【課件】5.6 函數(shù)y=Asin(ωx ψ)（課件）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期（人教A版2019必修第一冊）

1、第第五五章章 三角三角函數(shù)函數(shù)人教A版2019 必修第一冊5.6sin()yAx 函函數(shù)數(shù)問題問題 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖圖5.6-1)明朝科學(xué)家徐光啟在明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書農(nóng)政全書中用圖畫描繪了筒車的工作原理中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖圖5.6-2)假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒動你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒

2、(視為質(zhì)點視為質(zhì)點)距離水面的相距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎？對高度與時間的關(guān)系嗎？因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它的運動規(guī)律的運動規(guī)律思考思考與盛水筒運動相關(guān)的量有哪些？它們之間有怎樣的關(guān)系？與盛水筒運動相關(guān)的量有哪些？它們之間有怎樣的關(guān)系？如圖如圖5.6-3，將筒車抽象為一個幾何圖形，設(shè)經(jīng)過，將筒車抽象為一個幾何圖形，設(shè)經(jīng)過t s后，盛水筒后，盛水筒M從點從點P0運動到點運動到點P由筒車的工作原理可知，這個盛水筒距離水面的高度由筒車的工作原理可知，這個盛水筒距離水面的高度H，由以下量所決定：筒車

3、轉(zhuǎn)輪的中心由以下量所決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離到水面的距離h，筒車的半徑，筒車的半徑r，筒，筒轉(zhuǎn)動的角速度轉(zhuǎn)動的角速度，盛水筒的初始位置，盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過的時間以及所經(jīng)過的時間t下面我們分析這些量的相互關(guān)系，進而建立盛水筒下面我們分析這些量的相互關(guān)系，進而建立盛水筒M運動的數(shù)學(xué)模型運動的數(shù)學(xué)模型00.0,s( , ),sin(),OOxOxOPxtMPOPtP x yxyrt 如如圖圖 以以 為為原原點點 以以與與水水平平面面以以為為始始邊邊為為終終邊邊的的平平行行的的直直線線為為 軸軸建建立立直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系 設(shè)設(shè)時時 盛盛水水筒筒位位于于點點后后運運動動到到點點于

4、于是是為為終終邊邊的的角角為為經(jīng)經(jīng)過過以以為為角角為為邊邊且且始始并并有有,sin()MHtHrth所所以以 盛盛水水筒筒距距離離水水面面的的高高度度與與時時間間 的的關(guān)關(guān)系系是是函數(shù)就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性函數(shù)就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運動規(guī)律由質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運動規(guī)律由于于h是常量，我們可以只研究函數(shù)的性質(zhì)是常量，我們可以只研究函數(shù)的性質(zhì)sin()(0,0).,yAxAA 上上面面我我們們利利用用三三角角函函數(shù)數(shù)的的知知識識建建立立了了一一個個形形如如其其中中的的函函數(shù)數(shù) 顯顯然然 這這個個函函數(shù)數(shù)由由參參數(shù)數(shù)所所確確定定 因因此此

5、 只只要要了了解解這這些些參參數(shù)數(shù)的的意意義義 知知道道它它們們的的變變化化對對函函數(shù)數(shù)圖圖象象的的影影響響 就就能能把把握握這這個個函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì). .,sinsin()1,1,0.(1)sin,sin()?(2)sin(),?yxyAxAyxAyAxyAx 從從解解析析式式看看 函函數(shù)數(shù)就就是是函函數(shù)數(shù)在在時時的的特特殊殊情情形形能能否否借借助助我我們們熟熟悉悉的的函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象與與性性質(zhì)質(zhì)研研究究參參數(shù)數(shù)對對函函數(shù)數(shù)的的影影響響函函數(shù)數(shù)含含有有三三個個參參數(shù)數(shù) 你你認認為為應(yīng)應(yīng)按按怎怎樣樣的的思思路路進進思思行行研研究究考考1.sin()yAx探探索索 對對圖圖象象的的影影響

6、響,為為了了更更加加直直觀觀地地觀觀察察參參數(shù)數(shù) 對對函函數(shù)數(shù)圖圖象象的的影影響響 下下面面借借助助信信息息技技術(shù)術(shù)做做一一個個數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)實實驗驗. .1,1,1,AMO 如如圖圖 取取動動點點在在單單位位圓圓上上以以單單位位角角速速度度按按逆逆時時針針方方向向運運動動. .0(0),s,sin .( , ),sin.MQxPPyxx yyx 如如果果動動點點以以為為起起點點 此此時時經(jīng)經(jīng)過過后后運運動動到到點點那那么么點點 的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo) 就就等等于于以以為為坐坐標(biāo)標(biāo)描描點點 可可得得正正弦弦函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象001101,6,?,?633QQOQQO 在在單單位位圓圓上上拖拖動動起起點點

7、使使點點繞繞點點你你發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)圖圖象象有有什什么么變變探探究究旋旋化化如如果果使使點點或或者者旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個個任任意意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到到繞繞點點旋旋角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)呢呢1,sin.66Qyx 當(dāng)當(dāng)起起點點位位于于時時可可得得函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象0101,s,s.6QQQPxQPx 進進一一步步 在在單單位位圓圓上上 設(shè)設(shè)兩兩個個動動點點分分別別以以為為起起點點同同時時開開始始運運動動. .如如果果以以為為起起點點的的動動點點到到達達圓圓周周上上點點 的的時時間間為為那那么么以以為為起起點點的的動動點點相相繼繼到到達達點點 的的時時間間是是( , )sin,sin,66,sin,6sin.6F x yyxG xyy

8、xyxyx 這這個個規(guī)規(guī)律律反反映映在在圖圖象象上上就就是是： 如如果果是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上的的一一點點那那么么點點就就是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上的的點點 如如圖圖所所示示 這這說說明明 把把正正弦弦曲曲線線上上的的所所有有點點向向左左平平移移個個單單位位長長度度就就得得到到的的圖圖象象,sin()(0),(0)(0),sin().MQyxyx 一一般般地地 當(dāng)當(dāng)動動點點的的起起點點位位置置 所所對對應(yīng)應(yīng)的的角角為為 時時 對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)是是把把正正弦弦曲曲線線上上的的所所有有點點向向左左 當(dāng)當(dāng)時時 或或向向右右當(dāng)當(dāng)時時 平平移移個個單單位位長長度度 就就得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象2

9、.(0)sin()yx 探探索索對對圖圖象象的的影影響響.,1.,.1,sin.6,6Ayx 仍仍然然通通過過數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)實實驗驗來來探探索索 如如圖圖 取取圓圓的的半半徑徑為為了了研研究究方方便便不不妨妨下下令令當(dāng)當(dāng)時時 得得到到的的圖圖象象面面112,?3,23? 圖圖象象有有什什么么變變化化取取呢呢 取取圖圖象象又又有有什什么么變變化化 當(dāng)當(dāng) 取取探探究究任任意意正正數(shù)數(shù)呢呢取取2,sin 2.6yx 取取時時 得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象12112,122112,( , )sin,261,s.s.,s226,inQPxPxxxG x yyxKx yyx 為為起起點點的的動動點點 當(dāng)當(dāng)時時到

10、到達達點點 的的時時間間為為當(dāng)當(dāng)時時到到達達點點 的的時時間間為為時時動動點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速是是時時的的 倍倍 所所以以是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上的的進進一一步步 在在單單位位圓圓上上一一點點那那么么就就是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象設(shè)設(shè)以以因因為為這這樣樣 設(shè)設(shè)上上的的相相應(yīng)應(yīng)點點. .12,1212,1,sin62sin 2,sin 2,6,s.61sin.62(),QPxyxyxyxyx 為為起起點點的的動動點點 當(dāng)當(dāng)時時到到達達點點 的的時時間間為為時時動動點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速是是時時 倍倍 如如圖圖所所示示這這說說明明 把把的的圖圖象象上上所所有有點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)縮縮短短到到原原來來的的倍倍縱縱坐

11、坐標(biāo)標(biāo)不不變變就就得得到到的的進進一一步步 在在單單位位圓圓上上圖圖象象的的周周期期為為是是的的為為周周期期的的設(shè)設(shè)以以倍倍因因111,1,2212,sin612sin.261sin4 ,sin,(),2266QPyxyxyxyx 時時 動動點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速是是時時的的倍倍 以以到到達達點點 的的時時間間是是時時的的 倍倍. .這這樣樣 把把圖圖象象上上所所有有點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)擴擴大大到到原原來來的的 倍倍 縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變的的圖圖象象的的周周期期同同理理 當(dāng)當(dāng)為為起起是是是是周周點點就就到到期期的的得得倍倍2,sin(),sin()1(1)(01)(),sin()yxyxyx 一一般

12、般地地 函函數(shù)數(shù)的的周周期期是是把把圖圖象象上上所所有有點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)縮縮短短 當(dāng)當(dāng)時時 或或伸伸長長 當(dāng)當(dāng)時時 到到原原來來的的倍倍縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變就就得得到到的的圖圖象象. .3.(0)sin()A AyAx探探索索對對圖圖象象的的影影響響.2,6A 下下面面通通過過數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)實實驗驗探探索索 對對函函數(shù)數(shù)圖圖象象的的影影響響 為為了了研研究究方方便便. .不不妨妨令令1,sin 2.6Ayx 當(dāng)當(dāng)時時 如如圖圖 得得到到的的圖圖象象,112,3,?23?AAA等等 你你發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)圖圖象象有有什什么么變變化化當(dāng)當(dāng)探探究究改改取取任任意意變變 的的取取值值取取正正數(shù)數(shù)呢呢使使2,2si

13、n 2.6Ayx 當(dāng)當(dāng)時時 得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象11111112,2,sin 2;,26,2sin 2.6,.O QOTQx sPPxTOTTx 為為半半徑徑的的圓圓交交于于如如果果單單位位圓圓上上以以為為起起點點的的動動點點 以以的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速經(jīng)經(jīng)過過到到達達圓圓周周上上點點那那么么點點 的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是相相應(yīng)應(yīng)地地 點點在在以以為為半半徑徑的的圓圓上上運運動動到到點點點點 的的進進一一步步 設(shè)設(shè)射射線線與與以以為為圓圓心心、為為圓圓心心縱縱、坐坐標(biāo)標(biāo)是是( , )sin 2,( ,2 )62sin 2,.,6sin 262sin 2.,(,6)K x yyxN xyyxyxyx

14、是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上的的一一點點 那那么么點點就就是是函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上的的相相應(yīng)應(yīng)點點 如如圖圖所所示示 這這說說明明 把把圖圖象象上上所所有有點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)伸伸長長到到原原來來的的倍倍 橫橫這這樣樣 設(shè)設(shè)就就坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變到到的的圖圖象象得得1,()sin 2621sin 226,yxyx 同同圖圖象象上上所所有有點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)縮縮短短到到原原來來的的倍倍橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)不不理理 把把變變就就得得到到的的圖圖象象. .,sin(),sin()(1)(01)().,sin(),.yAxyxAAAyAxA AAA 一一般般地地 函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象 可可以以看看作作把把圖圖象象

15、上上所所有有點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)伸伸長長 當(dāng)當(dāng)時時 或或縮縮短短 當(dāng)當(dāng)時時 到到原原來來的的 倍倍橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變從從而而 函函數(shù)數(shù)的的值值域域是是最最大大值值是是最最小小值值是是;sin)1(:的圖象的圖象先畫出函數(shù)先畫出函數(shù)答答xy (2)(),sin();yx再再把把正正弦弦曲曲線線向向左左 右右 平平移移個個單單位位長長度度 得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象1(3),()sin();yx 然然后后使使曲曲線線上上各各點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)變變?yōu)闉樵瓉韥淼牡谋侗?縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變 得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象(4),()sin().AyAx 最最后后把把曲曲線線上上各各點點的的縱縱坐

16、坐標(biāo)標(biāo)變變?yōu)闉樵瓉韥淼牡?倍倍 橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)不不變變 這這時時的的曲曲線線就就是是函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象,sin()(0,0)?yAxA 你你能能總總結(jié)結(jié)一一下下從從正正弦弦函函數(shù)數(shù)圖圖象象出出發(fā)發(fā) 通通過過圖圖象象變變換換得得到到圖圖象象的的過過程程與與思思方方法法嗎嗎考考步驟步驟1步驟步驟2步驟步驟3步驟步驟4xyo-122321y12232-1xo2232xyo-112232xyo-11(沿沿x軸平行移動軸平行移動)(橫坐標(biāo)伸長或縮短橫坐標(biāo)伸長或縮短)(縱坐標(biāo)伸長或縮短縱坐標(biāo)伸長或縮短)2sin 361.yx 畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的簡簡圖圖例例sin,6sin.6yxyx 先先畫畫出出函函

17、數(shù)數(shù)的的圖圖象象 再再把把正正弦弦曲曲線線向向右右平平移移個個單單位位長長度度得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象sinyx sin6yx 1,sin 336yx 然然后后使使曲曲線線上上各各點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)變變?yōu)闉樵瓉韥淼牡谋侗?得得到到函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象sin6yx sin 36yx 2,2sin 3,.6yx 最最后后把把曲曲線線上上各各點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)變變?yōu)闉樵瓉韥淼牡?倍倍 這這時時的的曲曲線線就就是是函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象 如如圖圖所所示示3sin 36yx 22sin 3,6313,636yxTXxxX下下面面用用“五五點點法法”畫畫函函一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)的的圖圖象象令令則

18、則列列表表數(shù)數(shù)描描點點畫畫圖圖X02xy020-202 32 18 29 718 59 1318 例例2 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色如圖里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色如圖5.6-9，某摩天輪最高，某摩天輪最高點距離地面高度為點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有，設(shè)置有48個座艙，開啟后個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要

19、一周大約需要30min(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動t min后后距離地面的高度為距離地面的高度為H m，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于關(guān)于t的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式;分析：摩天輪上的座艙運近似地看作是質(zhì)點在分析：摩天輪上的座艙運近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考地面的高度呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫慮用三角函數(shù)來刻畫,.POx設(shè)設(shè)座座艙艙距距離離地地面面最最近近的的位位置置為為點點以以軸軸心心 為為原原點點 與與地地面面平平行行的的直直線線為為 軸軸建建立立直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系(0, 55),230min,rad(/min,1555sin65, 0301)0min152,POtPHtt 游游客客甲甲位位于于點點以以為為終終邊邊的的角角為為根根據(jù)據(jù)摩摩天天輪輪轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周大大約約需需要要可可知知座座艙艙轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動的的角角速速度度約約為為由由題題