電離雜質(zhì)對載流子的散射

1、School of MicroelectronicsSchool of Microelectronicsl 要想提高器件溝道內(nèi)載流子的速度，研究載流子的遷移率是關鍵，而與遷移率相關的一個很重要的因素就是載流子的散射幾率。l 半導體內(nèi)部的載流子在一定溫度下，即使不受電場作用，也在永不停息的做著無規(guī)則的熱運動，帶電載流子在運動過程中就不斷地與這些帶電的雜質(zhì)或者正在熱振動的晶格原子發(fā)生碰撞，載流子被碰撞后運動軌跡就發(fā)生了變化，從波的概念來說，這是發(fā)生了散射。School of Microelectronicsl 載流子在熱運動的同時，還在不斷的受到其他各方面的影響。對于絕大多數(shù)半導體材料來說，我們在

2、考慮它們的散射機制的時候，往往只需要考慮影響半導體材料的主要散射原因，而忽略掉次要因素。像Si、Ge這類半導體，電離雜質(zhì)散射和晶格散射是主要的，尤其是在低溫或者低摻雜及中度摻雜的時候，至于溫度升高，升高到一定程度以后，它們的作用會漸漸減弱，直至不予考慮，這時候一些其他類型的散射形式就出現(xiàn)了，占據(jù)主導地位，直接影響到半導體材料的散射程度。School of Microelectronicsl 散射形成的根本原因在于原子在不同能級之間發(fā)生了躍遷，躍遷的結果是從一個初態(tài)躍遷到另外一個末態(tài)，這個躍遷過程中會發(fā)生能量的改變，或者釋能量或者吸收能量，并且改變的能量不是連續(xù)值，只能是某個特定值值成倍數(shù)增加或

3、者減少。所以躍遷的本質(zhì)涉及到量子力學中的散射理論。School of Microelectronicsl 從量子力學中的費米黃金法則開始，所有的散射機制都是由此產(chǎn)生，并且衍生出來的。半導體中載流子在運動過程中遭到散射的根本原因是周期性勢場的被破壞。如果半導體內(nèi)部除了周期性勢場外，又存在一個附加勢場的作用，就會使能帶中的電子發(fā)生在不同k狀態(tài)間的躍遷。例如，原來處于k狀態(tài)的子，附加勢場促使它有一定的幾率躍遷到各種其它的狀態(tài)k，也就是說，原來沿某一個方向以v(k)運動的電子，附加勢場可以使它散射到其他各個方向，改以速度v(k)運動。也就是說，電子在運動過程中遭到了散射。 School of Micr

4、oelectronics費米黃金定則：在微擾勢(x)的作用下電子由一個狀態(tài)k(初態(tài)）向另一個狀態(tài)k(終態(tài)）躍遷的躍遷幾率W（k,k) （1） 和 分別是初態(tài)和終態(tài)電子的能量， 為參與散射的聲子能量。上式中的 函數(shù)體現(xiàn)了躍遷中的能量守恒。 對于彈性散射， 。上式中 為躍遷矩陣元，由下式可知躍遷矩陣元取決于波函數(shù)和微擾勢 V(x)。 （2）對于與時間無關的V(x)，可將其展開為傅里葉級數(shù) （3）波矢為q的傅里葉系數(shù)A(q)可由下式得到，式中V為晶體體積。 （4）)(2) ,(W2qkkkkMkkkkMdxHkkkkMk k0qqqxiqqAx)exp()()V(dxexVVqAxiq)(1)(Sc

5、hool of Microelectronics將（3）式和 代入式（1），得到 （5）其中 ，稱為重疊積分。)()(xuexkxikkkkkkkkxkqkikkIkkAdxxuxukkAdxxuxueqA) ()()()()()()()(Mdxxuxukk)()(IkkSchool of Microelectronics在常溫下，淺施主和淺受主大部分處于電離狀態(tài)。施主雜質(zhì)電離后是一個帶正電的離子，受主雜質(zhì)電離后是一個帶負電的離子。在電離施主或受主周圍形成一個庫侖勢場，這一庫侖勢場局部地破壞了雜質(zhì)附近的周期性勢場，它就是使載流子散射的附加勢場。當載流子運動到電離雜質(zhì)附近時，由于庫侖勢場的作用，

6、就使載流子運動的方向發(fā)生改變，以速度V接近電離雜質(zhì)，而以V離開，十分類似粒子在原子核附近的散射。下圖畫出了電離雜質(zhì)對載流子散射的示意圖，它們是在散射過程中的軌跡是以電離雜質(zhì)為一個焦點的雙曲線。庫侖散射一般并不改變電子的能量，是彈性散射。圖1 載流子在電離雜質(zhì)附近的運動軌跡School of Microelectronics早期對于電離雜質(zhì)散射的研究中，E.Conwell和V.F.Weisskopf在1950年在Physical Review上發(fā)表的一篇文章。他們假設一個電子被一個離子雜質(zhì)散射時幾乎不受其他離子雜質(zhì)的影響，并且利用洛倫茲玻爾茲曼統(tǒng)計方程，計算出了電離雜質(zhì)散射的電阻率。 （6） d

7、為電離雜質(zhì)平均艱巨的一半，是半導體的介電常數(shù)。由于遷移率與電阻率是成反比的，由此得到的遷移率公式稱為Conwell-Weisskopf公式。mn電子有效質(zhì)量，NI為電離雜質(zhì)濃度 （7） 422223-2-272122311)(361lnT2109ekTdme23123212322327)3(1ln1)2IInNekTNemkT（School of Microelectronicsl 帶電載流子之所以改變了運動軌跡，發(fā)生了偏離，是因為受到電離后的雜質(zhì)所產(chǎn)生的庫侖勢場的作用，但也不是所有的載流子都會被電離雜質(zhì)的這種庫侖勢場所散射。由于晶體中自由載流子的存在，較遠距離的庫侖勢會受到屏蔽。在屏蔽庫侖勢

8、的基礎上處理電離雜質(zhì)散射將更為合理。所以用屏蔽庫侖勢代替裸庫侖勢，是處理電離雜質(zhì)散射的一個有效方法。在沒有任何附加勢的晶體中，自由載流子是均勻分布的。但電離中心的電荷引起的附加勢，使載流子在荷電中心附近偏離均勻分布。School of Microelectronics屏蔽庫侖勢：LD為德拜長度。當rLD時，電離中心的庫侖勢基本上被屏蔽。圖2給出了屏蔽庫侖勢和裸庫侖勢的比較。DLrerZerV024)(2120)(neTkLBD圖2 裸庫侖勢和屏蔽庫侖勢的比較School of Microelectronicsl 對于n型半導體，H.Brooks和C.Herring利用量子力學，對屏蔽庫侖勢作了

9、傅里葉分析，從而可計算微擾勢的矩陣元。他們得到的遷移率公式與式（7）即Conwell-Weisskopf公式具有相同的形式，僅在對數(shù)部分不同。下式稱為Brooks-Herring公式。l （8）bbbNemkTIn1)1ln1)23212322327（22226enTkmbnSchool of Microelectronics當n=NI時，由C-W公式得出的結果和B-H公式得出的結果幾乎相同，這一點在下圖3中也可以看出。雖然這兩個公式給出了不同的結果，但是當導帶電子濃度明顯少于電離雜質(zhì)濃度時，在相同的電離雜質(zhì)濃度下，B-H公式得到的遷移率較低。對此Herring指出，這主要是由于在n小于NI時

10、，B-H公式考慮了屏蔽作用減小，散射自然會更加有效，進而得到更小的遷移率。圖3 在78K和300K時，分別由B-H公式和C-W公式得出的遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度變化圖School of Microelectronicsl 在1977年，Ridley將C-W和B-H公式作了一個調(diào)和。他發(fā)現(xiàn)二者都認為特征長度限定了散射勢的范圍（在B-H公式中特征長度為屏蔽長度，而在C-W公式中特征長度為兩個電離雜質(zhì)中心距離的一半）。同樣，二者都假定一個特征長度之內(nèi)只有一個電離雜質(zhì)中心，只有這個電離雜質(zhì)中心產(chǎn)生散射，而忽略其他電離雜質(zhì)中心的散射。Ridley通過引進另一個電離雜質(zhì)中心不產(chǎn)生影響的幾率定量確定了這個假設

11、，下圖4是他們得出的結果。School of Microelectronicsl 下圖表明當屏蔽作用很弱時，即 1，C-W公式是有效的；而當屏蔽作用很強時，即1，B-H公式是有效的。他們的結果的實用性在于確定了一個屏蔽和未屏蔽區(qū)域的分界線，即 =1。在邊界線附近的區(qū)域，他們的表達式是最有用的。圖4 隨著屏蔽作用減弱，B-H公式向C-W公式交叉；=10-3，L為遷移率公式中的對數(shù)因子School of Microelectronics從圖5可以看出，當電離雜質(zhì)濃度高于1018cm-3,理論計算得到的遷移率值與實驗測得的值符合得很好。實驗得到的曲線形狀與Brooks-Herring曲線形狀相同，但

12、是實驗值相對要小。圖5 遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度的變化曲線School of Microelectronics從圖中可以看出，當電離雜質(zhì)濃度較低時，用B-H和C-W模型算得的值很相近，但在雜質(zhì)濃度高于51016cm-3時，二者的值相差較大。圖6 對纖鋅礦lnN，計算得到的低場遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度變化曲線School of Microelectronics參考文獻【1】E.Conwell,V.F.Weisskopf.Theory of impurity scattering in semiconductorsJ.Physical review,1950,77:388【2】H.Brooks,C.Herring.J.Physical Review,1951,83:879【3】P.P.Debye,E.M.Conwell.J.Physical Review,1954,93:693【4】B.K.Ridley.J.J.Phys.C:Solid State Phys,1977,10:1589【5】Gerhard Backens