悠悠球中的力學(xué)

1、車(chē)141-24-楊帥現(xiàn)代YO-YO球于20世紀(jì)20年代從菲律賓傳入美國(guó)（見(jiàn)下圖），其繩子只是環(huán)繞在輪軸上。最初的YO-YO球在設(shè)計(jì)時(shí)是將繩子緊系在輪軸上。而現(xiàn)代溜溜球只是讓繩子環(huán)繞在輪軸上，這樣溜溜球就能“懸?！?。（圖為YO-YO球的構(gòu)造圖,一對(duì)薄片圓盤(pán),直徑一般為54-75mm,厚為10mm,塑料或金屬制成;中間為一段圓柱狀空芯薄壁中軸,直徑一般為2mm,長(zhǎng)約為20mm。圓盤(pán)通過(guò)螺帽和螺絲固定在中軸兩側(cè),然后在軸上套上細(xì)長(zhǎng)繩,并在細(xì)繩的另一端打上一個(gè)圓環(huán)。）無(wú)論哪種YO-YO球，玩家都會(huì)把繩子緊緊纏繞在輪軸上。溜溜球在玩家手中時(shí)，具有一定的勢(shì)能。這種勢(shì)能分為兩種不同形式： YO-YO球被持在

2、空中，因此具有落向地面的勢(shì)能。 繩子環(huán)繞著YO-YO球，因此放線時(shí)有旋轉(zhuǎn)的勢(shì)能。 玩家投放YO-YO球時(shí)，上述兩種形式的勢(shì)能都會(huì)轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。YO-YO球的線軸垂直落向地面，形成一定的線動(dòng)量（直線中的動(dòng)量）。同時(shí)繩子展開(kāi)、線軸旋轉(zhuǎn)，形成角動(dòng)量（旋轉(zhuǎn)的動(dòng)量）。 當(dāng)YO-YO球到達(dá)繩子底端時(shí)，就不能繼續(xù)下降了。但由于它還有很多角動(dòng)量，因此會(huì)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)讓YO-YO球獲得陀螺穩(wěn)定性。物體旋轉(zhuǎn)時(shí)外力會(huì)隨物體本身一起移動(dòng)，因此物體能抵抗對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的改變。例如，如果在轉(zhuǎn)輪頂端的某點(diǎn)推一下，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)移到轉(zhuǎn)輪前端時(shí)，施加的力依然存在。受力點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)，并最終對(duì)轉(zhuǎn)輪的底端施力，從而與最初施加在頂端的力自行抵消。

3、因此，只要YO-YO球的旋轉(zhuǎn)速度夠快，就能使其轉(zhuǎn)軸與繩子保持垂直。如果按最初的設(shè)計(jì)將繩子緊系在輪軸上，那么旋轉(zhuǎn)的輪軸就會(huì)抓緊繩子并開(kāi)始重新繞線，YO-YO球也會(huì)沿繩子向上攀回。YO-YO球重新繞線產(chǎn)生的摩擦力會(huì)損失能量，因此玩家必須稍稍拖曳繩子補(bǔ)償能量。而現(xiàn)代YO-YO球的繩子只是環(huán)繞在輪軸上，因此二者間的摩擦力變小了。線軸完全展開(kāi)時(shí)，并不會(huì)自動(dòng)彈回，只會(huì)空轉(zhuǎn)。要讓YO-YO球重新繞線，玩家只需用力拉一下繩子。拉繩會(huì)暫時(shí)增加繩子和輪軸之間的摩擦力，于是輪軸開(kāi)始重新繞線。只要開(kāi)始繞線，這種YO-YO球就能像早期的YO-YO球一樣回到玩家手中。游戲游戲時(shí),把細(xì)繩全部緊緊地纏繞在中軸上,用某一手指套

4、住圓環(huán)。將YO-YO球背向拋出后它就會(huì)馬上逆細(xì)繩纏繞方向轉(zhuǎn)動(dòng),豎直下落逐漸解脫細(xì)繩的纏繞,直到細(xì)繩全部展開(kāi)為止，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。隨后,當(dāng)人提起手時(shí)或是先將YO-YO球搭上繩子再提繩，它又會(huì)自動(dòng)順著同一轉(zhuǎn)動(dòng)方向往上爬,使細(xì)繩重新纏繞在中軸上。當(dāng)YO-YO球停止轉(zhuǎn)動(dòng)后再次拋出，YO-YO球隨即又沿反方向擺脫細(xì)繩纏繞轉(zhuǎn)動(dòng)下落,然后上爬。就這樣下落,上爬,周而復(fù)始。還可以玩一些復(fù)雜的招式。懸停裝置對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，玩YO-YO球最難的就是讓線軸懸停得久一些，以便做點(diǎn)花式技巧。要讓普通的YO-YO球懸停一會(huì)，就必須用力拋出，使其具有強(qiáng)大的角動(dòng)量。但如果快速拋出YO-YO球，手可能會(huì)抖動(dòng)，于是又把線軸拉回。此外，

5、YO-YO球新手在“收”球方面也會(huì)遇到問(wèn)題（中斷懸停）。要經(jīng)過(guò)大量練習(xí)才能使平衡力恰到好處，讓YO-YO球順利懸停。YO-YO球制造商嘗試過(guò)許多方式，希望能讓YO-YO球更易于懸停和收回。最簡(jiǎn)單的改進(jìn)方法之一就是重新分配YO-YO球的內(nèi)部重量，以改變其慣性矩。另一種方法是進(jìn)一步讓YO-YO球繩子和輪軸之間的摩擦力減小。一種盛行的方式是沿YO-YO球的輪軸安裝滾珠軸承裝置，這樣就能讓軸、繩分離。通過(guò)下列圖解，可以了解典型的軸承系統(tǒng)如何運(yùn)作。裝有滾珠軸承的YO-YO球：滾珠軸承會(huì)減少繩軸之間的摩擦力，更利于YO-YO球“懸?！?。 軸承裝置還包括兩個(gè)軸承圈，這是滾珠軸承必備的槽道。內(nèi)圈直接環(huán)繞輪軸，

6、并與外圈相距一個(gè)軸承的寬度。滾珠軸承則放置在兩個(gè)軸承圈之間。溜溜球的繩子就纏繞在外圈上，因此不會(huì)碰觸輪軸。兩個(gè)軸承圈也沒(méi)有互相綁定：內(nèi)圈可以在外圈之內(nèi)稍稍?xún)A斜。當(dāng)我們拋出YO-YO球時(shí)，放線動(dòng)作會(huì)帶動(dòng)外圈旋轉(zhuǎn)。而拋力又令外圈里的內(nèi)圈傾斜，增加兩個(gè)軸承圈與滾珠軸承之間的摩擦力。傾斜會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)軸承圈彼此咬合，讓它們動(dòng)作一致。這樣一來(lái)，旋轉(zhuǎn)的外圈就帶動(dòng)內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，從而令YO-YO球的輪軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)YO-YO球到達(dá)繩子底端時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)圓片的陀螺運(yùn)動(dòng)會(huì)使兩個(gè)軸承圈平行，讓它們互相對(duì)齊。實(shí)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)后，滾珠軸承就能在兩個(gè)軸承圈之間平穩(wěn)移動(dòng)。經(jīng)過(guò)適當(dāng)潤(rùn)滑的軸承能大大減少兩個(gè)軸承圈之間的摩擦力。而摩擦力減少，輪軸

7、就更容易旋轉(zhuǎn)，也就能增加懸停時(shí)間。若想收回YO-YO球，就用力拉繩子。這會(huì)令外圈相對(duì)于內(nèi)圈傾斜，增加軸承的摩擦力。于是軸承裝置再次咬合，外圈的旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)YO-YO球沿繩子向上回滾。這種裝置更利于YO-YO球懸停，但對(duì)收回溜溜球卻沒(méi)有多大幫助。自動(dòng)回收裝置在20世紀(jì)90年代的溜溜球熱潮中，一種新型的自動(dòng)YO-YO球開(kāi)始四處興盛。這種YO-YO球的主要制造商Yomega在廣告中稱(chēng)自己的產(chǎn)品為“有大腦的YO-YO球”。的確，這種溜溜球看上去仿佛具有某種程度的智力，因?yàn)樗鼈兙_知道何時(shí)懸停及收回，但所謂“大腦”其實(shí)只是一個(gè)離心離合器。下列圖解可供您了解這種裝置的運(yùn)作方式。當(dāng)這種YO-YO球快速旋轉(zhuǎn)時(shí)，離

8、合器裝置會(huì)松開(kāi)輪軸；在YO-YO球速度減緩時(shí)又會(huì)重新咬合。這就讓YO-YO球在停止轉(zhuǎn)動(dòng)前自動(dòng)收回。與上一節(jié)介紹的滾珠軸承YO-YO球一樣，這種YO-YO球也不會(huì)讓繩子直接碰觸輪軸。而只是讓繩子繞在主軸上。輪軸安裝在YO-YO球的兩個(gè)圓片上，并穿過(guò)主軸中間，但主軸和輪軸其實(shí)并不相連。然而，在離合裝置的作用下，當(dāng)YO-YO球緩慢旋轉(zhuǎn)時(shí)，主軸和輪軸運(yùn)動(dòng)會(huì)一致。離合裝置安放在一個(gè)YO-YO球圓片中，它包括兩條金屬?gòu)椈杀?。彈簧臂的一端加重，另一端則連接到Y(jié)O-YO球上。當(dāng)YO-YO球靜止或緩慢旋轉(zhuǎn)時(shí)，彈簧將離合器臂推向主軸，讓主軸的旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)整個(gè)YO-YO球。但當(dāng)YO-YO球加速時(shí)，離心力將離合器臂的加重

9、端朝彈簧向外推。離合器臂松開(kāi)主軸，于是主軸和YO-YO球的其他部位都獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。YO-YO球在剛剛拋出時(shí)旋轉(zhuǎn)緩慢。于是離合器咬合，主軸放線時(shí)帶動(dòng)圓片旋轉(zhuǎn)。但就在YO-YO球到達(dá)繩子底端前，由于旋轉(zhuǎn)速度快，離合器會(huì)松開(kāi)主軸。圓片的角動(dòng)量讓YO-YO球保持旋轉(zhuǎn)，但主軸的速度會(huì)減慢。最終圓片的速度也減慢，作用于彈簧臂的離心力也變小。當(dāng)向外的離心力小于彈簧向內(nèi)的力時(shí)，彈簧臂會(huì)緊緊夾住主軸。這會(huì)將圓片的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)帶回主軸，讓主軸重新繞線并回到你的手中。建立理想模型中軸為一空芯薄壁圓柱,半徑為r,質(zhì)量為m1,中軸兩側(cè)為一對(duì)薄片圓盤(pán),半徑為R,每個(gè)圓盤(pán)的質(zhì)量為m2。設(shè)溜溜球的整體質(zhì)量為m,則有m=m1+2m2

10、(1)溜溜球?qū)νㄟ^(guò)其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為J=m1r+2（m2R/2）=m1r+m2R (2)為了分析方便：假設(shè)溜溜球下落的初始速度為Vco=0,初始轉(zhuǎn)速度0=0;假設(shè)細(xì)繩是完全彈性體(即不考慮球體轉(zhuǎn)向時(shí)平動(dòng)動(dòng)能的損失);暫不考慮空氣的阻尼和細(xì)繩的摩擦阻力;忽略細(xì)繩的質(zhì)量。進(jìn)行理論分析YO-YO球的運(yùn)動(dòng)可看成整個(gè)球體隨質(zhì)心C在垂直方向上的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加。如圖2所示，假設(shè)YO-YO球在“上爬下走”過(guò)程中,細(xì)繩的張力為T(mén),重力加速度為g,質(zhì)心加速度為ac,轉(zhuǎn)體所受合外力矩為Mc,角加速度為.由剛體平面運(yùn)動(dòng)微積分得,mac=mg-T (3)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,Mc=J=

11、Tr (4)因?yàn)閅O-YO球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅有轉(zhuǎn)動(dòng),所以其質(zhì)心加速度ac與中軸和細(xì)繩切點(diǎn)處的切向加速度at相等,即ac=at.由于at=rB,故有ac=r (5)聯(lián)立(4)(5)消去,得Mc=Jac/r=T即acJ/r=T (6)把(6)代入(3),整理得ac=g/（1+（J/mr） (7)把(7)代入(5),得= g/（r+（J/mr） (8)如圖三所示，根據(jù)S=(1/2)at可計(jì)算出YO-YO球單程運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t為，t=（2H/ac）=（2H/g）（1+（J/mr） (9)式中H為YO-YO球單程運(yùn)動(dòng)的高度。根據(jù)v-v0=2as可計(jì)算出質(zhì)心C下落的速度vc為,vc=2acH=（2gh/（

12、1+（J/mr） (10)式中h為YO-YO球下落的高度。因?yàn)閅O-YO球作純滾動(dòng)，所以vc=vt=r,式中vt為中軸與細(xì)繩切點(diǎn)處的切向速度, 為溜溜球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。故有=vc/r=（2gh/（r+（J/m） (11)YO-YO球下落過(guò)程中作平面運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能為，T=(1/2)mvc=(1/2)J (12)把(10)(11)代入(12)得T=(mgh/（1+（J/mr）+（Jgh/（r+（J/m）=mgh (13)同理，計(jì)算YO-YO球上爬過(guò)程中的Vc、mvc/2、J/2、W動(dòng)、W勢(shì), 也可由此得到(13)式。(7)(8)(9)(10)(11)說(shuō)明,YO-YO球的垂直加速ac,速度Vc,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t

13、和轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度,角速度僅僅取決于它的質(zhì)量m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和中軸半徑r?？梢?jiàn),利用不同材料(改變m),不同中軸(改變r(jià))和不同造型(改變J)就可制作出不同類(lèi)型的YO-YO球。從(7)式可知,對(duì)于某一確定的YO-YO球來(lái)說(shuō),m,r,J都是確定不變的,即ac=g/（1+（J/mr）的大小是確定不變的。因此, YO-YO球的平動(dòng)是勻變速垂直運(yùn)動(dòng)。同理,由(8)式可知, YO-YO球的轉(zhuǎn)動(dòng)是勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。(13)式說(shuō)明, YO-YO球在“上爬下走”運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總機(jī)械能是守恒的。 對(duì)實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析當(dāng)YO-YO球自由釋放后,立即開(kāi)始逆纏繞方向豎直下落,重力勢(shì)能逐漸轉(zhuǎn)換成平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,隨著重力勢(shì)能的減少,

14、下落的速度越來(lái)越快,轉(zhuǎn)動(dòng)的速度也越來(lái)越快。當(dāng)細(xì)繩全部展開(kāi)后,下落速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到最大值,這時(shí)原來(lái)的重力勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的作用,球體繼續(xù)旋轉(zhuǎn),但此時(shí)細(xì)繩已經(jīng)全部展開(kāi), YO-YO球已不可能再往下走,只能按照原來(lái)的旋轉(zhuǎn)方向垂直上爬,我們簡(jiǎn)稱(chēng)這一過(guò)程為“轉(zhuǎn)向”。YO-YO球在轉(zhuǎn)向過(guò)程中,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能沒(méi)有損失,但由于細(xì)繩不是完全彈性體,所以平動(dòng)動(dòng)能有損失。因此,總機(jī)械能減少了, YO-YO球則不能爬上下落時(shí)的高度。在轉(zhuǎn)向中,有一部分轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)換成了平動(dòng)動(dòng)能,以補(bǔ)充損失的平動(dòng)動(dòng)能的一部分,使球體獲得適當(dāng)?shù)纳吓来怪彼俣取Ｇ蝮w的上爬,是把轉(zhuǎn)向時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能的過(guò)程,亦即隨著高度的增加,上爬的垂直速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度越來(lái)越小。當(dāng)兩個(gè)速度為零時(shí)球體不再上爬。如果要使YO-YO球爬上下落時(shí)的高度,就必須在轉(zhuǎn)向過(guò)程中,使YO-Y