LEBESGUE積分極限定理ppt課件

1、Lebesgue積分的極限定理nff假設(shè)每個(gè)都可積，那么都可積，那么能否可積？能否可積？已接觸的例子？在Riemann積分或Lebesgue積分框架下思索問題： 在Riemann積分框架下，要附加很強(qiáng)條件，使得積分與極限可以交換次序，而在Lebesgue積分框架下，條件很弱！ nf. f設(shè)設(shè)是函數(shù)列且按照某種意義收斂到是函數(shù)列且按照某種意義收斂到fnff假設(shè)假設(shè) 可積，那么可積，那么積分的極限能否為積分的極限能否為的積分？的積分？即積分與極限能否可以交換次序？即積分與極限能否可以交換次序？3.2.1Lebesgue積分與極限運(yùn)算的交換定理積分與極限運(yùn)算的交換定理定理3.2.1Lebesgue根

2、本定理 nfx設(shè)是可測(cè)集合是可測(cè)集合E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列， 1kkf xfx Ef x dx 1kEkfx dx那那么么證明關(guān)鍵：Levi漸升列積分定理。3注：非負(fù)可測(cè)函數(shù)的級(jí)數(shù)求和與積分次序可換。注：非負(fù)可測(cè)函數(shù)的級(jí)數(shù)求和與積分次序可換。證明：令證明：令 1nnkkSxfx limnnSxf x故由Levi定理， Ef x dx limnEnSx dx 1limnkEnkfx dx 1kEkfx dx非負(fù)單調(diào)遞增可測(cè)函數(shù)列且非負(fù)單調(diào)遞增可測(cè)函數(shù)列且積分線性1.nnEEnEE推論3.2.2設(shè)是可測(cè)集中互不相交可測(cè)子集，fnE假設(shè)在E上積分存在，那么在每個(gè)上積分存在； fL En

3、fL E2假設(shè)假設(shè)，那么，那么，且，且 Ef x dx積分對(duì)積分域的可列可加性 1nEnf x dx5 nEnEfxfdxxxx d 1nnfxfxx 1.nEEnfx dxfx dx由于由于類似的，類似的， 1nEnfxx dx 1nEnfx dx Efx dx6 6于是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nEEnfx dxfx dx 無(wú)妨設(shè) .Efx dx fE假設(shè)在上積分存在， Efx dx Efx dx與至少一個(gè)有限，至少一個(gè)有限， nEfx dx n特別的，特別的，fnE所以所以在在上積分存在。上積分存在。 fL E假設(shè) ，即 Efx dx Efx dx nEfx dx nEfx dx n因此對(duì)每個(gè).nfL

4、 E故8 EEEf x dxfx dxfx dx 11nnEEnnfx dxfx dx 1nnEEnfx dxfx dx 1nEnf x dx9 inf:njgxfxjnng limlimnnnngxfx證明：思索非負(fù)函數(shù)那么 非負(fù)可測(cè)單調(diào)遞增，且利用Levi定理， limlimnnEE nnfx dxgx dx limnEngx dx lim.nEnfx dx limnEngx dx nfE設(shè)是可測(cè)集上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，那么定理3.2.3(Fatou引理) limnEnfx dx limnEnfx dx注：Fatou引理中，不等號(hào)能夠會(huì)出現(xiàn)。 11注：Fatou引理中，不等號(hào)能夠會(huì)出現(xiàn)。 22

5、11,2,2xnnfxenn 1.nRfx dx 那么例子：思索 上非負(fù)函數(shù)列R R lim0:nnfxf x 0. .f xa e0 x 但是當(dāng) 時(shí)，即極限函數(shù)于是， lim0nR nfx dx 1limnRnfx dx高斯分布12limlimnnnnff 即得2。2在對(duì)函數(shù)列 nf運(yùn)用1的結(jié)果，并意到證明：1對(duì)函數(shù)列nfg運(yùn)用Fatou引理即得1； limlim.nnEEnnfx dxfx dxg. .nfgae假設(shè)存在可積函數(shù)，那么練習(xí)：設(shè) nf是一列可測(cè)函數(shù)。 limlim;nnEEnnfx dxfx dxg. .nfgae假設(shè)存在可積函數(shù)，那么；13,( )kEfEMMlim( )(

6、 ). .kkfxf xae ,nffL E定理定理3.2.4(Lebesgue控制收斂定理控制收斂定理)設(shè)設(shè)且有且有 FL E|( )|( ). .nf xF xae假設(shè)存在假設(shè)存在使得使得 ，那，那么么lim( )( )kkEEfx dxf x dx且F kf注：可積函數(shù)稱為函數(shù)列的控制函數(shù)。左側(cè)極限存在？證明：由于lim( )( ). .kkfxf xae為可測(cè)函數(shù)。進(jìn)而由f|( )|( ). .nfxF xae,nffL E因此|. .fFa e知：E思索上可積函數(shù)列( ) |( )( )|,1,2,kkgxfxf xk0 |( )| 2 ( )1,2,kgxF xk由于由Fatou引

7、理，14142 ( )lim( )kkEgxxxFd2 ( )lim ( )kkEgxF xx d15即 lim2( )2( )li()m)kkEkkEEEF x dxF x dxggx ddxxxlim( )0,. .kkgxa elim( )0kkEgx dx，lim( )0.kkEgx dx由于 得即 ,nnEEEf x dxfx dxgx dx最后，由n 令令，即知命題成立。，即知命題成立。( ) |( )( )|,1,2,kkgxfxf xk. .nfFae ( )kfL Emnff EM ( )nfEM推論3.2.5設(shè)，且 FL E假設(shè)，滿足，那么， limnEEnfx dxf x

8、 dx且17lim( )0.nnEgx dx( ) |( )( )|,1,2,nng xf xf xn記： 類似上面定理，只需求證明mnff 證明：由于. .knffae由Riesz定理，存在子列由Lebesgue控制收斂定理， fL E18( )1,2,inEgx dxi012nn假設(shè)結(jié)論不成立，那么存在與，使得mnff imnff 0. .ijngae由于，必有. .ijnffae由Riesz定理，存在子列，即于是lim( )ijnjEgx dx這與上述不等式矛盾。因此結(jié)論成立。lim( )0ijnjEgx dx推論3.2.6(有界收斂定理) ,m E .nfL E nfx0,M 設(shè)一致有

9、界，即存在常數(shù)假設(shè) ,1,2,nfxMnxE. .nffaemnff 那么當(dāng)，或者時(shí)，有l(wèi)im( )( ).nnEEfx dxf x dx注：Fatou引理常用于判別非負(fù)極限函數(shù)的可積性質(zhì)；控制收斂定理那么給出積分與極限可換序的充分條件。運(yùn)用控制收斂定理關(guān)鍵在于找出控制函數(shù)！ m E 進(jìn)而留意到當(dāng)時(shí)，E上常函數(shù)可積，有：201|( )|nnEfx dx ,EM .nfL E定理3.2.7(逐項(xiàng)積分)設(shè)假設(shè)那么級(jí)數(shù)1( )nnfxE在上幾乎處處收斂。 1( )nnEfx dx，那么 f x fL E記和函數(shù)為，且有( ).Ef x dx證明：定義函數(shù) 1nnF xfx由非負(fù)可測(cè)函數(shù)列逐項(xiàng)積分定理

10、Lebesgue根本定理 1limniniEEF x dxfx dx即 FL E . .F xae ，從而1|( )|nnEfx dx 1( )nnfxE這闡明在上幾乎處處收斂， f x。記和函數(shù)為可積那么幾乎處處有限22 1. .nnf xfxF xae由于 .fL E因此有：記記 1( )mmnnSxfx，那么，那么 1( )mmnnSxfxF x由控制收斂定理，由控制收斂定理， Ef x dx limmmESx dx limmmESx dx1( ).nnEfx dx23在微積分中，交換積分運(yùn)算與極限運(yùn)算次序是研討在微積分中，交換積分運(yùn)算與極限運(yùn)算次序是研討含參變量積分的主要工具。含參變量

11、積分的主要工具。 :,Eyf x y dx是定義是定義, a b, a b的有限實(shí)值函數(shù)，稱為的有限實(shí)值函數(shù)，稱為上參變積分。上參變積分。 ,f x yF xxE ya b FL E設(shè)存在設(shè)存在使得使得0lim,yyfx yE那么假設(shè)那么假設(shè)在在上幾乎處處存在，就有上幾乎處處存在，就有定理定理3.2.8對(duì)于上述參變積分，如下結(jié)論成立：對(duì)于上述參變積分，如下結(jié)論成立： 00limlim,Eyyyyyf x y dx其中其中 :,.Eyf x y dx,f x y,yfx y :FL E ,yfx yF xxE ya b 2)假設(shè)假設(shè)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且存在存在，且存在那么那么 ,.yEyfx y dx證明：證明：1 0limlimnyynyy0y,nya b調(diào)查收斂于調(diào)查收斂于的序列的序列，那么，那么 :,nnfxf x y .nfxF x定義函數(shù)列定義函數(shù)列 nfxE那么那么在在上幾乎處處收斂，且上幾乎處處收斂，且由控制收斂定理，由控制收斂定理， 0limlimnyynyylim,nEnf x ylim,nE nf x y0lim,E yyf x y dx關(guān)鍵在于將收斂轉(zhuǎn)化為序列的收斂。關(guān)鍵在于將收斂轉(zhuǎn)化為序列的收斂。26由微分中值定理，存在由微分中值定理，存在,za b使得使得 , yg x zfx zF xxE 于是