第10章 數(shù)值積分計算

1、數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28數(shù)值積分計算吳鵬（rocwoods）MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28主要內(nèi)容主要內(nèi)容矩形區(qū)域積分以及離散數(shù)據(jù)積分矩形區(qū)域積分以及離散數(shù)據(jù)積分 含參數(shù)的積分含參數(shù)的積分一般區(qū)域二重、三重積分一般區(qū)域二重、三重積分一般區(qū)域一般區(qū)域n重積分重積分 蒙特卡洛法計算蒙特卡洛法計算n重積分重積分 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28第一節(jié)矩形區(qū)域積分以及離散數(shù)第一節(jié)矩形

2、區(qū)域積分以及離散數(shù)據(jù)積分據(jù)積分 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28一、一、 矩形區(qū)域積分矩形區(qū)域積分積分上下限是常數(shù)，分單重、二重、三重三種情況積分上下限是常數(shù)，分單重、二重、三重三種情況1. 單重單重quad (自適應(yīng)自適應(yīng)Simpson 積分積分)quadl (自適應(yīng)自適應(yīng)Gauss-Lobatto積分，最常用積分，最常用 )quadgk (自適應(yīng)自適應(yīng) Gauss-Kronrod積分，尤其適合震蕩積分、含奇點的積分，尤其適合震蕩積分、含奇點的積分；從積分；從R2007b開始支持開始支持) 具體用法參見書中具體用法參見書中【例例10

3、.1-1】 2.二重情形二重情形一般二重積分可以用下面兩個函數(shù)解決：一般二重積分可以用下面兩個函數(shù)解決：dblquadquad2d (R2009a開始支持，不僅可以求矩形區(qū)域二重積分，還可以開始支持，不僅可以求矩形區(qū)域二重積分，還可以求一般區(qū)域二重積分求一般區(qū)域二重積分)具體用法參見書中具體用法參見書中【例例10.1-2】 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28一一 、矩形區(qū)域積分、矩形區(qū)域積分3. 三重情形三重情形MATLAB中可以利用中可以利用triplequad函數(shù)求解長方體區(qū)域的三重函數(shù)求解長方體區(qū)域的三重積分。積分。具體用法參見書

4、中具體用法參見書中【例例10.1-3】4. 向量化積分向量化積分所謂向量化積分，是指被積函數(shù)含有參數(shù)，需要對參數(shù)的一所謂向量化積分，是指被積函數(shù)含有參數(shù)，需要對參數(shù)的一系列值求出相應(yīng)的積分。向量話積分可以用系列值求出相應(yīng)的積分。向量話積分可以用quadv函數(shù)函數(shù) 。具體用法參見書中具體用法參見書中【例例10.1-4】數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28二、二、 離散數(shù)據(jù)積分離散數(shù)據(jù)積分離散數(shù)據(jù)積分的函數(shù)離散數(shù)據(jù)積分的函數(shù)MATLAB只有只有trapz函數(shù)，是針對一重情形的，函數(shù)，是針對一重情形的，如果是二重情形，需要自己編寫，其中會用到如

5、果是二重情形，需要自己編寫，其中會用到trapz函數(shù)函數(shù) 。用法示例參見書中用法示例參見書中【例例10.1-5】 以及以及【例例10.1-6】 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28第二節(jié)第二節(jié) 含參數(shù)的積分含參數(shù)的積分 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28在解決實際問題的時候我們常要求解一些帶參數(shù)的積分問題，在解決實際問題的時候我們常要求解一些帶參數(shù)的積分問題，這涉及到參數(shù)的傳遞，總的說來有以下幾種方法可以求解：這涉及到參數(shù)的傳遞，總的說來有以下幾種方法可以求解：用用inline+n

6、um2str方法方法(MATLAB7.0以前版本使用，以前版本使用，7.0以后不以后不推薦使用推薦使用)利用匿名函數(shù)實現(xiàn)利用匿名函數(shù)實現(xiàn)利用嵌套函數(shù)實現(xiàn)利用嵌套函數(shù)實現(xiàn)利用積分函數(shù)本身傳遞參數(shù)利用積分函數(shù)本身傳遞參數(shù)這幾種方法的具體實現(xiàn)辦法可以參見這幾種方法的具體實現(xiàn)辦法可以參見【例例10.2-1】 。數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28第三節(jié)第三節(jié) 一般區(qū)域二重、三重積分一般區(qū)域二重、三重積分 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28一、一、 概要概要一般區(qū)域上的二重積分，低版本的一般

7、區(qū)域上的二重積分，低版本的MATLAB向來支持不好，向來支持不好，7.X版本之前不能通過簡單的形式直接求取一般區(qū)域上的的二重積版本之前不能通過簡單的形式直接求取一般區(qū)域上的的二重積分，往往要借助廣泛流傳的分，往往要借助廣泛流傳的NIT工具箱（數(shù)值積分工具箱）來實工具箱（數(shù)值積分工具箱）來實現(xiàn)。后來到了現(xiàn)。后來到了7.X版本，版本，MATLAB引入了匿名函數(shù)結(jié)構(gòu)，引入了匿名函數(shù)結(jié)構(gòu)，dblquad的的被積函數(shù)可以是匿名函數(shù)的形式，利用匿名函數(shù)結(jié)構(gòu)，通過適當(dāng)改被積函數(shù)可以是匿名函數(shù)的形式，利用匿名函數(shù)結(jié)構(gòu)，通過適當(dāng)改寫被積函數(shù)。寫被積函數(shù)。dblquad可以求解一般區(qū)域上的二重積分。但這種改可以求

8、解一般區(qū)域上的二重積分。但這種改寫就是將積分區(qū)域表示成邏輯表達(dá)式形式并與被積函數(shù)相乘，本質(zhì)寫就是將積分區(qū)域表示成邏輯表達(dá)式形式并與被積函數(shù)相乘，本質(zhì)上還是上還是 計算的矩形區(qū)域的積分。計算的矩形區(qū)域的積分。仔細(xì)分析仔細(xì)分析dblquad的幫助文檔中求一般區(qū)域二重積分的例子就的幫助文檔中求一般區(qū)域二重積分的例子就會發(fā)現(xiàn)，這種辦法是把原被積函數(shù)外推到了一個矩形區(qū)域上來實現(xiàn)會發(fā)現(xiàn)，這種辦法是把原被積函數(shù)外推到了一個矩形區(qū)域上來實現(xiàn)的，該矩形區(qū)域包含了被積區(qū)域，在被積區(qū)域上，外推函數(shù)取值和的，該矩形區(qū)域包含了被積區(qū)域，在被積區(qū)域上，外推函數(shù)取值和原函數(shù)一樣，而在矩形區(qū)域內(nèi)被積區(qū)域外的那部分，外推函數(shù)取

9、值原函數(shù)一樣，而在矩形區(qū)域內(nèi)被積區(qū)域外的那部分，外推函數(shù)取值都為都為0.這樣外推函數(shù)在矩形區(qū)域上積分的結(jié)果就等于原被積函數(shù)在這樣外推函數(shù)在矩形區(qū)域上積分的結(jié)果就等于原被積函數(shù)在被積區(qū)域的結(jié)果。這種數(shù)學(xué)上簡單的變換導(dǎo)致的結(jié)果就是，按這種被積區(qū)域的結(jié)果。這種數(shù)學(xué)上簡單的變換導(dǎo)致的結(jié)果就是，按這種辦法，計算量大增，特別是被積區(qū)域非常不規(guī)則并布滿整個矩形區(qū)辦法，計算量大增，特別是被積區(qū)域非常不規(guī)則并布滿整個矩形區(qū)域的時候。域的時候。 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28一、一、 概要概要從從MATLAB R2009a版本起，版本起，MATLAB終

10、于有了專門求解一般區(qū)終于有了專門求解一般區(qū)域域二重積分的函數(shù)二重積分的函數(shù)quad2d，該函數(shù)采用的自適應(yīng)積分算法基于，該函數(shù)采用的自適應(yīng)積分算法基于L.F. Shampine 的文章：的文章：Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB, Journal of Computational and Applied Mathematics, 211, 2008。該函數(shù)。該函數(shù)求解一般區(qū)域二重積分的效率要遠(yuǎn)高于上面提到的求解一般區(qū)域二重積分的效率要遠(yuǎn)高于上面提到的dblquad的方法。的方法。雖然雖然quad2d可以求解一般區(qū)域二重積分，但還是不能直接求解一可以

11、求解一般區(qū)域二重積分，但還是不能直接求解一般般區(qū)域三重積分，而區(qū)域三重積分，而NIT工具箱也沒有一般區(qū)域三重積分的計算函數(shù)工具箱也沒有一般區(qū)域三重積分的計算函數(shù) 。這些需要靈活運用這些需要靈活運用MATLAB相關(guān)函數(shù)來構(gòu)建。相關(guān)函數(shù)來構(gòu)建。 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28二、一般區(qū)域二重積分的計算二、一般區(qū)域二重積分的計算 dblquad求解一般區(qū)域二重三重積分的思路方法，就是將被積函數(shù)求解一般區(qū)域二重三重積分的思路方法，就是將被積函數(shù)“延延拓拓”到矩形或者長方體區(qū)域，但是這種方法不可避免引入很多乘到矩形或者長方體區(qū)域，但是這種方法

12、不可避免引入很多乘0運算浪運算浪費時間。而費時間。而quad2d雖然效率很高，但是雖然效率很高，但是R2009a之前沒有這個函數(shù)。因之前沒有這個函數(shù)。因此，要想在此，要想在2009a之前的之前的MATLAB7版里里計算一般區(qū)域二重三重積版里里計算一般區(qū)域二重三重積分，需要開辟新的方法。新的方法是調(diào)用已有的分，需要開辟新的方法。新的方法是調(diào)用已有的MATLAB函數(shù)求解，函數(shù)求解，在求一般區(qū)域二重積分時，效率和在求一般區(qū)域二重積分時，效率和quad2d相比有一些差距，但是相對相比有一些差距，但是相對于于“延拓延拓”函數(shù)的做法，效率大大提高了函數(shù)的做法，效率大大提高了 ?！纠?0.3-2】和和【例

13、例10.3-3】給出了這一方法的應(yīng)用實例，可以看出該方給出了這一方法的應(yīng)用實例，可以看出該方法在法在R2009a以前的版本中不失為一種方法，效率要明顯高于以前的版本中不失為一種方法，效率要明顯高于dblquad幫幫助文檔里推薦的做法。更重要的是，這給我們求解一般區(qū)域三重積分提助文檔里推薦的做法。更重要的是，這給我們求解一般區(qū)域三重積分提供了一種途徑。供了一種途徑。數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28三、一般區(qū)域三重積分的計算三、一般區(qū)域三重積分的計算模板模板1：quadl(x) arrayfun(xx) quad2d(被積函數(shù)被積函數(shù)f(

14、xx,y,z)關(guān)于關(guān)于y,z變量的函數(shù)句變量的函數(shù)句柄柄,y積分下限積分下限y1(xx),y積分上限積分上限y2(xx),z積分下限積分下限z1(xx,y),z積分上限積分上限z2(xx,y),x),x積分下限值積分下限值,x積分上限值積分上限值)模板模板2：quad2d(x,y) arrayfun(xx,yy) quadl(被積函數(shù)被積函數(shù)f(xx,yy,z)關(guān)于關(guān)于z變量的函數(shù)變量的函數(shù)句柄句柄,z積分下限積分下限z1(xx,yy),z積分上限積分上限z2(xx,yy),x,y),x積分下限值積分下限值,x積分上限值積分上限值,y積分下限積分下限y1(x),y積分上限積分上限y2(x) 模

15、板模板3：quadl(x) arrayfun(xx) quadl(y) arrayfun(yy) quadl(被積函數(shù)被積函數(shù)f(xx,yy,z)關(guān)于關(guān)于z變量的函數(shù)句柄變量的函數(shù)句柄,z積分下限積分下限z1(xx,yy),z積分上限積分上限z2(xx,yy),y),y積積分下限分下限y1(xx),y積分上限積分上限y2(xx),x),x積分下限值積分下限值,x積分上限值積分上限值)模板使用說明：模板使用說明：x,y,z是積分變量，模板中除了用語言描述的參量用相應(yīng)表達(dá)式是積分變量，模板中除了用語言描述的參量用相應(yīng)表達(dá)式替換掉外，其余結(jié)構(gòu)保持不變。替換掉外，其余結(jié)構(gòu)保持不變。 具體使用示例可以參

16、考具體使用示例可以參考【例例10.3-4】 數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28第四節(jié)第四節(jié) 一般區(qū)域一般區(qū)域n重積分的計算重積分的計算數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28介紹求解一般區(qū)域介紹求解一般區(qū)域n重積分的函數(shù)重積分的函數(shù)nIntegrate f = nIntegrate(fun,low,up) f為函數(shù)的返回值是為函數(shù)的返回值是n重積分積分結(jié)果。重積分積分結(jié)果。 fun是被積函數(shù)字符串形式，不同的變量依次以是被積函數(shù)字符串形式，不同的變量依次以x1,x2,.xn表示，（需要

17、注意的表示，（需要注意的是，必須以是，必須以x1,x2,.xn這種形式表示，其余像這種形式表示，其余像y1,y2,.yn或是其他表示方法都不或是其他表示方法都不行）。行）。 low和和up都是長度為都是長度為n的的cell數(shù)組，數(shù)組，low存儲從外到內(nèi)各重積分的積分下限函數(shù)，存儲從外到內(nèi)各重積分的積分下限函數(shù)，up存儲從外到內(nèi)各重積分的積分上限函數(shù)（都是字符串形式）。存儲從外到內(nèi)各重積分的積分上限函數(shù)（都是字符串形式）。low和和up內(nèi)的函內(nèi)的函數(shù)表示都要遵循一些原則，這些原則在程序注釋里進(jìn)行了說明數(shù)表示都要遵循一些原則，這些原則在程序注釋里進(jìn)行了說明 .nIntegrate函數(shù)源代碼以及使用

18、示例參考書中相關(guān)內(nèi)容以及函數(shù)源代碼以及使用示例參考書中相關(guān)內(nèi)容以及【例例10.4-1】至至【例例10.4-4】數(shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28第五節(jié)第五節(jié) 蒙特卡洛法計算蒙特卡洛法計算n重積分重積分?jǐn)?shù)值積分計算數(shù)值積分計算 吳鵬吳鵬, MATLAB從零到進(jìn)階從零到進(jìn)階. 2022-5-28一些積分重數(shù)比較高的積分，按照傳統(tǒng)方法進(jìn)行計算的話，運算量會非一些積分重數(shù)比較高的積分，按照傳統(tǒng)方法進(jìn)行計算的話，運算量會非常大，求解時間隨著重數(shù)的增加而迅速增加。在常大，求解時間隨著重數(shù)的增加而迅速增加。在10.4節(jié)雖然給出了一般區(qū)域節(jié)雖然給出了一般區(qū)域n重積分的通用程序，但是在實際計算中，重積分的通用程序，但是在實際計算中，n不會很大，一般不會很大，一般n超過超過5后，求解時后，求解時間就會長到無法接受。對于更高維的積分，一個非常有效的求解方法就是蒙間就會長到無法接受。對于更高維的積分，一個非常有效的求解方法就是蒙特卡洛積分法特卡洛積分法 。蒙特卡洛方法又稱隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗方法，它用于求積分時，與積蒙特卡洛方法又稱隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗方法，它用于求積分時，與積分重數(shù)無關(guān)，這點非常重要。雖然四維以下的積分用蒙特