全稱量詞與全稱命題

1、3 全稱量詞和存在量詞全稱量詞和存在量詞復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧什么是充分條件?什么是必要條件?什么是充要條件?在給定的真命題“若p則q”中，如果p q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件如果p q且q p,則p是q的充要條件填寫填寫“充分不必要，必要不充分，充要，既充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要不充分又不必要”。1）sinAsinB是是AB的的_條件。條件。2）在銳角）在銳角ABC中，中，sinAsinB是是 AB的的 _條件。條件。既不充分又不必要既不充分又不必要充要條件充要條件在數(shù)學(xué)中,常常見到下列形式的命題:(1)所有正方形都是矩形;(2)每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式;(3)

2、如果直線 垂直于平面 內(nèi)的任意一條直線,那么直線 垂直于平面 ;(4)任何實(shí)數(shù)乘0都等于0;(5)一切三角形的內(nèi)角和都等于180度.ll在上式的命題條件中,我們發(fā)現(xiàn)都有“所有”，“每一個(gè)”“任何一個(gè)”“任意一個(gè)”“一切”等這樣的描述定義全稱量詞：像上面的描述，在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題全稱命題舉例：全稱命題舉例：全稱命題符號(hào)記法：全稱命題符號(hào)記法：命題：對(duì)任意的nZ，2n+1是奇數(shù)； 所有的正方形都是矩形。 通常，將含有變量通常，將含有變量x的語句用的語句用p(x), q(x), r(x),表示，變量表示，變量x的取值范圍

3、用的取值范圍用M表示，那么，表示，那么，( ),xMp x ，全稱命題全稱命題“對(duì)對(duì)M中任意一個(gè)中任意一個(gè)x，有，有p(x)成立成立 ”可用符號(hào)簡記為：可用符號(hào)簡記為：讀作讀作“對(duì)任意對(duì)任意x屬于屬于M，有，有p(x)成立成立”。解：解：（1）假命題；）假命題； （2）真命題；）真命題； （3）假命題。）假命題。例例1 判斷下列全稱命題的真假：判斷下列全稱命題的真假：（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2） （3）對(duì)每一個(gè)無理數(shù)）對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)。也是無理數(shù)。2,1 1;xR x 歸納：歸納： 判斷全稱命題 xM,p(x)是真命題的方法： 判斷全稱命題 xM,p(x

4、)是假命題的方法：需要對(duì)集合需要對(duì)集合M中每個(gè)元素中每個(gè)元素x，證明，證明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一個(gè)元素中找到一個(gè)元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可 （舉反例）（舉反例）強(qiáng)調(diào)在某些全稱命題中,有時(shí)全稱量詞可以省略.如:末位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除;正方形是矩形;球面是曲面.練習(xí)：練習(xí)：2 判斷下列全稱命題的真假：判斷下列全稱命題的真假：（1）每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；）每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）2 |xx xx 是無理數(shù) ， 是無理數(shù)。1 課本課本 P13總結(jié):什么是全稱量詞?什么是全稱命題?

5、如何來判斷一全稱命題的真假性?在還有一些數(shù)學(xué)命題中,反映的是對(duì)個(gè)體或整體一部分的判斷.如:(1)有些三角形是直角三角形;(2)如果兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù),那么這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù);(3)在素?cái)?shù)中,有一個(gè)是偶數(shù);(4)存在實(shí)數(shù) ,使得 .x012 xx定義存在量詞:在以上命題中,“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞特稱命題：這樣含有存在量詞的命題叫作特稱命題例如例如, ,命題命題: :有的有的平行四邊形是菱形平行四邊形是菱形; ;有一個(gè)有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)素?cái)?shù)不是奇數(shù); ;有的有的向量方向不定向量方向不定; ;存在一個(gè)存在一個(gè)函數(shù)函數(shù), ,既是

6、偶函數(shù)又是奇函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù); ;有一些有一些實(shí)數(shù)不能取對(duì)數(shù)實(shí)數(shù)不能取對(duì)數(shù). .例題講解例，判斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題：（）奇數(shù)是整數(shù)；（）偶數(shù)能被整除；（）至少有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)解：（）“奇數(shù)是整數(shù)”是指“所有的奇數(shù)都是整數(shù)”，所以它是全稱命題（）“偶數(shù)能被整除”是指“每一個(gè)偶數(shù)都能被整除”，所以它是全稱命題（）“至少有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是特稱命題，下列命題為特稱命題的是（）A 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B 正四棱柱都是平行六面體C 不相交的兩條直線是平行直線 D 存在實(shí)數(shù)大于等于3練習(xí)，下列特稱命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)有些三角形不是等腰三角形

7、有的菱形是正方形A 0 B 1 C 2 D 3，判斷下列特稱命題的真假，判斷下列特稱命題的真假有一個(gè)實(shí)數(shù) ,使x0322 xx存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線;有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù).什么是存在量詞，特稱命題全稱命題和特稱命題有什么區(qū)別？判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并說明命題的真假:(1)所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù);(2)數(shù)列1,2,3,4,5的每一項(xiàng)都是偶數(shù);(3)5個(gè)數(shù)-2,-1,0,1,2都大于0.均是全稱命題,且都為假命題.從另一個(gè)角度來看以上問題,可知(1)只需指出“有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”就可以說明“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的(2)只需指出“數(shù)列1,2,3,4,5中有一項(xiàng)不

8、是偶數(shù)”就可以說明“數(shù)列1,2,3,4,5的每一項(xiàng)都是偶數(shù)”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的(3)只需指出“個(gè)數(shù)-2,-1,0,1,2中有一個(gè)數(shù)不大于0”就可以說明“5個(gè)數(shù)-2,-1,0,1,2都大于0”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的抽象概括由上述例可知：要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例就可以了實(shí)際上是要說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的強(qiáng)調(diào)全稱命題的否定是特稱命題問題判斷命題是全稱還是特稱命題，并指出真假.065)2(;310,10,10,10,10) 1 (25432至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根方程整除中有一個(gè)能被 xx命題(1)(2)均是特稱命題且是假命題上述兩命題的判斷可由另一個(gè)角度來考查:(1)中只需指出 中

9、的每一個(gè)數(shù)都不能被3整除,就可以說明原命題是錯(cuò)誤的.(2)也需只指出“方程的每一個(gè)根都不是負(fù)的”就可說明原命題是錯(cuò)誤的543210,10,10,10,100652 xx抽象概括由上述例可知：要說明一個(gè)特稱命題“存在一些對(duì)象滿足某一性質(zhì)”是錯(cuò)誤的，就要說明所有的對(duì)象都不滿足這一性質(zhì)實(shí)際上是要說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的強(qiáng)調(diào)特稱命題的否定是全稱命題例題講解例，寫出下列全稱命題和特稱命題的否定:(1)三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品;(2)方程 有一個(gè)根是偶數(shù).01582 xx分析(1)“三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品”這是一個(gè)全稱命題,要否定它,只需說明“在這三個(gè)給定產(chǎn)品中，有一個(gè)產(chǎn)品不是次品”即可(2)“方程有一個(gè)

10、根是偶數(shù)”這是一個(gè)特稱命題，要否定它，只需說明“方程的每一個(gè)根都不是偶數(shù)”即可01582 xx01582 xx解:(1)命題“三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品”的否定是：三個(gè)給定產(chǎn)品中至少有一個(gè)是正品；(2)命題“方程有一個(gè)根是偶數(shù)”的否定是：方程的每一個(gè)根都不是偶數(shù)01582 xx01582 xx同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：命題命題 全稱命題全稱命題特稱命題特稱命題所有的所有的xM，p(x)成立成立對(duì)一切對(duì)一切xM，p(x)成立成立對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)xM，p(x)成成 立立任選一個(gè)任選一個(gè)xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一個(gè)至少有一個(gè)x0M，使，使 p(x)成立成立對(duì)有些對(duì)有些x0M，使，使p(x)成成 立立對(duì)某個(gè)對(duì)某個(gè)x0M，使，使p(x)成成 立立有一個(gè)有一個(gè)x0M，使，使p(x)成成 立立, ( )xM p x 0, ( )xM p x表述方法表述方法小結(jié)：2 2