數(shù)字信號(hào)處理(第三版)課后習(xí)題答案全

1、時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 是常數(shù)AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因?yàn)?, 所以, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因?yàn)?, 所以=16, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。738123142時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n)解解： （

2、1） 令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 因?yàn)?y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)

3、和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章（5） y(n)=x2(n)令輸入為 x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(

4、n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)解解：（2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （4）假設(shè)n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M, 則

5、|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.5習(xí)題與上機(jī)題解答習(xí)題與上機(jī)題解答1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n) (6) nx(n)解解：（1）nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第

6、章 （2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn（6） 因?yàn)閚nnxXjje )()e (對(duì)該式兩邊求導(dǎo)， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj因此d)e (dj)(FTjXnnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章6 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(4)33jjj4ee )4(

7、)3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(5) (n1)解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn(5) ZT(n

8、1)=z10|z|時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0

9、是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只

10、有一個(gè)， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3）收斂域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)， 所以x(n)=0。 最后得到)(22213)( nunxnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章18

11、已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)

12、0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒有極點(diǎn)， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,252311)(211zzzzzX(1)21|,41121)(21zzzzX(2)21z 411311)(21zzzX解解： (1) 4131)(22zzzzX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2165216

13、1 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n

14、)；（3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零點(diǎn)為z=0。 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)： 2511z2512z極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程，

15、 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn時(shí)域離

16、散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzzzHzFnnn0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)， nzzFnh)251(51),( sRe)(2時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n

17、)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達(dá)式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9

18、 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzzzF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零

19、點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(njneHny時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題24解圖離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章18 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號(hào)最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 s02. 05011minpFT解解: （1） 已知F=50 Hz，

20、因而ms5 . 010212113maxminsmaxffT（2）pminmin3max0.02s400.5 10TNT（3）（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍， 即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。80ms0.5s04. 0minN時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章 教材第教材第5章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。

21、時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章解解： 將原式移項(xiàng)得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny將上式進(jìn)行Z變換， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章 (1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 根據(jù)Masson公式， 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。題1解圖（一）時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章(2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有

22、兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu): 1114111 211311)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b)所示。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章(3) 將H(z)進(jìn)行部分分式展開： )411)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310

23、)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。題1解圖（三）時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章2 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為)2(41) 1(31) 1()()(nynynxnxny試畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)。 解解： 由差分方程得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為211413111)(zzzzH畫出其直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖所示。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章3. 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為y(n)=(a+b)y(n1)aby(n2)+x(n2)+(a

24、+b)x(n1)+ab式中, |a|1， |b|1/2， 對(duì)上式進(jìn)行逆Z變換， 得到) 1(215319)(6) 1(212)(21) 1(313)(5)(11nunnunununnhnnnnn時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章16. 畫出題15圖中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)， 并驗(yàn)證兩者具有相同的系統(tǒng)函數(shù)。 解解： 按照題15圖， 將支路方向翻轉(zhuǎn)， 維持支路增益不變， 并交換輸入輸出的位置， 則形成對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)， 畫出題15圖系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)如題16解圖所示。 將題16解圖和題15圖對(duì)照， 它們的直通通路和反饋回路情況完全一樣， 寫出它們的系統(tǒng)函數(shù)完全一樣， 這里用Masson公式最能

25、說明問題。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章題16解圖時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章題17圖17. 用b1和b2確定a1、 a2、 c1和c0， 使題17圖中的兩個(gè)系統(tǒng)等效。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章解解： 題17圖 （a）的系統(tǒng)函數(shù)為)1)(1 ()(21111)(12111211211zbzbzbbzbzbzH題16圖（b）的系統(tǒng)函數(shù)為1211011111)(zazcczazH對(duì)比式和式， 當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)等效時(shí)， 系數(shù)關(guān)系為a1=b1, a2=b2c0=2, c1=(b1+b2)時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第

26、4 章18. 對(duì)于題18圖中的系統(tǒng)， 要求：（1） 確定它的系統(tǒng)函數(shù)；（2） 如果系統(tǒng)參數(shù)為 b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖， 并檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解： （1） 2211221101)(zazazbzbbzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章（2） b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.921219 . 05 . 1121)(zzzzzH零點(diǎn)為z=1(二階)， 極點(diǎn)為 p1, 2=0.750.58j, |p1, 2|=0.773極零點(diǎn)分布如題18 解圖(a

27、)所示。 由于極點(diǎn)的模小于1， 可知系統(tǒng)穩(wěn)定。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章題18圖時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章題18解圖時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=221212121)(zzzzzH零點(diǎn)為z=1(二階)， 極點(diǎn)為 p1, 2=0.51.323j, |p1, 2|=1.414極零點(diǎn)分布如題18解圖(b)所示。 這里極點(diǎn)的模大于1，或者說極點(diǎn)在單位圓外， 如果系統(tǒng)因果可實(shí)現(xiàn)， 收斂域?yàn)閨z|1.414， 收斂域并不包含單位圓， 因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波

28、器的設(shè)計(jì)第章第第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 習(xí)題解答習(xí)題解答1 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器， 要求通帶截止頻率fp=6 kHz，通帶最大衰減ap=3 dB， 阻帶截止頻率fs=12kHz， 阻帶最小衰減as=25 dB。 求出濾波器歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)以及實(shí)際濾波器的Ha(s)。 解解: （1） 求階數(shù)N。spspsp0.12.5sp0.10.3lglg10110117.794101101aakNpks無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章3ssp3p2 12 10226 10 將ksp和sp值代入N的計(jì)算公式, 得lg17.7944.15lg2N 所

29、以取N=5（實(shí)際應(yīng)用中， 根據(jù)具體要求， 也可能取N=4， 指標(biāo)稍微差一點(diǎn)， 但階數(shù)低一階， 使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡化）。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（2） 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)。 由階數(shù)N=5直接查教材第157頁表6.2.1, 得到五階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)G(p)為54321( )3.2365.23615.23613.23611G pppppp或221( )(0.6181)(1.6181)(1)G pppppp當(dāng)然， 也可以先按教材（6.2.13）式計(jì)算出極點(diǎn)： 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章121j22e 0,1,2,3,4kNkpk再由教材（6.

30、2.12）式寫出G(p)表達(dá)式為401( )()kkG ppp最后代入pk值并進(jìn)行分母展開， 便可得到與查表相同的結(jié)果。（3） 去歸一化（即LP-LP頻率變換）， 由歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)得到實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章由于本題中ap=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此caa5c54233245ccccc( )( )|3.23615.23615.23613.2361spHsHpsssss對(duì)分母因式形式， 則有caa52222ccccc( )( )|(0.6180)(1.6180)()spcHsHpsssss無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字

31、濾波器的設(shè)計(jì)第章如上結(jié)果中，c的值未代入相乘， 這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，3 dB截止頻率對(duì)歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。 2 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器， 要求通帶截止頻率fp=3 kHz，通帶最大衰減p=0.2 dB，阻帶截止頻率fs=12 kHz, 阻帶最小衰減s=50 dB。 求出濾波器歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)和實(shí)際的Ha(s)。 解解: （1） 確定濾波器技術(shù)指標(biāo)。 p=0.2 dB, p=2fp=6103 rad/ss=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1,ssp4無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(4) 求階數(shù)N和。sp1s0.110.1arch ar

32、ch 1011456.65101arch 1456.653.8659arch 4aakNkN為了滿足指標(biāo)要求， 取N=4。 p0.11010.2171a 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 (3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)411111( )2()1.7368()NNkkkkQ ppppp其中， 極點(diǎn)pk由教材（6.2.46）式求出如下： (21)(21)ch sinjch cos1,2,3,4221111arsharsh0.558040.2171kkkpkNNN 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章1234ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0715

33、8833ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388855ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388877ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0788pppp 15無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(4) 將G(p)去歸一化， 求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)： pa44p44p11( )( )|1.7368()1.7368()sppkkkkHsQ pspss其中， sk=ppk=6103pk, k=1, 2, 3, 4。 因?yàn)閜4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s

34、2*。 將兩對(duì)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的因子相乘， 得到分母為二階因子的形式， 其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章16222211222482487.2687 10( )(2Re | )(2Re| )7.2687 1016(1.6731 104.7791 10 )(4.0394 104.7790 10 )aHsss ssss ssssss也可得到分母多項(xiàng)式形式， 請(qǐng)讀者自己計(jì)算。 3 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯高通濾波器， 要求其通帶截止頻率fp=20 kHz， 阻帶截止頻率fs=10 kHz， fp處最大衰減為3 dB， 阻帶最小衰減as=15 dB。 求出該高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s

35、)。無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解: (1) 確定高通濾波器技術(shù)指標(biāo)要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相應(yīng)的歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)要求： 套用圖5.1.5中高通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, ap=3 dB , 2spsas=15 dB無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(3) 設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通G(p)。 題目要求采用巴特沃斯類型， 故ps0.1sp0.1ssppspsp1010.181012lglg0.182.47lglg2aakkN 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第

36、章所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三階巴特沃斯歸一化低通G(p)為321( )221G pppp(4) 頻率變換。 將G(p)變換成實(shí)際高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)： c33223ccc( )( )|22pssH sG psss式中c=2fc=220103=4104 rad/s 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 4. 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)如下： a22( )()saHssab(1)(2)a22( )()bHssab式中a、 b為常數(shù)， 設(shè)Ha(s)因果穩(wěn)定， 試采用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解

37、: 該題所給Ha(s)正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。 所以， 求解該題具有代表性， 解該題的過程， 就是導(dǎo)出這兩種典型形式的Ha(s)的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式。 設(shè)采樣周期為T。 (1)a22( )()saHssabHa(s)的極點(diǎn)為s1=a+jb, s2=ajb將Ha(s)部分分式展開（用待定系數(shù)法）： 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章12a2212122122121 22 122( )()()()()()()AAsaHssabssssA ssA sssabAA sAsA ssab比較分子各項(xiàng)系數(shù)可知， A1、 A2應(yīng)滿足方程： 121 22 11AAAsA sa無限脈沖

38、響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以a1/21/2( )(j )(j )Hssabsab 套用教材（6.3.4）式， 得到21(j )1(j )111/21/2( )1 e1 e1 ekkTsab Tab TkAH zzzz 按照題目要求， 上面的H(z)表達(dá)式就可作為該題的答案。 但在工程實(shí)際中， 一般用無復(fù)數(shù)乘法器的二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。 由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對(duì)稱， 所以將H(z)的兩項(xiàng)通分并化簡整理， 可得無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章11221ecos()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz這樣， 如果遇到將a

39、22( )()saHssab用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí)， 直接套用上面的公式即可， 且對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無復(fù)數(shù)乘法器， 便于工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章a22( )()bHssab(2)Ha(s)的極點(diǎn)為 s1=a+jb, s2=ajb將Ha(s)部分分式展開： ajj22( )(j )(j )Hssabsab 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章套用教材（6.3.4）式， 得到 (j )1(j )1jj22( )1 e1 eab Tab TH zzz 通分并化簡整理， 得到1122esin()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz

40、無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章5 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 設(shè)T=2 s。 解解: . 用脈沖響應(yīng)不變法(1)a21( )1Hsss 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章方法一 直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式， Ha(s)的極點(diǎn)為121313j,j2222ss a1313jj22221133jj33( )1313jj232233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章將T=2代入上式， 得1 j 311

41、 j 3111112233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz 方法二 直接套用4題（2）所得公式。 為了套用公式， 先對(duì)Ha(s)的分母配方， 將Ha(s)化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式： 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章a22( )()bHscsabc為一常數(shù)由于2222131312422ssss 所以a222312 32( )131322Hssss 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章對(duì)比可知， ， 套用公式， 得13,22ab112221111222 3esin()( )312ecos()e2 3esin3312ecos3eaTaTa

42、TTzbTH zzbTzzzz(2)a2111( )123112Hsssss無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并兩項(xiàng)得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 用雙線性變換法（1） 11a22111,21111 21 2111 21221( )( )|11111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(2)11a21111111 21 221 21211(

43、 )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 62zszH zHszzzzzzzzzzz無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章6 設(shè)ha(t)表示一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)， 即0.9ae 0( )0 0tth tt用脈沖響應(yīng)不變法， 將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器（用h(n)表示單位脈沖響應(yīng)， 即 h(n)=ha(nT)）。 確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并把T作為參數(shù)， 證明： T為任何值時(shí)， 數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的， 并說明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解: 模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為0.9a01( )eed0.9tstHst

44、sHa(s)的極點(diǎn)s1=0.9， 故數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為110.9111( )1 e1 es TTH zzzH(z)的極點(diǎn)為z1=e0.9T, |z1|=e0.9T無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章題6解圖所以， T0時(shí)， |z1|slsu， 所以不滿足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 則plpuslsu0.3538=0.30221.1708 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章采用修正后的設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬帶通濾波器。 (3) 將帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化低通指標(biāo)。 套用圖5.1.5中帶通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式， sl220slpsslW1, B求歸一

45、化低通邊界頻率： p1,2220slssl0.35380.30221.97440.3022 0.4399WBps3 dB,15 dBaa無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(4) 設(shè)計(jì)模擬歸一化低通G(p)：ps0.10.3sp0.11.5ssppspsp101101 09744lglg 0.18032.5183lglg1.9744kkNaa 取N=3。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章查教材表6.2.1， 得到歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)G(p)：321( )221G pppp(5) 頻率變換， 將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬帶通Ha(s)： 220wa33w22 32

46、2222223300w0ww365432( )( )|()2()2()0.0850.87981.44840.70760.51240.11010.0443spsBHsG pB ssssBss Bs Bsssssss無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(6) 用雙線性變換公式將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)： 11a21115123415561234561( )( )|(0.0181 1.7764 100.05434.44090.05432.7756 100.0181)(12.2723.51513.26852.31290.96280.278)zsTzH zHszzzzzzzzzzzz以上繁雜的設(shè)計(jì)

47、過程和計(jì)算， 可以用下面幾行程序ex612.m實(shí)現(xiàn)。 程序運(yùn)行結(jié)果如題12解圖所示。 得到的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)為無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章B = 0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406與手算結(jié)果有差別， 這一般是由手算過程中可能產(chǎn)生的計(jì)算誤差造成的。無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %設(shè)置帶通數(shù)字濾波器指標(biāo)參數(shù)N， wc=buttord(wp

48、， ws， Rp， As)； %計(jì)算帶通濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率WcB， A=butter(N， wc)； %計(jì)算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)向量A和Bmyplot(B， A)； %調(diào)用自編繪圖函數(shù)myplot繪制帶通濾波器的損耗函數(shù)曲線無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章題12解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 教材第教材第7章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答1 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為： （1） h(n)長度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)長度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1

49、)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0試分別說明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點(diǎn)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解： （1） 由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有A類線性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6為偶數(shù)(情況2)， 所以幅度特性關(guān)于=點(diǎn)奇對(duì)稱。 （2） 由題中h(n)值可知， h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有B類線性相位特性： 32212)(N由于7為奇數(shù)(情況3)， 所以幅度特性關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)奇對(duì)稱。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章2 已知第一類

50、線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度為16， 其16個(gè)頻域幅度采樣值中的前9個(gè)為： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根據(jù)第一類線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn)， 求其余7個(gè)頻域幅度采樣值。 解解： 因?yàn)镹=16是偶數(shù)（情況2）， 所以FIR濾波器幅度特性Hg()關(guān)于=點(diǎn)奇對(duì)稱， 即Hg(2)=Hg()。 其N點(diǎn)采樣關(guān)于k=N/2點(diǎn)奇對(duì)稱， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15綜上所述, 可知其余7個(gè)頻域幅度采樣值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)H

51、g(9)=0有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章3 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)。解解: 對(duì)FIR數(shù)字濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)為104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n 由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應(yīng)函

52、數(shù)H(ej)為所以其單位脈沖響應(yīng)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章10j)(jgje )(e )()e (NnmnhHHee9 . 0e1 . 2e9 . 01 1014 j3 j2 jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01 . 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章幅度特性函數(shù)為 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH相位特性函數(shù)為221)(N4 用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通FIR濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為有限脈沖

53、響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 |0 | 0e)e (cjjdcaH（1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；（2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的低通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定與N之間的關(guān)系； （3） 簡述N取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)濾波特性的影響。解: （1）ccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnnaaa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（2） 為了滿足線性相位條件， 要求， N為矩形窗函數(shù)長度。 因?yàn)橐筮^渡帶寬度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函數(shù), 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()

54、(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（3） N取奇數(shù)時(shí)， 幅度特性函數(shù)Hg()關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)偶對(duì)稱， 可實(shí)現(xiàn)各類幅頻特性； N取偶數(shù)時(shí)， Hg()關(guān)于=奇對(duì)稱， 即Hg()=0， 所以不能實(shí)現(xiàn)高通、 帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。 5 用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為其它0 | e)e (jjdcaH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 求出加矩形窗設(shè)

55、計(jì)的高通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定與N的關(guān)系； （3） N的取值有什么限制？為什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)計(jì)算： jjdd1( )(e ) ed2nh nHccjjjj1eedeed2nnaa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章ccj()()1eded2njnaaccj()j()j()j()1eeee2()nnnnnaaaaa)(sin)(sin)(1cananan)()(sin)(cananan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章hd(n)表達(dá)式中第2項(xiàng)正好是截止頻率為c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 而(n)對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性相位全通濾波器

56、： Hdap(ej)=ej即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。 （2） 用N表示h(n)的長度， 則h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(cnRnnnNaaa)()(sincanan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N1n)要求滿足12Na（3） N必須取奇數(shù)。 因?yàn)镹為偶數(shù)時(shí)（情況2）， H(ej)=0， 不能實(shí)現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對(duì)過渡帶寬度的要求， N應(yīng)滿足：, 即N40。 取N=41。N4106 理想帶通特性為 | |0 | e)e (cccjjdBBHa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（1） 求出該理想帶

57、通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 寫出用升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器的h(n)表達(dá)式， 確定N與之間的關(guān)系； （3） 要求過渡帶寬度不超過/16 rad。 N的取值是否有限制？為什么？解解: （1）jjdd1( )()ed2nh nHeccccjjjj()1eedeed2BamanB)()(sin)()(sin(ccananananB有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為截止頻率c+B和c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 所以， 上面hd(n)的表達(dá)式說明， 帶通濾波器可由兩個(gè)低通濾波器相減實(shí)現(xiàn)。 （2） h(n)=hd(n)w(n)ccsin()()sin()20.5

58、40.46 cos( )()()1NB nananRnnanaN為了滿足線性相位條件， 與N應(yīng)滿足12Na有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章實(shí)質(zhì)上， 即使不要求具有線性相位， 與N也應(yīng)滿足該關(guān)系， 只有這樣， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近誤差最小。 （3） N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)， 均可實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。 但升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶為8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 試完成下面兩題：試完成下面兩題： （1） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n)和H(ej)， 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h1(n)=(1)

59、nh(n)。 試證明濾波器h1(n)是一個(gè)高通濾波器。 N816有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（2） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n)和H(ej)， 截止頻率為c, 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h2(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 試證明濾波器h2(n)是一個(gè)帶通濾波器。解解: （1） 由題意可知)(ee 21)()cos()() 1()(jj1nhnhnnhnhnnn對(duì)h1(n)進(jìn)行傅里葉變換, 得到有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章mnnnnmnhhHjjjj1j1e ee )(21e )e (e )

60、(e )(21)( j)( jnnnnnhnh)e ()e (21)( j)( jnHH上式說明H1(ej)就是H(ej)平移的結(jié)果。 由于H(ej)為低通濾波器， 通帶位于以=0為中心的附近鄰域， 因而H1(ej)的通帶位于以=為中心的附近， 即h1(n)是一個(gè)高通濾波器。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章這一證明結(jié)論又為我們提供了一種設(shè)計(jì)高通濾波器的方法（設(shè)高通濾波器通帶為c, ）： 設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為c的低通濾波器hLp(n)。 對(duì)hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通濾波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 與(1)同樣道理， 代入h2(n)=2h(n