流體運動的積分方程

1、 2.4.1 基本概念基本概念 流體動力學是研究產(chǎn)生流體運動的原因。為此，流體動力學是研究產(chǎn)生流體運動的原因。為此，我們必須解決三個方面的問題：我們必須解決三個方面的問題：（1）流體的運動學問題（如前述）流體的運動學問題（如前述） ；（2）作用于流體上各種力的特征（如前述）；）作用于流體上各種力的特征（如前述）；（3）控制流體運動的普遍規(guī)律；）控制流體運動的普遍規(guī)律；流體動力學基本方程就是將經(jīng)典牛頓力學描述物質(zhì)流體動力學基本方程就是將經(jīng)典牛頓力學描述物質(zhì)運動的普遍規(guī)律，應用于流體運動的物理現(xiàn)象中，運動的普遍規(guī)律，應用于流體運動的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運動各物理量之間的關系式。從而得到聯(lián)系

2、流體運動各物理量之間的關系式。系統(tǒng)的基本特點：系統(tǒng)的基本特點：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動；）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒有質(zhì)量的交換；）在系統(tǒng)的邊界上沒有質(zhì)量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。ttxyz 2.4.1 基本概念基本概念1、系統(tǒng)、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學中，系統(tǒng)是指由任何體，稱為系統(tǒng)。在流體力學中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質(zhì)點組成的團體。確定流體質(zhì)點

3、組成的團體。2、控制體（、控制體（Control Volume）定義：被流體所流過，相對于某個坐標系而言，固定義：被流體所流過，相對于某個坐標系而言，固定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱為控制面。控制體是不變的，但占據(jù)控制體的流體為控制面?？刂企w是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點隨時間是變化的。質(zhì)點隨時間是變化的?？刂企w的形狀可根據(jù)需要而控制體的形狀可根據(jù)需要而定。定。 2.4.1 基本概念基本概念xzyxyzs1s2n控制體的基本特點控制體的基本特點:（1）控制體的邊界相對于坐標系而言是固定的；）控制體的邊界相對于坐標系而言是固定的；（2）

4、在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進、流出控制面；流進、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；的力；（4）在控制面上存在能量的交換。）在控制面上存在能量的交換。 2.4.1 基本概念基本概念 針對質(zhì)量針對質(zhì)量 m 確定的封閉系統(tǒng)確定的封閉系統(tǒng)，上述基本物理，上述基本物理定律可以分別表述為：定律可以分別表述為：（1 1）質(zhì)量方程：）質(zhì)量方程： 表示：系統(tǒng)表示：系統(tǒng) 中的質(zhì)量中的質(zhì)量 m 不隨時間變化。不隨時間變化。（2）動量方程：動量方程： 表示：系統(tǒng)受外界作用的合外力等于系統(tǒng)的動量對時

5、間的表示：系統(tǒng)受外界作用的合外力等于系統(tǒng)的動量對時間的變化率。變化率。0),(ddtddtdmcm或：常數(shù)dVdtdFdtKdF或：, 2.4.2 Lagrange型積分方程型積分方程（3）動量矩方程）動量矩方程 表示：外界作用于系統(tǒng)上所有外力對某點力矩之和等于系表示：外界作用于系統(tǒng)上所有外力對某點力矩之和等于系統(tǒng)對同一點的動量矩對時間的變化率。統(tǒng)對同一點的動量矩對時間的變化率。dVrdtdFrdtMdFriirii或：,（4）能量方程）能量方程 表示：單位時間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量表示：單位時間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量 與外界對系統(tǒng)與外界對系統(tǒng)所做的功所做的功 之和等于該系統(tǒng)的總能量之和等于該

6、系統(tǒng)的總能量 E 對時間的變化率。對時間的變化率。其中右端括號內(nèi)為單位質(zhì)量流體所含內(nèi)能和動能。其中右端括號內(nèi)為單位質(zhì)量流體所含內(nèi)能和動能。 dVudtdWQdtdEWQ)2(:,2或QW 2.4.2 Lagrange型積分方程型積分方程 上述積分方程稱為上述積分方程稱為拉格朗日型積分方程拉格朗日型積分方程，其特點是：研，其特點是：研究對象是質(zhì)量確定的封閉系統(tǒng)究對象是質(zhì)量確定的封閉系統(tǒng)，方程中均含有封閉系統(tǒng)中，方程中均含有封閉系統(tǒng)中某物理量對時間的變化率。由于流體系統(tǒng)某物理量對時間的變化率。由于流體系統(tǒng) 的大小和形狀均的大小和形狀均隨時間而改變隨時間而改變，長時間追蹤系統(tǒng)有困難。此外要確切表達系

7、，長時間追蹤系統(tǒng)有困難。此外要確切表達系統(tǒng)中物理量隨時間的變化率也不容易。統(tǒng)中物理量隨時間的變化率也不容易。 有許多流體力學問題往往只關心物體附近確定區(qū)域內(nèi)有許多流體力學問題往往只關心物體附近確定區(qū)域內(nèi)的速度、作用力等，并不關心具體流體系統(tǒng)的時間歷程，拉的速度、作用力等，并不關心具體流體系統(tǒng)的時間歷程，拉格朗日型方程對于分析、研究流場來說并不方便，因此實用格朗日型方程對于分析、研究流場來說并不方便，因此實用的是以控制體為研究對象的的是以控制體為研究對象的 Euler型積分方程型積分方程。 2.4.2 Lagrange型積分方程型積分方程SdSnVdtdtdm)(由質(zhì)量守恒：由質(zhì)量守恒：0)(S

8、dSnVdt這就是這就是積分形式的質(zhì)量方程積分形式的質(zhì)量方程。其意義為：。其意義為：控制體中控制體中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量。xyzts1s2n Euler型積分方程是對控制體建立的積分方程。型積分方程是對控制體建立的積分方程。利用利用Reynolds輸運方程，可很容易獲得。輸運方程，可很容易獲得。（1）質(zhì)量方程）質(zhì)量方程由雷諾輸運方程，取由雷諾輸運方程，取1，有，有 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程由雷諾輸運方程，取由雷諾輸運方程，取 ，有：，有：（2）動量方程）動量方程VSdSnVVdVtdtKd)(由動量守恒原理得：由動量守恒

9、原理得：SdSnVVdVtF)(意義為：意義為：控制體所受合外力等于控制體中動量的控制體所受合外力等于控制體中動量的增加率加上凈流出控制面的動量流量增加率加上凈流出控制面的動量流量。積分形式動量方程積分形式動量方程 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程由雷諾輸運方程，取由雷諾輸運方程，取 ，有：，有：（3）動量矩方程）動量矩方程Vr由動量矩守恒原理得：由動量矩守恒原理得：SrdSnVVrdVrtdtMd)()()(SiidSnVVrdVrtFr)()()(積分形式動量矩方程積分形式動量矩方程意義是：意義是：控制體所受合外力矩等于控制體中動量矩的控制體所受合外力矩等于控制體中動量矩的增加率

10、加上凈流出控制面的動量矩流量。增加率加上凈流出控制面的動量矩流量。 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程Q軸Wpdsn由雷諾輸運方程，取由雷諾輸運方程，取 ，有：，有：（4）能量方程）能量方程由能量守恒原理得：由能量守恒原理得：積分形式能量方程積分形式能量方程eVu22SdSnVedetdtdE)(WQSdSnVedet)(意義是：意義是：外界對控制體的傳熱率和凈輸入功率等于控外界對控制體的傳熱率和凈輸入功率等于控制體中能量的增加率加上凈流出控制面的能量流量。制體中能量的增加率加上凈流出控制面的能量流量。 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程我們將系統(tǒng)在初始時刻占據(jù)的空間設我們將系

11、統(tǒng)在初始時刻占據(jù)的空間設為控制體，因此在初始瞬間上述對系為控制體，因此在初始瞬間上述對系統(tǒng)輸入的加熱率和做的功率都可以看統(tǒng)輸入的加熱率和做的功率都可以看成是對控制體的加熱率和功率。成是對控制體的加熱率和功率。Q軸Wpdsn其中，外界對系統(tǒng)做功還可以細分為：流體機械其中，外界對系統(tǒng)做功還可以細分為：流體機械通過軸轉動傳遞的功率稱為軸功率（有正負），通過軸轉動傳遞的功率稱為軸功率（有正負），表面力對系統(tǒng)做功以及徹體力對系統(tǒng)做功。表面力對系統(tǒng)做功以及徹體力對系統(tǒng)做功。徹表軸WWWW 設輸入功為正，輸出功為負，則水泵、風機設輸入功為正，輸出功為負，則水泵、風機等輸入正功，渦輪輸入負功：等輸入正功，渦輪

12、輸入負功：tpWWW軸 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程表面力做功還可以分為法向應力做功和切向應表面力做功還可以分為法向應力做功和切向應力做功。法向應力做功（率）為：力做功。法向應力做功（率）為：SdSVnpSdSnVp)(SdSnVp)(切向應力做功（率）為：切向應力做功（率）為：SdSVS為控制體的外表面積為控制體的外表面積上式中的表面剪應力做功上式中的表面剪應力做功（率）（率）一項可以分以一項可以分以下三種情況來考慮：下三種情況來考慮： 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程（1）如果控制面的部分表面為旋轉軸表面，則這）如果控制面的部分表面為旋轉軸表面，則這部分表面上的剪應

13、力做的功率已歸入軸功率之中；部分表面上的剪應力做的功率已歸入軸功率之中；（2）部分控制面可能為靜止固體表面，因為）部分控制面可能為靜止固體表面，因為 V = 0，從而上述剪切應力做功為零；，從而上述剪切應力做功為零；（3）控制面表面是流體進出的通道，此時可以通）控制面表面是流體進出的通道，此時可以通過適當選擇控制面方位和形狀使控制面和流體速度過適當選擇控制面方位和形狀使控制面和流體速度相垂直，即剪應力與速度相垂直，從而上述剪切應相垂直，即剪應力與速度相垂直，從而上述剪切應力做功為零；力做功為零；總之，可以適當選擇控制面使剪應力在控制面上做總之，可以適當選擇控制面使剪應力在控制面上做的功（率）為

14、零的功（率）為零： 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程0SdSV徹體力做功（率）為：徹體力做功（率）為：dVfVdf)()(為控制體的體積為控制體的體積設徹體力有勢：設徹體力有勢： ，有：，有：gradfdVdVf)(dVdV)()(SdSnV)(對于定常流動，第二項由連續(xù)方程為零。第一項由對于定常流動，第二項由連續(xù)方程為零。第一項由高斯公式：高斯公式： 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程徹表軸WWWQWQ從而：從而：tpWWQSdSnVp)(SdSnV)(整理得：整理得：SdSnVVpudVut)()2()2(22上式就是常用的上式就是常用的積分形式的能量方程積分形式的能量方

15、程。WQSdSnVVudVut)()2()2(22代入：代入：tpWWQ 2.4.4 Euler型積分型積分方程方程積分形式質(zhì)量方程的應用積分形式質(zhì)量方程的應用值得指出：值得指出： 質(zhì)量方程描述流體的質(zhì)量守恒條件，與流體是質(zhì)量方程描述流體的質(zhì)量守恒條件，與流體是否受力無關，與流體屬性是否有粘性也無關。否受力無關，與流體屬性是否有粘性也無關。 積分形式質(zhì)量方程不描述單獨點的細節(jié)，它用積分形式質(zhì)量方程不描述單獨點的細節(jié)，它用在控制體上，甚至允許控制體包含流動不連續(xù)在控制體上，甚至允許控制體包含流動不連續(xù)的地方，例如以后要介紹的激波等處。的地方，例如以后要介紹的激波等處。 2.4.5 Euler型積

16、分型積分方程的應用方程的應用例：一段輸氣管道直徑例：一段輸氣管道直徑150mm，在相距，在相距8m的兩個的兩個截面上同時量取數(shù)據(jù)，流入、流出的重量流量分別截面上同時量取數(shù)據(jù)，流入、流出的重量流量分別為為2N/s和和1.8N/s，問這段管道內(nèi)氣體的平均密度隨，問這段管道內(nèi)氣體的平均密度隨時間的變化率有多大？時間的變化率有多大？解：這是一個非定常問題，流入與流出流量不相等解：這是一個非定常問題，流入與流出流量不相等必然造成控制體內(nèi)質(zhì)量增加。取這段管道內(nèi)空間為必然造成控制體內(nèi)質(zhì)量增加。取這段管道內(nèi)空間為控制體，由積分形式質(zhì)量方程：控制體，由積分形式質(zhì)量方程：0SndSVdtgdsgVtsn）（smk

17、g3415. 0/144. 0814. 38 . 98 . 122 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用例：一容積固定為例：一容積固定為 的容器裝滿鹽水，初始時刻的容器裝滿鹽水，初始時刻密度為密度為 i i，純水（設水密度為，純水（設水密度為w w ）流入容器并）流入容器并與其中鹽水充分混合，設流動定常，容器內(nèi)液位與其中鹽水充分混合，設流動定常，容器內(nèi)液位恒定，流入與流出的體積流量不變恒定，流入與流出的體積流量不變Q Q1 1Q Q2 2Q Q。求。求（1 1）容器內(nèi)液體混合物的密度變化率；（）容器內(nèi)液體混合物的密度變化率；（2 2）密）密度變?yōu)槎茸優(yōu)闀r（時（i i w w）

18、所需的時間。）所需的時間。解（解（1）：劃容器內(nèi)部為控制區(qū)。由積分形式質(zhì)）：劃容器內(nèi)部為控制區(qū)。由積分形式質(zhì)量方程：量方程：0)(SdSnVdt012mmdtd=常數(shù)w1m 2m 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用21mmdtd 解（解（2）：由上式：）：由上式：tQdtQdtwi0)(wiwQtlnQQQww)(21 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用關于積分形式質(zhì)量方程關于積分形式質(zhì)量方程 的進一的進一步討論：步討論：0SndSVdt（1） 當密度等于常數(shù)時，當密度等于常數(shù)時，c (必然為不可壓必然為不可壓)，由上式得：由上式得：0SndSVQ1S1

19、S2Q2上述積分可用流入與流出的體積流上述積分可用流入與流出的體積流量量Q表為：表為：021QQ,21QQ CQ 或或說明：說明：當密度等于常數(shù)時，流入控制體的體積流量當密度等于常數(shù)時，流入控制體的體積流量與流出的體積流量相等與流出的體積流量相等 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用（2） 當流動為定?？蓧簳r，當流動為定?？蓧簳r，有：有：0SndSV21mm Cm 設質(zhì)量流量用設質(zhì)量流量用 表示，得到表示，得到或或說明當流動定常時，流入控制體的質(zhì)量流量與流說明當流動定常時，流入控制體的質(zhì)量流量與流出的質(zhì)量流量相等。出的質(zhì)量流量相等。注意后一式表示流經(jīng)控制面任一截面的流量為常數(shù)

20、。注意后一式表示流經(jīng)控制面任一截面的流量為常數(shù)。m 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用說明：說明：在密度不變的一維流動中，流管的粗細將在密度不變的一維流動中，流管的粗細將反映流速小大反映流速小大。（3）對于一維流動，控制體如圖）對于一維流動，控制體如圖sV1V221A1A2 一維流動中，當密度等于常一維流動中，當密度等于常數(shù)時，流入的體積流量等于流數(shù)時，流入的體積流量等于流出的體積流量，可表為出的體積流量，可表為,2211AVAVcVA 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用 一維流動中，當定?？蓧簳r，流入的質(zhì)量一維流動中，當定常可壓時，流入的質(zhì)量流量等于流

21、出的質(zhì)量流量，可表為：流量等于流出的質(zhì)量流量，可表為：,222111AVAV說明：說明：在定常一維可壓流動中，密度在定常一維可壓流動中，密度、速度、速度 V 與截面積與截面積 A 的乘積為常數(shù)的乘積為常數(shù)。 cVA 對對 式取微分，可以得到定常一維流動質(zhì)式取微分，可以得到定常一維流動質(zhì)量方程的微分形式：量方程的微分形式：cVA 0AdAVdVd 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用積分形式動量方程與動量矩方程的應用積分形式動量方程與動量矩方程的應用 積分形式動量方程中的合外力指流體受到的積分形式動量方程中的合外力指流體受到的所有形式的外力之和，可以包含徹體力、法向表所有形式的

22、外力之和，可以包含徹體力、法向表面力和切向表面力，控制體中的物體對于流體的面力和切向表面力，控制體中的物體對于流體的作用力也可以單獨考慮。作用力也可以單獨考慮。 一般來說有一般來說有兩類控制體兩類控制體可供選擇：一類是物可供選擇：一類是物體不包括在所取控制體之內(nèi)，而物體的部分壁面體不包括在所取控制體之內(nèi)，而物體的部分壁面構成控制面的一部分，例如管道中的流動；另一構成控制面的一部分，例如管道中的流動；另一類是控制體將流過的物體也包括在內(nèi)，例如繞機類是控制體將流過的物體也包括在內(nèi)，例如繞機翼的流動。翼的流動。 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用積分形式的動量方程用于定常、一維管

23、流控制體時積分形式的動量方程用于定常、一維管流控制體時（如圖），可得：（如圖），可得：)(12uuQdSVuFSnx)(12vvQdSVvFSnyp1、1、V1A1A2xy12p2、2、V2 對于物體不包括在內(nèi)的第一類控制體，例如管對于物體不包括在內(nèi)的第一類控制體，例如管道，應用積分形式動量方程的目的主要是求管道受道，應用積分形式動量方程的目的主要是求管道受到流體的反作用力到流體的反作用力Rx、Ry。RxRy方程左端是控制體內(nèi)流體所受合力在相應坐標系的方程左端是控制體內(nèi)流體所受合力在相應坐標系的投影投影,可包含管璧對流體作用力、重力和兩端壓力?？砂荑祵α黧w作用力、重力和兩端壓力。 2.4.

24、5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用1211122222222111coscoscoscosVAVARApApx設兩端的壓強分別為設兩端的壓強分別為p1、p2，管壁對流體的作用力，管壁對流體的作用力分量為分量為Rx、 Ry （如上圖），不計徹體力，從而（如上圖），不計徹體力，從而動量方程可寫為（動量方程可寫為（x方向）：方向）：222222112111cos)(cos)(AVpAVpRx即：即：如此得到的就是管壁受力。當求管壁所受純由流動如此得到的就是管壁受力。當求管壁所受純由流動引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力時，由于引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力時，由于大氣壓無合力可不

25、考慮，上式中壓強用大氣壓無合力可不考慮，上式中壓強用表壓表壓。y 向同理：向同理：222222112111sin)(sin)(AVpAVpRy 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用 將控制體外部取得離機翼足將控制體外部取得離機翼足夠遠，這樣即使翼面附近有粘性夠遠，這樣即使翼面附近有粘性力，到了力，到了S面上也沒有粘性力了，面上也沒有粘性力了，只有壓力的作用，從而只有壓力的作用，從而x方向表面方向表面力為：力為： 對于如圖的第二類控制體（機翼被包含在控對于如圖的第二類控制體（機翼被包含在控制體之內(nèi)），主要目的是求物體（機翼）受力。我制體之內(nèi)），主要目的是求物體（機翼）受力。我們

26、將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。們將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設機翼受力在三個方向的分量為設機翼受力在三個方向的分量為Fx、Fy和和Fz。則控。則控制體受力的三個分量為制體受力的三個分量為 Fx、Fy和和Fz 。(n,x)npSdSxnp),cos( 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的 x 方向徹體力為：方向徹體力為：從而控制體內(nèi)從而控制體內(nèi)x 方向所受的合外力為：方向所受的合外力為：xxSFdfdSxnp),cos(dfx控制體內(nèi)控制體內(nèi)x 方向的動量隨時間變化率及凈流出控制方向的動量隨時間變化率及凈流出控制面的動量流量為：

27、面的動量流量為：SndSVudut注：連接注：連接S和和S1雙層面上的面積分為雙層面上的面積分為0。 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用SnxxSdSVuudtFdfdSxnp),cos(由動量守恒，得：由動量守恒，得：同理：同理：上述方程常常用于定常流動的氣體，此時式中的當上述方程常常用于定常流動的氣體，此時式中的當?shù)刈兓室豁椀扔诹?，且徹體力可以忽略。地變化率一項等于零，且徹體力可以忽略。積分形式動量方程的一個重要方面在于人們不需要知道控制體中的流動細節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動特性來求作用力，這個作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。

28、 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用SnyySdSVvvdtFdfdSynp),cos(SnzzSdSVwwdtFdfdSznp),cos(例有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物例有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物體的型阻（體的型阻（型阻是由粘性直接和間接造成的物體型阻是由粘性直接和間接造成的物體動量法測型阻 p1 、u1p2 、u2解：取控制面解：取控制面S 如圖。在上游足夠遠處氣體流基本如圖。在上游足夠遠處氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在下游一定上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在下游一定距離處氣流的靜壓已經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別距離處氣流的靜壓已

29、經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。阻力，例如摩擦阻力和壓差阻力，例如摩擦阻力和壓差阻力）。我們來看一看要測阻力）。我們來看一看要測哪些量，并怎樣使用積分形哪些量，并怎樣使用積分形式的動量方程式的動量方程 。 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用 上下兩根流線取在遠離物體的地方，那里流速上下兩根流線取在遠離物體的地方，那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個S 面上作用面上作用的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結果必是零果必

30、是零。上下兩根流線處沒有摩擦力。上下兩根流線處沒有摩擦力。 設定常，不計徹體力設定常，不計徹體力 ，則計算翼型受到的阻，則計算翼型受到的阻力力Fx只需計算越過控制面的動量流量：只需計算越過控制面的動量流量：SnxdSVuFdyuuuFx)(:212則測出尾跡區(qū)中速度分布即可求出阻力。21222111yydyuudyuu2211dyudyu考慮到連續(xù)方程： 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用例：求寬度為例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對固定斜的二維不可壓定常射流對固定斜板（與水平成板（與水平成角角）的）的（1）作用力）作用力（2）射流寬度比）射流寬度比 b1/b2（3）力的

31、作用點）力的作用點設不計重力和流動損失。設不計重力和流動損失。b, Vb1, V1b2, V2解：由于是自由射流，射流開始處及解：由于是自由射流，射流開始處及1、2截面處壓截面處壓強均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計重力的強均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計重力的伯努利方程可得：伯努利方程可得：V1=V2=V（或認為流動均勻無旋，（或認為流動均勻無旋，伯努利常數(shù)全場成立）伯努利常數(shù)全場成立）由質(zhì)量方程可知：由質(zhì)量方程可知：QQ1Q2 或或 b=b1+b2R 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用SdVvRSn（1）求作用力）求作用力如圖建立坐標系，取控制體如圖，假設控制體受

32、如圖建立坐標系，取控制體如圖，假設控制體受力為力為R，由，由 y 向動量方程：向動量方程：（注意控制面上大氣壓無合力）（注意控制面上大氣壓無合力）b, Vb1, V1b2, V2xyR)()sin(VbVRsin2bVR 可見可見90900 0時受力最大時受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。斜板受力與此大小相等方向相反。 2.4.4 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用（2）求射流寬度比）求射流寬度比 b1/b2由由x向動量方程：向動量方程：SndSVu0222111)()()cos(0bVVbVVVbV考慮到：考慮到：V1=V2=V，有，有21cosbbb上式與上式與 b = b1+

33、b2 聯(lián)立得：聯(lián)立得：bbbb2cos1,2cos121,cos1cos121bb故得射流寬度比：故得射流寬度比： 這也是流量比這也是流量比Q1/Q2b, Vb1, V1b2, V2xyR 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用（3）求力的作用點）求力的作用點e設力的作用點距設力的作用點距y軸的距離為軸的距離為e，設順時針方向為，設順時針方向為矩的正方向，由動量矩方程矩的正方向，由動量矩方程dSVrVrFSnii)(22221111)2()2(0bVbVbVbVeRsin)(22221221bVbbVesin)cos(21sin)(212121bbbbbbbbctgbe2僅當僅

34、當90900 0 時合力的作用點才通過射流中心時合力的作用點才通過射流中心b, Vb1, V1b2, V2xyRe 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用積分形式的能量方程的應用積分形式的能量方程的應用Q軸W1111,sVp2222,sVp將積分形式的能量方程應用在進將積分形式的能量方程應用在進出口處流動參數(shù)均勻分布且只有出口處流動參數(shù)均勻分布且只有一個進口和一個出口的控制體上，一個進口和一個出口的控制體上，流動定常：流動定常：1. 一維定常流能量方程一維定常流能量方程tpWWQ12111112222222)2()2(mVpumVpu 2.4.5 Euler型積分型積分方程的應用方程的應用SdSnVVpudVut)()2()2(22tpWWQ注意到質(zhì)量流量不變，上