對(duì)稱性和布拉維格子的分類

1、 一一. 對(duì)稱性的概念對(duì)稱性的概念 二二. 晶體中允許的對(duì)稱操作晶體中允許的對(duì)稱操作 三三. 晶體宏觀對(duì)稱性的表述：點(diǎn)群晶體宏觀對(duì)稱性的表述：點(diǎn)群 四四. 七個(gè)晶系和七個(gè)晶系和14種晶體點(diǎn)陣種晶體點(diǎn)陣 五五. 晶體的微觀對(duì)稱性：空間群晶體的微觀對(duì)稱性：空間群 六六. 點(diǎn)群對(duì)稱性和晶體的物理性質(zhì)點(diǎn)群對(duì)稱性和晶體的物理性質(zhì) 除去晶體點(diǎn)陣外，晶體的結(jié)構(gòu)還能夠用什么樣除去晶體點(diǎn)陣外，晶體的結(jié)構(gòu)還能夠用什么樣 的語(yǔ)言方便地描述的語(yǔ)言方便地描述?1.2 對(duì)稱性和布拉維格子的分類對(duì)稱性和布拉維格子的分類對(duì)稱操作：對(duì)稱操作：維持整個(gè)物體不變而進(jìn)行的操作稱作對(duì)維持整個(gè)物體不變而進(jìn)行的操作稱作對(duì)稱操作。即：操作前

2、后物體任意兩點(diǎn)間的距離保稱操作。即：操作前后物體任意兩點(diǎn)間的距離保持不變的操作。持不變的操作。點(diǎn)對(duì)稱操作點(diǎn)對(duì)稱操作：在對(duì)稱操作過程中至少有一點(diǎn)保持不在對(duì)稱操作過程中至少有一點(diǎn)保持不動(dòng)的操作。有限大小的物體，只能有點(diǎn)對(duì)稱操作。動(dòng)的操作。有限大小的物體，只能有點(diǎn)對(duì)稱操作。對(duì)稱元素：對(duì)稱元素：對(duì)稱操作過程中保持不變的幾何要素對(duì)稱操作過程中保持不變的幾何要素： 點(diǎn)，反演中心；線，旋轉(zhuǎn)軸；面，反映面等。點(diǎn)，反演中心；線，旋轉(zhuǎn)軸；面，反映面等。一.一.對(duì)稱性的概念對(duì)稱性的概念： 一個(gè)物體（或圖形）具有對(duì)稱性，是指該物一個(gè)物體（或圖形）具有對(duì)稱性，是指該物體（或圖形）是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分組成，體（或圖形

3、）是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分組成，經(jīng)過一定的空間操作（線性經(jīng)過一定的空間操作（線性），各部分調(diào)換），各部分調(diào)換位置之后整個(gè)物體（或圖形）保持位置之后整個(gè)物體（或圖形）保持的性質(zhì)。的性質(zhì)。一些圖形的對(duì)稱操作：一些圖形的對(duì)稱操作：如何科學(xué)地概括和區(qū)別四種圖形的對(duì)稱性？如何科學(xué)地概括和區(qū)別四種圖形的對(duì)稱性？從旋轉(zhuǎn)來看，圓形對(duì)繞中心的任何旋轉(zhuǎn)都是不變的；正方形從旋轉(zhuǎn)來看，圓形對(duì)繞中心的任何旋轉(zhuǎn)都是不變的；正方形只能旋轉(zhuǎn)只能旋轉(zhuǎn) 才保持不變；后才保持不變；后2個(gè)圖形只有個(gè)圖形只有 的旋轉(zhuǎn)。的旋轉(zhuǎn)。圓形的任一直徑都是對(duì)稱線；正方形只有圓形的任一直徑都是對(duì)稱線；正方形只有4條連線是對(duì)稱線；條連線是對(duì)稱線；等腰

4、梯形只有兩底中心連線是對(duì)稱線。等腰梯形只有兩底中心連線是對(duì)稱線。3, ,222 以上，考察在一定幾何變換之下物體的不變性，使用的幾何變換（旋轉(zhuǎn)和反射）都是正交變換正交變換保持保持兩點(diǎn)距離不變的變換：兩點(diǎn)距離不變的變換： 111213212223313233xaaaxyaaayzaaaz 111213212223313233i jaaaAaaaaaa 其中 Aij 為正交矩陣從解析幾何知道，符合正交變換的是：繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(Rotation about an axis) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)角cossin0sincos0001i jA 數(shù)學(xué)上可以寫作：100010001100010001

5、100010001ijijijAAA 反演反演：（Inversion )1,(i)反映反映（Reflection )恒等操作恒等操作,m（Z=0 的平面）1(E), ,x y zxyz 表示對(duì)稱操作的符號(hào)有兩種，這里用的是表示對(duì)稱操作的符號(hào)有兩種，這里用的是國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)。 如果，一個(gè)物體在某一正交變換下保持不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱操作。一個(gè)物體可能的對(duì)稱操作越多，一個(gè)物體可能的對(duì)稱操作越多，它的對(duì)稱性就越高。它的對(duì)稱性就越高。立方體具有較高的對(duì)稱性，它有48個(gè)對(duì)稱 操作：繞 4 條體對(duì)角線體對(duì)角線可以旋轉(zhuǎn) 共8個(gè)對(duì)稱操作；繞 3 個(gè)立方邊立方邊可以旋 轉(zhuǎn) 共9個(gè)對(duì)稱操作；繞

6、6 條棱棱對(duì)角線對(duì)角線可以轉(zhuǎn)動(dòng)，共 6 6 個(gè)對(duì)稱操作；加上恒等操作共2424個(gè)。立方體體心為中心反演，所以以上每一個(gè)操作加上中心反演后，仍為對(duì)稱操作，因此立方體共有4848個(gè)對(duì)稱操作。24,333, ,22 通過仔細(xì)分析可知正四面體允許的對(duì)稱操作只有24個(gè)；正六角拄的對(duì)稱操作也只有24個(gè)，它們都沒有立方體的對(duì)稱性高。請(qǐng)思考它們的對(duì)稱操作？請(qǐng)思考它們的對(duì)稱操作？數(shù)學(xué)上看，群代表一組元素的集合 G=E,A,B,C,D, 這些元素被賦予一定的乘法法則，滿足下列性質(zhì)：1. 若A,BG 則 ABC G, 這是群的閉合性。2. 存在單位元素E,使所有元素滿足： AE=A3. 任意元素A，存在逆元素：AA

7、-1=E4. 元素間滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C對(duì)稱操作群：對(duì)稱操作群： 一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作的集合，構(gòu)成一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作的集合，構(gòu)成對(duì)稱操作群。描述物體的對(duì)稱性需要找出物體的全部對(duì)稱操作群。描述物體的對(duì)稱性需要找出物體的全部對(duì)稱操作，也就是找出它所具有的對(duì)稱操作群。對(duì)稱操作，也就是找出它所具有的對(duì)稱操作群。 一個(gè)物體全部對(duì)稱操作的集合，也滿足上述群的一個(gè)物體全部對(duì)稱操作的集合，也滿足上述群的定義，運(yùn)算法則是連續(xù)操作，不動(dòng)操作是單位元素。定義，運(yùn)算法則是連續(xù)操作，不動(dòng)操作是單位元素。注意注意： 在說明一個(gè)物體的對(duì)稱性時(shí)，為了簡(jiǎn)便，有在說明一個(gè)物體的對(duì)稱性時(shí)，為了簡(jiǎn)便，有 時(shí)不去一

8、一列舉所有的對(duì)稱操作，而是指出它的對(duì)稱時(shí)不去一一列舉所有的對(duì)稱操作，而是指出它的對(duì)稱元素，若一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)元素，若一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 以及它的倍數(shù)以及它的倍數(shù)物體保持不變時(shí)，便稱作物體保持不變時(shí)，便稱作 n 重旋轉(zhuǎn)軸重旋轉(zhuǎn)軸，記做，記做 n ；若一；若一個(gè)物體繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)個(gè)物體繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 再作反演以及轉(zhuǎn)動(dòng)它的倍數(shù)再作反演以及轉(zhuǎn)動(dòng)它的倍數(shù)再作反演物體保持不變時(shí)，該軸稱作再作反演物體保持不變時(shí)，該軸稱作 n 重旋轉(zhuǎn)反演重旋轉(zhuǎn)反演軸軸,記做記做 。立方體的對(duì)稱元素有：。立方體的對(duì)稱元素有：正四面體的對(duì)稱元素只有：正四面體的對(duì)稱元素只有： 卻沒有卻沒有顯然，列舉出一個(gè)物體的對(duì)稱元素和說出

9、它的對(duì)稱操顯然，列舉出一個(gè)物體的對(duì)稱元素和說出它的對(duì)稱操作一樣，都可以表明出物體的對(duì)稱特點(diǎn)。作一樣，都可以表明出物體的對(duì)稱特點(diǎn)。2n2nn1,2,3,4, ,2,3,4i4,2,32,4,3二二. 晶體中允許的對(duì)稱操作：晶體中允許的對(duì)稱操作： 人們?cè)缇椭赋?，晶體的外形（宏觀）對(duì)稱性是其原子做周期性排列的結(jié)果。原子排列的周期性用晶體點(diǎn)陣表示，晶體本身對(duì)稱操作后不變，其晶體點(diǎn)陣在對(duì)稱操晶體本身對(duì)稱操作后不變，其晶體點(diǎn)陣在對(duì)稱操作后也應(yīng)該保持不變，這就限制了晶體所可能有的點(diǎn)對(duì)作后也應(yīng)該保持不變，這就限制了晶體所可能有的點(diǎn)對(duì)稱操作數(shù)目，稱操作數(shù)目，可以證明：不論任何晶體，它的宏觀對(duì)稱元素最多只可能有1

10、0種（一說8種）對(duì)稱元素： 1,2,3,4,6,1,2,3,4,6說明：說明： 是反映面是反映面 m，而，而 不是獨(dú)立的不是獨(dú)立的。8種說法指：對(duì)稱操作符號(hào)，除去以上使用的國(guó)際符號(hào)外，還通常使用熊夫利符號(hào)熊夫利符號(hào)。 233,63im1,2,3,4,6, ,4,i m旋轉(zhuǎn)反演軸的對(duì)稱操作：旋轉(zhuǎn)反演軸的對(duì)稱操作：1次反軸為對(duì)稱中心；2次反軸為對(duì)稱面；3次反軸為3次軸加對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)反演軸的對(duì)稱操作：6次反軸為3次軸加對(duì)稱面；4次反軸可以獨(dú)立存在。見黃昆書30頁(yè)晶體中只有晶體中只有 2，3，4，6 次次旋轉(zhuǎn)軸，沒有旋轉(zhuǎn)軸，沒有 5次軸和大于次軸和大于 6 次以上的軸，可以直觀的次以上的軸，可以直觀的

11、從只有正方形、長(zhǎng)方形、正從只有正方形、長(zhǎng)方形、正三角形、正六邊形可以重復(fù)三角形、正六邊形可以重復(fù)布滿平面，而布滿平面，而 5 邊形和邊形和 n (6)邊形不能布滿平面空間邊形不能布滿平面空間來直觀理解。因此固體中不來直觀理解。因此固體中不可能存在可能存在 5 次軸曾是大家的次軸曾是大家的共識(shí)，然而共識(shí)，然而1984年美國(guó)科年美國(guó)科學(xué)家學(xué)家Shechtman在急冷的在急冷的鋁錳合金中發(fā)現(xiàn)了晶體學(xué)中鋁錳合金中發(fā)現(xiàn)了晶體學(xué)中禁戒的禁戒的 20 面體具有的面體具有的 5 次次對(duì)稱性，這是對(duì)傳統(tǒng)晶體觀對(duì)稱性，這是對(duì)傳統(tǒng)晶體觀念的一次沖擊。念的一次沖擊。20面體的對(duì)稱性黃昆書47頁(yè) 目前普遍的認(rèn)識(shí)是：晶體

12、的必要條件是其構(gòu)成原子的長(zhǎng)程有序，而不是平移對(duì)稱性，具有 5 次對(duì)稱性的準(zhǔn)晶體（Quasicrystal）就是屬于原子有嚴(yán)格的位置有序，而無(wú)平移對(duì)稱性的晶體。它的圖像可從二維Penrose拼圖中得到理解。實(shí)際是一實(shí)際是一種準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，是種準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，是介于周期晶體和非介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種晶玻璃之間的一種新的物質(zhì)形態(tài)新的物質(zhì)形態(tài)準(zhǔn)晶態(tài)準(zhǔn)晶態(tài) 。 見馮端書p72 是黃金比值三三. 晶體宏觀對(duì)稱性的表述晶體宏觀對(duì)稱性的表述：點(diǎn)群點(diǎn)群： 晶體中只有 8 種獨(dú)立的對(duì)稱元素： C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、(m)和 實(shí)際晶體的對(duì)稱性就是由以

13、上八種獨(dú)立點(diǎn)對(duì)稱元素的各種可能組合之一，由對(duì)稱元素組合成對(duì)稱操作群時(shí)，對(duì)稱軸之間的夾角、對(duì)稱軸的數(shù)目，都會(huì)受到嚴(yán)格的限制，例如，若有兩個(gè)2重軸，它們之間的夾角只可能是 ，可以證明總共只能有總共只能有32種不同種不同的組合方式，稱為的組合方式，稱為 32 種點(diǎn)群種點(diǎn)群。形形色色的晶體就宏觀對(duì)稱性而言，總共只有這 32 種類型，每種晶體一定屬于這 32 種點(diǎn)群之一，這是對(duì)晶體按對(duì)稱性特點(diǎn)進(jìn)行的第一步分類。 000030 ,45 ,60 ,9034S (4)4 7 種晶系和種晶系和14種布拉菲格子種布拉菲格子： 1.1 中我們討論了晶體的周期性晶體的周期性，現(xiàn)在我們又分析了晶體的宏觀對(duì)稱性晶體的宏觀

14、對(duì)稱性，它們是晶體中原子有序排列是晶體中原子有序排列所反映的相互聯(lián)系、相互制約的兩個(gè)側(cè)面的兩個(gè)側(cè)面。任何晶體都具有晶體點(diǎn)陣所代表的基本周期性，由此我們導(dǎo)出了晶體宏觀對(duì)稱性所具有的 32 種點(diǎn)群類型?，F(xiàn)在我們反過來提出問題，晶體如果具有某種宏觀對(duì)稱，它應(yīng)該具有怎樣的點(diǎn)陣？也就是說如果要求一個(gè)晶體 點(diǎn)陣的陣矢 要具有某一點(diǎn)群 的對(duì)稱性，它的基矢 應(yīng)該滿足怎樣的要求？123123nRn an an a123,a a a 首先通過分析發(fā)現(xiàn)，一些不同的點(diǎn)群之間，有一些相同的特征，例如：3 種四面體群和 2 種八面體群都含有 4 個(gè) 3 重軸，可以把它們歸為一個(gè)晶系，包含上述 5 個(gè)點(diǎn)群。依次類推，可以根

15、據(jù)某些特征對(duì)稱元根據(jù)某些特征對(duì)稱元素，把素，把32 種點(diǎn)群歸并為種點(diǎn)群歸并為 7個(gè)晶系個(gè)晶系。這是對(duì)晶體對(duì)稱性更概括的分類。 相應(yīng)于這相應(yīng)于這 7個(gè)晶系的點(diǎn)陣及選擇出的個(gè)晶系的點(diǎn)陣及選擇出的點(diǎn)陣原胞（通過對(duì)晶軸相對(duì)取向的選擇）也應(yīng)該體現(xiàn)點(diǎn)陣原胞（通過對(duì)晶軸相對(duì)取向的選擇）也應(yīng)該體現(xiàn)這些晶系的對(duì)稱性，我們稱之為慣用晶胞。這些晶系的對(duì)稱性，我們稱之為慣用晶胞。它們都是簡(jiǎn)單格子，例如簡(jiǎn)立方格子包含 4個(gè) 3重軸和 3個(gè) 4次軸，可以代表立方晶系的晶胞等，如此我們得到的 7個(gè)晶系的名稱及其對(duì)晶胞的要求、所含點(diǎn)群類型見下頁(yè)表。1.三斜晶系 Triclinic 除了1次軸或中心反演外無(wú)其他對(duì)稱元素2.單斜

16、晶系 Monoclinic 最高對(duì)稱元素是一個(gè)2次軸或鏡面3.正交晶系 Orthorhombic 最高對(duì)稱元素是2個(gè)以上的2次軸或鏡面4. 四方晶系 Tetragonal 最高對(duì)稱元素是一個(gè)4次軸或一個(gè)4次反軸5.立方晶系 Cubic 具有 4 個(gè)3次軸6.三方晶系 Trigonal (菱方晶系 Rhombohedral) 最高對(duì)稱具有唯一的3次軸或3次反軸7.六方晶系 Hexagonal 最高對(duì)稱具有唯一的6次軸或6次反軸14 種種 Bravais 格子：格子： 根據(jù)晶體的對(duì)稱性特征，我們已經(jīng)將晶體劃分成七個(gè)晶系，每個(gè)晶系都有一個(gè)能反映其對(duì)稱性特征的晶胞，每個(gè)晶胞的端點(diǎn)安放一個(gè)陣點(diǎn)，就是一種

17、晶體點(diǎn)陣的原胞，共形成 7 種點(diǎn)陣?，F(xiàn)在考慮在原胞體心、面心和單面心上增加陣點(diǎn)的可能，新的新的圖像必須符合平移對(duì)稱性和晶系對(duì)稱性的要求，且圖像必須符合平移對(duì)稱性和晶系對(duì)稱性的要求，且又不同于上述又不同于上述 7 種簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，結(jié)果又給出種簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，結(jié)果又給出 7 種新的種新的點(diǎn)陣類型，所以既能反映平移對(duì)稱性又能反映所屬點(diǎn)陣類型，所以既能反映平移對(duì)稱性又能反映所屬晶系對(duì)稱性特征的晶體點(diǎn)陣共有晶系對(duì)稱性特征的晶體點(diǎn)陣共有14種種，它們的慣用晶胞如下頁(yè)所示：P：簡(jiǎn)單格子；C：底心格子；I：體心格子； F：面心格子，三方晶系的菱形原胞用 R 表示。 任何一種晶體，對(duì)應(yīng)的晶格都是14種點(diǎn)陣中的一種，指出晶

18、體所屬的點(diǎn)陣類型不但表征了晶體晶格的周期性類型，而且也能從它所屬的晶系了解到該晶體宏觀對(duì)稱所具有的基本對(duì)稱性。但完整地闡明晶體結(jié)構(gòu)，除去需要確定但完整地闡明晶體結(jié)構(gòu)，除去需要確定其點(diǎn)陣類型外，還要知道基元中原子的種類、其點(diǎn)陣類型外，還要知道基元中原子的種類、數(shù)量、相對(duì)取向及位置，繪出帶有基元內(nèi)容的數(shù)量、相對(duì)取向及位置，繪出帶有基元內(nèi)容的點(diǎn)陣慣用晶胞。點(diǎn)陣慣用晶胞。不過一些比較簡(jiǎn)單的晶體，在確定出它的點(diǎn)陣類型和晶胞參量后就已經(jīng)可以完全掌握它的結(jié)構(gòu)了，比如：Cu; Si；NaCl; CsCl; ZnS等。 14 種晶體點(diǎn)陣各有它們自己的慣用晶胞，同樣也可以選出它們各自的原胞和基矢，每一個(gè)點(diǎn)陣都可以用其基矢表示的點(diǎn)陣矢量來表示：123123nRn an an a每一個(gè)點(diǎn)陣的全部平移矢量之和構(gòu)成平移操作群。所以晶體共有晶體共有14個(gè)平移操作群個(gè)平移操作群。使晶體復(fù)原的全部轉(zhuǎn)動(dòng)、平移操作群的集合構(gòu)成空間群空間群。五五. 晶體的微觀對(duì)稱性：空間群晶體的微觀對(duì)稱性：空間群（space group） 晶體的微觀結(jié)構(gòu)必須考慮與平移有關(guān)的對(duì)稱元素：1. 平移操作與平移軸平移軸。2. 螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋軸螺旋軸。3.滑移反映