的正負(fù)； 最后有最后有n 的符號(hào)確定的符號(hào)確定R在方程中的正負(fù)。在方程中的正負(fù)。 1 22 mgk例如：在例如：在例例1中，中，x軸向上為軸向上為“+”，質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，v為為“-”，根據(jù)，根據(jù)R恒恒為為“-”，故阻力，故阻力R在方程中為在方程中為“-”：與與v反向知反向知R向上，應(yīng)為向上，應(yīng)為“+”，但由于，但由于R=-mkv，而在，而在例例2中，由于中，由于v為為“+”，故阻力，故阻力R在方程中為在方程中為“+”：R=+ 例例3 質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng) ayx4

56、2 ax20 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程為的小環(huán)，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程為.試求小環(huán)自試求小環(huán)自處自由滑至拋物線頂點(diǎn)的速度及小環(huán)在此時(shí)所受的約束處自由滑至拋物線頂點(diǎn)的速度及小環(huán)在此時(shí)所受的約束反力。反力。 解：本題是質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，屬動(dòng)力學(xué)的逆問(wèn)題。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌解：本題是質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，屬動(dòng)力學(xué)的逆問(wèn)題。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，故采用自然坐標(biāo)法較簡(jiǎn)便。跡，故采用自然坐標(biāo)法較簡(jiǎn)便。質(zhì)點(diǎn)受哪些力作用？質(zhì)點(diǎn)受哪些力作用？如圖如圖1.21，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為 cossin2mgNmmgdtdm思考：式右邊為何為思考：式右邊為何為“-”？

57、 根據(jù)初始條件為：根據(jù)初始條件為：t=0時(shí)，時(shí)，aaaaxy 4442200，積分式，得，積分式，得 ag22 ag2 XYOmgnN N圖圖.由由(2)式：式： cos2mgmN ,21,2)4(2adxydyaxaxdxddxdyy 因因 2322232)41(121)1(1axayy 將、式代入式，得將、式代入式，得 cos)41(222322mgaxaagmN 在頂點(diǎn)在頂點(diǎn)O處：處：x=0，=0，所以，所以 N=mg+mg=2mg 再分析兩個(gè)約束問(wèn)題的例題。再分析兩個(gè)約束問(wèn)題的例題。 例例4 質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿豎直平面內(nèi)光滑的旋輪線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿豎直平面內(nèi)光滑的旋輪線運(yùn)動(dòng).旋輪

58、線的參數(shù)方程為旋輪線的參數(shù)方程為 )cos1()sin( RyRx求質(zhì)點(diǎn)在求質(zhì)點(diǎn)在 =0附近擺動(dòng)的周期。附近擺動(dòng)的周期。 解：解：題目要求質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)的周期，因此必須求出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的微分方程題目要求質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)的周期，因此必須求出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的微分方程.采用自然坐標(biāo)法采用自然坐標(biāo)法.如圖如圖1.22所示，以所示，以O(shè)為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)=0時(shí)，時(shí)，s=0，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為運(yùn)動(dòng)微分方程為 2cos2sin2 mgNmmgsm OBYXCNRmgn圖圖1.222sin 由于不需要求約束反力，故只考慮式由于不需要求約束反力，故只考慮式.因因s，t，均為變量，不能直接積分，均為變量，不能直接積分

59、，。由參數(shù)方程，有。由參數(shù)方程，有為此，設(shè)法消去為此，設(shè)法消去 dRdydRdxsin,)cos1( dRdRRdydxds2cos2sin)cos1(222222 設(shè)設(shè)t=0時(shí)，時(shí)，0,0,0000 ss，積分上式，得，積分上式，得 2sin42cos20 RdRs Rs42sin 將式代入式將式代入式 sRgs4 02 ss 式為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)微分方程，式中式為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)微分方程，式中 Rg42 為圓頻率，則周期為圓頻率，則周期 gRT422 例例5 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小珠串在一光滑的鐵絲上，鐵絲在豎直平面內(nèi)且其的小珠串在一光滑的鐵絲上，鐵絲在豎直平面內(nèi)且其形狀為拋物線：形狀為拋物線：pxy2 .初

60、始時(shí)小珠的初始時(shí)小珠的高度高度y=h，初速為零，初速為零. 求小珠下滑求小珠下滑時(shí)時(shí)所受的約束力。所受的約束力。 解：采用自然坐標(biāo)法解：采用自然坐標(biāo)法.設(shè)設(shè)t=0時(shí)，時(shí)， NmgNmgmmgmgdtdmcoscossinsin2 積分式，得積分式，得 )(22yhg ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)s=0.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為 ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因 222222111111coscosy