Ch6-IIR數(shù)字濾波器的設計方法-1-2

1、浙江理工大學浙江理工大學 2007第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法6.1 引言引言6.4 用模擬濾波器設計用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法 6.7 雙線性變換法雙線性變換法6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 6.9 設計設計IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法6.10 先用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設計數(shù)字各型先用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設計數(shù)字各型濾波器濾波器6.11 先將模擬歸一化低通原型數(shù)字化為數(shù)字低通，再利用數(shù)先將模擬歸一化低通原型數(shù)字化為數(shù)字低通，再利用數(shù)字域頻帶變換

2、法設計數(shù)字各型濾波器字域頻帶變換法設計數(shù)字各型濾波器考試題型考試題型濾波的目的濾波的目的 為了抑制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例； 6.1 引引 言言數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)； 廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器。設計數(shù)字濾波器的任務設計數(shù)字濾波器的任務 尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。 由前面我們已經(jīng)知道，濾波器輸出響應y(n)為 nmnxmhnhnxny)()()()()(將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 )()()(jjjeHeXeY數(shù)字濾波器的濾波原理數(shù)字濾波器的濾波

3、原理 6.1 引引 言言 可以看出，輸入序列的頻譜X(ej)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ej)，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)都以 為周期：濾波器的低通頻帶處于整數(shù)倍處，高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近。22從功能上分類：從功能上分類：低通、高通、帶通、帶阻濾波器低通、高通、帶通、帶阻濾波器)(ejHo 22)(ejHo 22)(

4、ejHo 22)(ejHo 22(a)(b)(c)(d )低 通高 通帶 通帶 阻 6.1 引引 言言實用濾波器：實用濾波器：通帶：通帶：不一定完全水平；阻帶：阻帶：不一定絕對衰減到零；過渡帶：過渡帶：通帶、阻帶之間設置一定寬度的過渡帶。 6.1 引引 言言低通濾波器頻率響應幅度特性的容限圖 一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖（稱容限圖）所示， 頻率響應有通帶、 過渡帶及阻帶三個范圍。圖中1為通帶的容限， 2為阻帶的容限。 復習復習11-1200()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e如將|H(ej

5、0)|歸一化為1，上式可表示成：20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限 2，但是，在具體技術指標中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）p和阻帶應達到的最小衰減 s描述， p及 s的定義分別為： 6.1 引引 言言（）（） IIR濾波器設計方法濾波器設計方法 借助模擬濾波器設計方法： 直接設計法：直接在頻域或時域設計（需計算機輔助設計）3、數(shù)字濾波器設計方法概述、數(shù)字濾波器設計方法概述)()(zHsHa頻率變換 6.1 引引 言言IIR濾波器濾波器 FIR濾波器濾波器 利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設計

6、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復變函數(shù)的映射變換，為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求： 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。即S平面的左半平面Res0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|1。 數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。 6.4 用模擬濾波器設計用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器從S平面映射到Z平面兩種常用的方法：1、沖激響應不變法：、沖激響應不變法：從時域的角度出發(fā)進行映射；2、雙線性不變

7、法：、雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進行映射。通過對連續(xù)函數(shù) 等間隔采樣得到離散序列 使 ，T為采樣間隔。它是一種時域上的轉換方法。轉換步驟：)(tha)(nTha)()(nThnha)()()()()(zHnhnThthsHZaaa 變換等間隔采樣拉氏逆變換1、轉換原理、轉換原理 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法設模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s)，相應的單位沖激響應是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：Ni

8、tsiatueAthi1)()(u(t)是單位階躍函數(shù)si為Ha(s)的單階極點 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez11zeAssATsiiiiNitsiatueAthi1)()(NinTsianTtantueAnththnhi1)()(| )()(111)( aznuazn變換1( )NiaiiAHsss因此，從s平面到z 平面變換： 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法n系數(shù)相同：系數(shù)相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks T

9、kAH zezn極點：極點：s 平面平面 z 平面平面kssks Tzen穩(wěn)定性不變：穩(wěn)定性不變：S域穩(wěn)定，即極點位于域穩(wěn)定，即極點位于s平面平面左半平面，故在左半平面，故在 s 平面平面 ： z 平面平面Re 0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當當T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：令： 上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照 式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。下面進一步分析這種映射關系。jsjzre 則

10、因此得到：TreT kaezTjksHTzHst)2(1| )(設stez TjTjsteereez 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法2.5節(jié)（2-53）式：那么 =0, r=1 0, r0, r1z=esT, s平面與平面與z平面之間的映射關系平面之間的映射關系TreT j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法 由采樣定理知，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且頻率帶小于采樣頻率一半，才不會發(fā)生混迭現(xiàn)象。此時，TjHTeHaj1)(|設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 2222)(baassassHa試利用沖激響應不變法將Ha(s)轉

11、換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 則數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ）1111)(1)(1)(1 ()cos(112/112/1)(zeezeezbTezezezHjbTaTjbTaTaTTjbaTjba例例 解：解： 11zeAssATsiiii首先將Ha(s)寫成部分分式：)(2/1)(2/12)(222jbasjbasbaassassHa)(2, 1jbas極點 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法模擬濾波器的頻率響應Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻率響應H(ej)分別為: ）jjbTaTjjbTaTjaTjaeeeeeeebTeeHbaajajjH1)(1 ()cos(1)(2)(222

12、由圖可看出，由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了頻譜混疊失真。 幅頻特性幅頻特性 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法優(yōu)點：優(yōu)點： 沖激響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過沖激響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。4、優(yōu)缺點、優(yōu)缺點 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法缺點：缺點： 有頻率響應的混疊效應。有頻率響應的混疊效應。 所以， 沖激響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如， 衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而

13、且高頻衰減越快，混疊效應越小。 如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應不變法， 就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于頻率一半以上的頻率，然后再使用沖激響應不變法轉換為數(shù)字濾波器。 但這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數(shù)。 6.5 沖激響應不變法沖激響應不變法1、轉換原理、轉換原理脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫

14、帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖所示。 6.7 雙線性變換法雙線性變換法線性變換的映射關系線性變換的映射關系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo 6.7 雙線性變換法雙線性變換法2tan21TT2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1， 則得TsTsTsTsTsTseeTTsTeeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/再將

15、S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面： z=es1T 從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為： 11112zzTssTsTsTsTz222121 上面兩個式子是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換稱為雙線性變換雙線性變換。 6.7 雙線性變換法雙線性變換法雙線性變換符合前面提出的映射變換應滿足的兩點要求。 jTjeeTsjj2tan2112即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 11112zzTssTsTz222、逼近的情況、逼近的情況（1）首先, 把z=ej代入上式，可得 6.7 雙線性變換法雙線性變換法（2） 其次，將s=+j代入變換式，得 jTjTz22因此 222222|TTz

16、sTsTz22 6.7 雙線性變換法雙線性變換法 由此看出，當0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 222222|TTz 6.7 雙線性變換法雙線性變換法3、優(yōu)缺點、優(yōu)缺點優(yōu)點：2c tg 00 1.避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s 平面與平面與 z 平面為單值變換平面為單值變換00 2.簡單的代數(shù)映射簡單的代數(shù)映射q 缺點：除了零頻率附近，缺點：除了零頻率附近， 與與 之間嚴重非線性之

17、間嚴重非線性2 2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變?nèi)粫a(chǎn)生畸變1 1）線性相位模擬濾波器）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變頻率點產(chǎn)生畸變11/T 11112 tgc雙線性變換的由來雙線性變換的由來1、低頻附近程線性2、分段常數(shù)的幅頻特性要求預畸變預畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率給定數(shù)字濾波器的截止頻率 1，則，則112c tg 按按 1設計模擬濾設計模擬濾波器，經(jīng)雙線性波器

18、，經(jīng)雙線性變換后，即可得變換后，即可得到到 1為截止頻率為截止頻率的數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器比較比較。設計流程設計流程設計一個一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca例例 解：解： 6.7 雙線性變換法雙線性變換法將雙線性變換應用于模擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()

19、1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa 6.7 雙線性變換法雙線性變換法6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用，利用這些現(xiàn)有技術來解決數(shù)字濾波器的設計問題；采用這種方法時，先要設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器；這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾

20、波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。模擬濾波器幅度響應常用幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2來表示，即 )()(| )(|*2jHjHjHaaa由于濾波器沖激響應ha(t)是實函數(shù)，因而Ha(j)滿足 )()(*jHjHaa所以 jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2 式中，Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它是s的有理函數(shù)； Ha(j)是濾波器的頻率響應特性； |Ha(j)|是濾波器的幅度特性。 1、由幅度平方函數(shù)來確定系統(tǒng)函數(shù)、由幅度平方函數(shù)來確定系統(tǒng)函數(shù)一、模擬濾波器設計思路與步驟一、模擬濾波器設計思路與步驟6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性Ha(

21、s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱的，如圖所示。 jo 我們知道，任何實際可實現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此, 其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬于Ha(-s)。 Ha(s)Ha(-s) 取一半的零點構成Ha(s)的零點 。6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 極點：極點：零點：零點： （二階）（二

22、階）5sj 零點：零點：5sj 7, 6ss 的極點：的極點：( )aHs設增益常數(shù)為設增益常數(shù)為K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjK45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss尋找一個恰當?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性所謂逼近問題。最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： 巴特沃思巴特沃思(Butterworth)濾波器濾波器 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)濾波器濾波器 橢圓橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器）濾波器 實現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器實現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器6

23、.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性(1) 巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：221()1()aNcHj巴特沃思幅度特性和N的關系二、巴特沃思低通濾波器的設計方法二、巴特沃思低通濾波器的設計方法6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性低通濾波器。最大平坦性來逼近理想直的，它以原點的近一段范圍內(nèi)是非常平附，在濾波器導數(shù)都為零，這表明該階點，它的前、最大平坦性：在0) 12(01N頻特性具有下列特點：的巴特沃思濾波器的幅不同階次N6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性調(diào)性。、通帶、阻帶下降

24、的單2。點過是多大，幅頻特性都通管越接近理想特性。但不越陡峭，的增加，頻率邊緣下降的不變性：隨著、)0103. 3)(jH(20lgdB333adBNNdBc221()1()aNcHj將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj求極點sk，可用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (2) 幅度平方函數(shù)極點分布及幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)的構成的構成12,.,1 , 0Nk6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性221()1()aNcHjooc / 3jjc / 4( a ) N 3( b ) N 41121(

25、)222( 1)()kjNNkccsje 12,.,1 , 0Nk處。全部零點位于上沒有極點；軸為對稱軸對稱分布，、所有極點以sjj2ooc / 3jjc / 4( a ) N 3( b ) N 46.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性為巴特沃思圓；的圓周上，這個圓稱徑為為間隔均勻分布在半以個極點的、cNsHsH/N2)()(1極點。為偶數(shù)時，實軸上沒有的實軸上；分布在為奇數(shù)時，有兩個極點、當NsNc3為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(-s)。 Ha (s)的表示式為10( )()NcaNkkHsss三階巴特

26、沃斯濾波器極點分布三階巴特沃斯濾波器極點分布設N=3，極點有6個，它們分別取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： )()()(32323jcjcccassssH23012321334135jccjcjccjcsessesesse23012321334135jccjcjccjcsessesesse23012321334135jccjcjccjcsessesesse6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 101( )()aN

27、kkccHsss101( )()aNkkHppp(3) 頻率歸一化頻率歸一化6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性10( )()NcaNkkHsss令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為式中，pk為歸一化極點，用下式表示：1 21()22,0,1,1kjNkpekNNNNappbpbbpH11101)(歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha (p) 的系數(shù)以及極點可以由下表得到。101( )()aNkkHppp6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性將極點表示式代入系統(tǒng)函數(shù)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示： 巴特

28、沃思歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃思歸一化低通濾波器參數(shù) 6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性表表6-66.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性表表6-46.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應該由技術指標確定。將代入幅度平方函數(shù) 中，再將幅度平方函數(shù)式代入 得：/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc將=s代入 式中，再將|Ha(js)|2代入式中得p(4) 階數(shù)階數(shù)N的確定的確定221()1()aNcHj2)(lg10ppjH221()1()aNcHj2)(lg10ssjH6.8 常用模擬

29、低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性/ 1 0/ 1 0221()1 01()1 0psapNcaNsc/10/10101()101psapNas令，則N由下式表示： lglgspspkN pssp110110k10/10/spSP6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于等于N的最小整數(shù)。關于3dB截止頻率c，如果技術指標中沒有給出，可以按照 求出10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 10/210/210)(1;10)(1spNcsNcp6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性低通巴特沃思濾波器的設計步驟如

30、下：低通巴特沃思濾波器的設計步驟如下：1、根據(jù)技術指標p,p,s和s，用 求出濾波器的階數(shù)N；2、按照 ，求出歸一化極點pk，將pk代入 式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)；3、將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 lglgspspkN pssp110110k10/10/spSP1 21()22,0,1,1kjNkpekN101( )()aNkkHppp6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性例例1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減30dB，按照以上技術指標設計巴特沃思低通

31、濾波器。解：解：0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN ；，；，：確定濾波器的技術參數(shù)dBdBsspp3010*12*2210*5*2336.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 (1) 確定階數(shù)N (2) 求極點歸一化傳輸函數(shù)為：401( )()akkHppp5745632541530jjjjjepepepepep，1 21()22,0,1,1kjNkpekN6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。也可直接查表，由N=5

32、，查表得到： 極點：-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878；-1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb式中： b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.23616.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性(3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。將p=s/c代入Ha(p)中得到：50412323234455)(ccccccbsbsbsbsbssHskradcNpcp/2755. 52) 110(211 . 0得代入6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性skrad

33、cNscs/525.102) 110(211 . 0得代入2） 切貝雪夫濾波器（切貝雪夫濾波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHjCN：濾波器的階數(shù)c ：截止頻率，不一定為3dB帶寬01，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大CN(x) ：N階Chebyshev多項式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波紋幅度特性單調(diào)增加Type I Chebyshev11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波紋幅度特性單調(diào)增加N為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHjN為奇數(shù)( 0)1aHj0 2()1/ 1caHj 通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏c2

34、1/ 1 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0c Chebyshev濾波器的三個參量：濾波器的三個參量：c ：通帶截止頻率，給定 ：表征通帶內(nèi)波紋大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()aaHjHjN：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定由通帶衰減決定阻帶衰減越大阻帶衰減越大所需階數(shù)越高所需階數(shù)越高 s為阻帶截止頻率為阻帶截止頻率sin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 3）幅度平方特性的極點分布：）幅度平方特性的極點分布：4）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()aNkkKHsss12NcNKsin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：例：用雙線性變換法設計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾