第11章濾波器設計

1、DIP第第9、10章是分析設計線性濾波器的基礎，本章章是分析設計線性濾波器的基礎，本章則是討論設計實現(xiàn)特定目標的濾波器。則是討論設計實現(xiàn)特定目標的濾波器。讓信號與矩形脈沖做卷積，讓信號與矩形脈沖做卷積，能實現(xiàn)局部平均，從而減弱高頻噪聲的影響。它稱為能實現(xiàn)局部平均，從而減弱高頻噪聲的影響。它稱為滑動平均濾波器滑動平均濾波器。DIP矩形脈沖信號的傅立葉變換為內(nèi)插函數(shù)，矩形脈沖信號的傅立葉變換為內(nèi)插函數(shù)，譜的過零點就會高于信號最高頻率，譜的過零點就會高于信號最高頻率2倍。倍。10 a( )()2xf xa sin(2)( )22asF saas2a01/as見圖，由于負旁瓣的見圖，由于負旁瓣的影響，

2、使不同頻率的影響，使不同頻率的垂直棒狀圖案的黑白垂直棒狀圖案的黑白極性出現(xiàn)反轉(zhuǎn)。極性出現(xiàn)反轉(zhuǎn)。DIP根據(jù)相似理論，只要矩形濾波器不超過兩個像根據(jù)相似理論，只要矩形濾波器不超過兩個像素寬度（夠窄），它的傳遞函數(shù)的過零點就會落在素寬度（夠窄），它的傳遞函數(shù)的過零點就會落在被采樣數(shù)據(jù)的最高頻率以外，否則圖像中的細微結(jié)被采樣數(shù)據(jù)的最高頻率以外，否則圖像中的細微結(jié)構(gòu)（高頻成分）就存在極性反轉(zhuǎn)危險。構(gòu)（高頻成分）就存在極性反轉(zhuǎn)危險。DIP高斯函數(shù)的傅立葉變換仍為高斯函數(shù)，因此高斯函高斯函數(shù)的傅立葉變換仍為高斯函數(shù)，因此高斯函數(shù)能構(gòu)成一個在時域和頻域都具有平滑性能的低通濾波數(shù)能構(gòu)成一個在時域和頻域都具有平滑

3、性能的低通濾波器?？赏ㄟ^在時空域卷積或頻域相乘來實現(xiàn)高斯濾波。器。可通過在時空域卷積或頻域相乘來實現(xiàn)高斯濾波。DIP用三角脈沖用三角脈沖 (x)做為低通濾波器做為低通濾波器的沖激響應，又稱為的沖激響應，又稱為加權(quán)平均濾波器加權(quán)平均濾波器。三角脈沖的譜具有的形式，不會變負（不三角脈沖的譜具有的形式，不會變負（不反轉(zhuǎn)），隨頻率提高，衰減速度快。反轉(zhuǎn)），隨頻率提高，衰減速度快。連續(xù)兩次矩形濾波可得到三角波同樣的效果。連續(xù)兩次矩形濾波可得到三角波同樣的效果。2sin xx這種方式的低通濾波方法由三步組成這種方式的低通濾波方法由三步組成a)計算信號的傅立葉變換；計算信號的傅立葉變換；b)將幅度譜的高頻部

4、分置將幅度譜的高頻部分置0（頻域截?。?；（頻域截?。?；c)求傅立葉反變換。求傅立葉反變換。這種做法等同于用一個矩形脈沖去乘幅度譜，也這種做法等同于用一個矩形脈沖去乘幅度譜，也可認為是用與信號卷積。但它會在尖峰或邊界可認為是用與信號卷積。但它會在尖峰或邊界附近出現(xiàn)振鈴，因此高頻截止濾波的用途有限。附近出現(xiàn)振鈴，因此高頻截止濾波的用途有限。sin xxDIP帶通和帶阻是實用中的需求，保留或去掉頻譜帶通和帶阻是實用中的需求，保留或去掉頻譜中不同頻段內(nèi)的成分。中不同頻段內(nèi)的成分。00( )()()()sG ssssss 00sin()sin()( )2cos(2)2cos(2)ststg tss ts

5、s tstst s s-f11s0-f2G(s)f2f1121( )0fsfG selse由于由于G(s)是一對矩形脈沖，可令：是一對矩形脈沖，可令：012211(),2sffsff DIP理想帶通濾波器的沖激響應理想帶通濾波器的沖激響應DIP當當 (s)很小時，為很小時，為“切口切口”濾波器（濾波器（notch filter），），也叫陷波器。也叫陷波器。s s-f11s0-f2G(s)f2f1120( )1fsfG selse00( )1()()()sG ssssss 0sin()( )( )2cos(2)stg ttss tst DIP理想帶阻濾波器的沖激響應理想帶阻濾波器的沖激響應DI

6、P用一個非負單峰函數(shù)用一個非負單峰函數(shù)K(s)與與s0處的沖激偶作卷積。處的沖激偶作卷積。00( )( )()()G sK sssss0( )2 ( )cos(2)g tk ts t假定假定K(s)是高斯函數(shù)，則是高斯函數(shù)，則22/200( )()()saG sAessss22/2022( )cos(2)2tAg tes t12 a其中：其中：4s0G(s)-s0DIP高斯帶通濾波器的沖激響應高斯帶通濾波器的沖激響應顯然，利用上述技術(shù)也可以很容易地構(gòu)造帶阻濾波器。顯然，利用上述技術(shù)也可以很容易地構(gòu)造帶阻濾波器。DIP傳遞函數(shù)在零頻處為傳遞函數(shù)在零頻處為1，頻率升高則，頻率升高則H(s)增長，增

7、長，（由于不能無限增長），至某個頻率值后開始衰減，直（由于不能無限增長），至某個頻率值后開始衰減，直至至0。用兩個不同寬度的高斯函數(shù)的差分來產(chǎn)生用兩個不同寬度的高斯函數(shù)的差分來產(chǎn)生222212/2/212( ),ssG sAeBeAB222212/2/222121( ),222ttiiABg teeDIP高斯高頻增強濾波器的傳遞函數(shù)高斯高頻增強濾波器的傳遞函數(shù)DIP高斯高頻增強濾波器的沖激響應高斯高頻增強濾波器的沖激響應DIP假定濾波器的沖激響應是假定濾波器的沖激響應是脈沖脈沖減減脈沖，則其脈沖，則其G(s)具有高頻增強具有高頻增強濾波器的形狀。下面要估算濾波器的形狀。下面要估算G(s)在在s

8、=0處的值處的值及及s=?時時G(s)最大最大。12( )( )( )g tg tg t脈沖脈沖脈沖脈沖：對：對g(t)做傅立葉變換并令做傅立葉變換并令s=02 01212(0)( )( )( )jtGg t edtg t dtg t dtAA這個值恰好相當于兩個這個值恰好相當于兩個s=0時的時的G(s)的幅度差的幅度差12(0)(0)GG由于由于G(s)非負，最大值出現(xiàn)在非負，最大值出現(xiàn)在G2(0)=0時，于是時，于是max111(0)( )GGg t dtADIP：指濾波器對圖像中：指濾波器對圖像中較大物體較大物體和和恒值灰度區(qū)恒值灰度區(qū)域域的響應。假定沖激響應的響應。假定沖激響應g(t)

9、的持續(xù)時間有限，而輸?shù)某掷m(xù)時間有限，而輸入信號入信號f(t)在在g(t)期間恒定。于是系統(tǒng)輸出：期間恒定。于是系統(tǒng)輸出：( )( ) ()()( )h xfg xdcg xdcgd由于由于s0時的傅立葉變換：時的傅立葉變換：(0)( )Gg t dt( )(0)h xcG因此，如果因此，如果G(0)=1，那么濾波器將不改變那么濾波器將不改變f(x)中的大中的大而且恒定區(qū)域的幅度（低頻響應為而且恒定區(qū)域的幅度（低頻響應為1，即低頻無改變），即低頻無改變）對二維場合，濾波器不改變輸入圖像中大而平坦區(qū)域?qū)ΧS場合，濾波器不改變輸入圖像中大而平坦區(qū)域的對比度。如果的對比度。如果G(0) 1，則該參數(shù)成

10、為增益因子，控則該參數(shù)成為增益因子，控制著制著h(t)和和f(t)的較大分量的總體幅度關(guān)系。的較大分量的總體幅度關(guān)系。DIP在數(shù)字圖像處理中曾經(jīng)出現(xiàn)非常多的濾波器設在數(shù)字圖像處理中曾經(jīng)出現(xiàn)非常多的濾波器設計，但很多都是次優(yōu)的，計，但很多都是次優(yōu)的，并不是最優(yōu)并不是最優(yōu)。次優(yōu)濾波器（易于用計算機實現(xiàn)）可能會給圖次優(yōu)濾波器（易于用計算機實現(xiàn)）可能會給圖像引入人為的現(xiàn)象，而且常常是不可預料的。例如像引入人為的現(xiàn)象，而且常常是不可預料的。例如在一個域為矩形的濾波器，在對應的域中則會產(chǎn)生在一個域為矩形的濾波器，在對應的域中則會產(chǎn)生減幅振蕩（振鈴）。減幅振蕩（振鈴）。對于對于是是最優(yōu)的，而最優(yōu)的，而對于對

11、于是最優(yōu)的。是最優(yōu)的。DIP用用來描述未知的受到噪聲污染的信號，即只來描述未知的受到噪聲污染的信號，即只有關(guān)于某信號的一些一般知識而缺乏具體了解。有關(guān)于某信號的一些一般知識而缺乏具體了解。：對：對某成員某成員在時間區(qū)間上作積分來計算隨機在時間區(qū)間上作積分來計算隨機變量。變量。：計算：計算所有成員所有成員函數(shù)在某個特定時函數(shù)在某個特定時間點取值的平均值。間點取值的平均值。：(1)所有成員函數(shù)的時間均值相等；所有成員函數(shù)的時間均值相等；(2)樣本集均值不隨時間而改變；樣本集均值不隨時間而改變；(3)時間均值和樣本集時間均值和樣本集均值在數(shù)值上相等均值在數(shù)值上相等。因此，。因此，。DIP期望算子期望

12、算子 x(t)是隨機變量是隨機變量x在在t時刻的時刻的樣本集均值樣本集均值，在，在遍歷性條件下，它也可表示隨機變量的任一個特定樣遍歷性條件下，它也可表示隨機變量的任一個特定樣本的本的時間均值時間均值：( )( )x tx t dt遍歷性隨機變量的所有成員函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一樣遍歷性隨機變量的所有成員函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一樣的，因此的，因此自相關(guān)函數(shù)也可以作為成員函數(shù)自相關(guān)函數(shù)也可以作為成員函數(shù)樣本集的特樣本集的特征征。因此，若。因此，若n(t)是遍歷性隨機變量，則它是一個有著是遍歷性隨機變量，則它是一個有著已知自相關(guān)函數(shù)已知自相關(guān)函數(shù)的的未知函數(shù)未知函數(shù)。n(t)的自相關(guān)函數(shù)為：的自相關(guān)函數(shù)為：

13、( )( ) ()nRn t n tdt則功率譜為：則功率譜為：( )( )nnP sRF也就是說，也就是說，知道知道n(t)的幅度譜的幅度譜，但，但不知其相位譜不知其相位譜。實。實際上，成員函數(shù)集由無限多的僅在相位譜上有區(qū)別的際上，成員函數(shù)集由無限多的僅在相位譜上有區(qū)別的函數(shù)均值構(gòu)成。函數(shù)均值構(gòu)成。DIP維納濾波器（維納濾波器（Wiener filter）是經(jīng)典的線性降噪是經(jīng)典的線性降噪濾波器。濾波器。s(t)n(t)x(t)h(t)y(t)+定義定義誤差信號誤差信號，它是遍歷性隨機變量的它是遍歷性隨機變量的線性組合。顯然，如果線性組合。顯然，如果h(t)合理，則合理，則e(t)能盡可能地小

14、。能盡可能地小。用用作為作為平均誤差平均誤差的度量：的度量：22( )( )MSEe te t dt選取選取作為設計維納估計器的作為設計維納估計器的DIP因為因為是是x(t)和和h(t)的卷積，因此的卷積，因此222222123( )( )( )( )2 ( ) ( )( )( )2( ) ( )( )MSEe ts ty ts ts t y ty ts ts t y ty tTTT221( )( )(0)sTs ts t dtR其中：其中：22( ) ( )2( )( ) ()2( )( ) ()2( )( )xsTs t y ts thx tdhs t x tdhRd 期望算子是對時間的積

15、分期望算子是對時間的積分DIP23( )( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ( )() ()Ty ty t y thx tdh u x tu duhh ux tx tud du vtu () ()() ( )x tx tux vux v3( ) ( )()xThh u R ud du 因此，上述因此，上述為：為：(0)2( )( )( ) ( )()sxsxMSERhRdhh u R ud du 上式即為用上式即為用以及以及表示的表示的，它顯然是它顯然是h(t)的函數(shù)。的函數(shù)。希望找到希望找到h0(t)使使MSE最小最小。DIP用用ho(t)表示使表示使MSE達到最小的特定函數(shù)。則：

16、達到最小的特定函數(shù)。則：( )( )( )oh th tg t(0)2( )( )( ) ( )()(0)2( )( )( )( )( )( )( )()(0)2( )( )( )( )()( ) ( )()sxsxsoxsooxsoxsooxoxMSERhRdhh u R ud duRhgRdhgh ug uR ud duRhRdhh u R ud duhg u R ud d ( ) ( )()2( )( )( ) ( )()oxxsxuh u gR ud dugRdgg u R ud du 2( )( )()( )( ) ( )()ooxxsxMSEMSEg uhR udRudugg u

17、R udud ，否則與，否則與g(u)相乘后可能為負，相乘后可能為負，使使MSE小于小于MSEo，不合理。不合理。DIP2( ) ( )()( ) ( )() ()( ) ()( ) ()( )oxoooMSEMSEgg u R ududMSEgg ux tu x tdtdudMSEg u x tu dugx td dtMSEzt dt 0( )( )()xsoxRh u R udu因此，是均方誤差最小的因此，是均方誤差最小的必要條件必要條件該式該式也是濾波器最優(yōu)的也是濾波器最優(yōu)的充分條件充分條件（不再需要其他條件了）（不再需要其他條件了）于是：于是：該式從均方該式從均方意義上定義了意義上定義

18、了最優(yōu)線性估值器最優(yōu)線性估值器的沖激響應。的沖激響應。DIP對任何線性系統(tǒng)，輸入和輸出之間的互相關(guān)由下式給出對任何線性系統(tǒng)，輸入和輸出之間的互相關(guān)由下式給出( )( )( )xyxRh uR u0( )( )( )( )xsxxyRh uR uR輸入輸入輸出輸出的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)信號信號 (信號信號+噪聲噪聲)的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。0( )( )( )( )xsxxyPsHs P sPs0( )( )( )xyxPsHsP s頻域：頻域：DIP(1)對輸入信號對輸入信號的樣本進行數(shù)字化。的樣本進行數(shù)字化。(2)求輸入求輸入樣本的自相關(guān)得到樣本的自相關(guān)得到的一個估值。的一個估值。(3)

19、計算計算的傅的傅立葉變換得到立葉變換得到。(4)在無噪聲的情況下對取得輸入在無噪聲的情況下對取得輸入信號的一個樣本進行數(shù)字化。信號的一個樣本進行數(shù)字化。(5)求信號樣本與輸入樣求信號樣本與輸入樣本的互相關(guān)來估計本的互相關(guān)來估計 。(6)計算計算的的傅立葉變換傅立葉變換得到得到 。(7)計算最優(yōu)濾波器的傳遞函數(shù)計算最優(yōu)濾波器的傳遞函數(shù) 。(8)如果要用卷積運算來實現(xiàn)濾波器，則計算如果要用卷積運算來實現(xiàn)濾波器，則計算的傅立的傅立葉反變換得到最優(yōu)線性估值器的沖激響應葉反變換得到最優(yōu)線性估值器的沖激響應。0( )( )( )xyxPsHsP s根據(jù)：根據(jù)：DIP ( ) ( )( )( )s t n

20、ts tn t ( )( ) ()( )( )()( ) ()( ) ()( )( )()( )( )()( )(0) (0)xssssRx t s ts tn ts ts t s tn t s tRn ts tRn t dts tdtRNSDIP ( )( ) ()( )( )()()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( )( )( )()( )()( )( )( )()( )()( )( )2xsnsnsnRx t x ts tn ts tn ts t s tn t n tn t s ts t n tRRn ts ts tn tRRn t dts tdts t dtn tdt

21、RRN(0) (0)S0( )( )( )(0) (0) ( )( )( )( )( )( )2(0) (0) ( )xyxysxxsnRPsP sNSsHsP sRP sP sNSsFF因此：因此：0( )( )0( )( )ssnP sHssP sP s忽略忽略0頻：頻：DIPx(t)n(t)F(s)s(t)w(t)F(s)1y(t)H0(s)z(t)G(s)( )( )( )( ) ( )( )X sW sN sF s S sN s( )( )( )( )( )( )( )( )X sN sY sS sS sK sF sF s2022( )( )( )( )( )( )( )( )ssk

22、S sP sHsP sP sN sS sF s信號與噪聲無關(guān)時，維納濾波器的傳遞函數(shù)為：信號與噪聲無關(guān)時，維納濾波器的傳遞函數(shù)為：則則均方最優(yōu)均方最優(yōu)去卷積濾波器的傳遞函數(shù)為：去卷積濾波器的傳遞函數(shù)為：02( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )sssksnHsP sFs P sG sF sF sP sP sF sP sP sDIP是從噪聲污染的信號中是從噪聲污染的信號中恢復未知恢復未知的原信號，的原信號，而而是從背景中是從背景中找出已知找出已知信號的位置。信號的位置。因此，匹配檢測是要檢出在有噪聲的情況下是否存因此，匹配檢測是要檢出在有噪聲的情況下是否存在在

23、形狀被事先說明的信號。形狀被事先說明的信號。m(t)n(t)x(t)k(t)y(t)+匹配檢測匹配檢測模型與模型與維納濾波器維納濾波器的模型一樣，的模型一樣，但這里是要根據(jù)但這里是要根據(jù)y(t)來檢測是否出現(xiàn)了已知形式的特來檢測是否出現(xiàn)了已知形式的特定信號定信號m(t)。因此，要設計合適的沖激響應因此，要設計合適的沖激響應k(t)。DIPm(t)n(t)x(t)k(t)y(t)+( ) ( )( )* ( )( )* ( )( )* ( )y tm tn tk tm tk tn tk tm(t)n(t)y(t)k(t)u(t)+k(t)v(t)( )( )* ( )( )( )* ( )u t

24、m tk tv tn tk t顯然，顯然，u(t)是濾波后的信號是濾波后的信號，v(t)是濾波后的噪聲是濾波后的噪聲。假定知道假定知道m(xù)(t)的函數(shù)形式，但不知道信號將會在何時出現(xiàn)。的函數(shù)形式，但不知道信號將會在何時出現(xiàn)。檢測反射回來的雷達脈沖（反射的與發(fā)出的形式檢測反射回來的雷達脈沖（反射的與發(fā)出的形式一樣，但不知何時出現(xiàn)）。一樣，但不知何時出現(xiàn)）。在在DIP中，匹配檢測器中，匹配檢測器DIP把輸出端的把輸出端的在在0時刻的取值作為衡時刻的取值作為衡量濾波器性能的一種度量：量濾波器性能的一種度量：22(0)(0)uv原型信號原型信號m(t)通常是以原點為中心的相當窄的函數(shù)。通常是以原點為中心

25、的相當窄的函數(shù)。希望輸出功率在希望輸出功率在t=0時刻（信號出現(xiàn)的時刻）變大，而在時刻（信號出現(xiàn)的時刻）變大，而在這之前和之后，當信號不存在時，輸出幅度相當小。這之前和之后，當信號不存在時，輸出幅度相當小。根據(jù)移不變性質(zhì)，如果根據(jù)移不變性質(zhì)，如果m(t-t1)在在t1時刻到達，那么濾時刻到達，那么濾波器的輸出幅度將在波器的輸出幅度將在t1時刻增大，即表示信號出現(xiàn)了。時刻增大，即表示信號出現(xiàn)了。 越大，越大， y(t)的幅度越依賴于的幅度越依賴于m(t)是否出現(xiàn)，而對噪是否出現(xiàn)，而對噪聲聲n(t)的波動越不敏感的波動越不敏感 。DIP因為已知因為已知m(t)的函數(shù)形式，因此的函數(shù)形式，因此u(t

26、)是確定性的，是確定性的，可去掉期望算子：可去掉期望算子：2212222( )( )( )( )(0)(0)( )( )( )( )ndM s K sm tk tuvn tk tn tk tF22( )( )( )( )nK s M s dsK sP s ds經(jīng)化簡，對其最大化即可。經(jīng)化簡，對其最大化即可。DIP222( )( )( ) ( )ft dt gt dtf t g t dt2( )( )nM sdsP s2max( )( )nM sdsP s0( )( )( )nM sKsCP s傳遞函數(shù)的幅度與傳遞函數(shù)的幅度與信號幅度與噪聲功率之比信號幅度與噪聲功率之比成正比，成正比，是頻率的函數(shù)。是頻率的函數(shù)。C為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。DIP略略DIP是非線性濾波器的一種，它基于對集合中的元素排是非線性濾波器的一種，它基于對集合中的元素排序以后得到的統(tǒng)計量進行濾波，常見的是中值濾波。序以后得到的統(tǒng)計量進行濾波，常見的是中值濾波。中值濾波類似于卷積，但它計算的不是加權(quán)求和，中值濾波類似于卷積，但它計算的不是加權(quán)求和，而是把鄰域中的而是把鄰域中的，然后，然后。1)用一個的窗口（用一個的窗口（N=3