狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

1、10.3 狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)概概 述述q 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋相對(duì)于輸出反饋的優(yōu)越性是顯而易見(jiàn)的。系統(tǒng)的任相對(duì)于輸出反饋的優(yōu)越性是顯而易見(jiàn)的。系統(tǒng)的任意極點(diǎn)配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無(wú)靜差跟蹤等，都有賴于引意極點(diǎn)配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無(wú)靜差跟蹤等，都有賴于引入適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋才能夠?qū)崿F(xiàn)。入適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋才能夠?qū)崿F(xiàn)。q 狀態(tài)可控的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控的線性定常系統(tǒng)可通過(guò)可通過(guò)線性狀態(tài)反饋線性狀態(tài)反饋來(lái)進(jìn)行任意極來(lái)進(jìn)行任意極點(diǎn)配置點(diǎn)配置，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)及性能品質(zhì)指標(biāo)。，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)及性能品質(zhì)指標(biāo)。 但是，由于但是，由于 1) 描述內(nèi)部運(yùn)動(dòng)特性的狀態(tài)

2、變量有時(shí)并不是描述內(nèi)部運(yùn)動(dòng)特性的狀態(tài)變量有時(shí)并不是能直接測(cè)量的，能直接測(cè)量的，2) 而且有時(shí)并沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接而且有時(shí)并沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)而為一種抽象的數(shù)學(xué)變量。相對(duì)應(yīng)而為一種抽象的數(shù)學(xué)變量。 這些情況下，用狀態(tài)變量作為反饋?zhàn)兞縼?lái)構(gòu)成狀態(tài)反饋這些情況下，用狀態(tài)變量作為反饋?zhàn)兞縼?lái)構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)系統(tǒng)帶來(lái)了具體工程實(shí)現(xiàn)上的困難帶來(lái)了具體工程實(shí)現(xiàn)上的困難。q 為此，提出了為此，提出了狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測(cè)估計(jì)狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測(cè)估計(jì)問(wèn)題問(wèn)題? Reconstruction, observation, estimationq 所謂的所謂的狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測(cè)估計(jì)狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測(cè)估計(jì)問(wèn)

3、題，即設(shè)法另外構(gòu)造一問(wèn)題，即設(shè)法另外構(gòu)造一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng), 它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的輸入輸入 而它的狀態(tài)變量的值能而它的狀態(tài)變量的值能漸近逼近漸近逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)變量原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值或者其某種線性組合的值或者其某種線性組合 則這種漸近逼近的則這種漸近逼近的狀態(tài)變量的值狀態(tài)變量的值即為原系統(tǒng)的狀態(tài)即為原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的估計(jì)值變量的估計(jì)值 并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為反饋量來(lái)反饋量來(lái)構(gòu)成狀態(tài)反饋律構(gòu)成狀態(tài)反饋律q 這種這種重構(gòu)或估計(jì)重構(gòu)或估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的裝置稱為系

4、統(tǒng)狀態(tài)變量的裝置稱為狀態(tài)觀測(cè)器（狀態(tài)觀測(cè)器（state observer），它可以是由電子、電氣等裝置構(gòu)成的物理系統(tǒng)，它可以是由電子、電氣等裝置構(gòu)成的物理系統(tǒng), 也可以是由計(jì)算機(jī)和計(jì)算模型及軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)的軟系統(tǒng)。也可以是由計(jì)算機(jī)和計(jì)算模型及軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)的軟系統(tǒng)。 換句話說(shuō)，為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳換句話說(shuō)，為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過(guò)一個(gè)模型知的信息（輸入量及輸出量），通過(guò)一個(gè)模型(或系統(tǒng)、或系統(tǒng)、或軟件或軟件)來(lái)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。來(lái)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。 狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器是指在是指在不考慮噪聲干擾不考慮噪聲干擾下，狀態(tài)值的觀測(cè)或下，狀態(tài)

5、值的觀測(cè)或估計(jì)問(wèn)題，即所有測(cè)量值都準(zhǔn)確無(wú)差且原系統(tǒng)內(nèi)外部無(wú)估計(jì)問(wèn)題，即所有測(cè)量值都準(zhǔn)確無(wú)差且原系統(tǒng)內(nèi)外部無(wú)噪聲干擾。噪聲干擾。 對(duì)于存在噪聲干擾時(shí)的狀態(tài)觀測(cè)或估計(jì)問(wèn)題，則可對(duì)于存在噪聲干擾時(shí)的狀態(tài)觀測(cè)或估計(jì)問(wèn)題，則可用用卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波理論來(lái)分析討論理論來(lái)分析討論(最優(yōu)估計(jì)最優(yōu)估計(jì))。q本節(jié)主要討論狀態(tài)觀測(cè)器理論。本節(jié)主要討論狀態(tài)觀測(cè)器理論。 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握: 狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)、誤差分析、設(shè)計(jì)方法狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)、誤差分析、設(shè)計(jì)方法 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的分析帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的分析10.3.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì) Full

6、-dimensional state observerq下面分別介紹下面分別介紹開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器漸近狀態(tài)觀測(cè)器漸近狀態(tài)觀測(cè)器1. 開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器 Open-loop state observerq 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 (A,B,C), 即即ABC xxuyx 其中系統(tǒng)矩陣其中系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣輸入矩陣B和輸出矩陣和輸出矩陣C都已知。都已知。 這里的這里的問(wèn)題問(wèn)題是：是： 若狀態(tài)變量若狀態(tài)變量 x(t) 不能完全直接測(cè)量到不能完全直接測(cè)量到, 如何構(gòu)造一個(gè)如何構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng)系統(tǒng)隨時(shí)隨時(shí)估計(jì)該狀態(tài)變量估計(jì)該狀態(tài)變量 x(t

7、)？ 對(duì)此問(wèn)題一個(gè)對(duì)此問(wèn)題一個(gè)直觀想法直觀想法是：是： 利用仿真技術(shù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)和被控系統(tǒng)利用仿真技術(shù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)和被控系統(tǒng)有同樣動(dòng)力學(xué)有同樣動(dòng)力學(xué)性質(zhì)性質(zhì)（即有同樣的系數(shù)矩陣（即有同樣的系數(shù)矩陣A, B和和C）的如下系統(tǒng)，）的如下系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值（即重構(gòu)被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量）（即重構(gòu)被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量）:ABCxxuyx其中其中 為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量 x(t) 的估計(jì)值。的估計(jì)值。 xq 該狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)稱為該狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)稱為開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為 B A C u + B A C x

8、x x y開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器 y x + + + x 圖圖3-1 開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖 其結(jié)構(gòu)如下圖所示。其結(jié)構(gòu)如下圖所示。( , ,)A B Cq 比較系統(tǒng)比較系統(tǒng) (A,B,C)和和 的狀態(tài)變量，有的狀態(tài)變量，有( , ,)A B C( )( )( )( )ttAtt xxxx( )( )(0)(0)Atttexxxx 則狀態(tài)估計(jì)誤差則狀態(tài)估計(jì)誤差 的解為的解為xxq 顯然顯然, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 則有則有 ,( )( )ttxx(0)(0)xx 即估計(jì)值與真實(shí)值完全相等。即估計(jì)值與真實(shí)值完全相等。 但是，一般情況下是很難做到這一點(diǎn)的。這是因?yàn)榈?，一般情況下

9、是很難做到這一點(diǎn)的。這是因?yàn)?2. 若矩陣若矩陣 A 的某特征值位于的某特征值位于 s 平面的虛軸或右半開(kāi)平平面的虛軸或右半開(kāi)平面上面上(實(shí)部實(shí)部 Re s 0), 則矩陣指數(shù)函數(shù)則矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 中包含不隨中包含不隨時(shí)間時(shí)間 t 趨于無(wú)窮而趨于零的元素。趨于無(wú)窮而趨于零的元素。1. 有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量 x(0), 即不能保即不能保證證 ;(0)(0)xxv 此時(shí)若此時(shí)若 或出現(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)狀態(tài)或出現(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)狀態(tài)x(t)或或狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài) 的擾動(dòng)的擾動(dòng), 則將導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)估計(jì)則將導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)估計(jì)誤差誤差 將不趨于零而為趨于無(wú)窮或產(chǎn)生將不

10、趨于零而為趨于無(wú)窮或產(chǎn)生等幅振蕩。等幅振蕩。(0)(0)xx( ) tx( )( )ttxx 所以所以, 由于上述狀態(tài)觀測(cè)器不能保證其估計(jì)誤差收斂到由于上述狀態(tài)觀測(cè)器不能保證其估計(jì)誤差收斂到零零, 易受噪聲和干擾影響易受噪聲和干擾影響, 其應(yīng)用范圍受到較大的限制。其應(yīng)用范圍受到較大的限制。q 仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)觀測(cè)器只利用了被控系統(tǒng)輸入信息仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)觀測(cè)器只利用了被控系統(tǒng)輸入信息 u(t)，而未利用輸出信息，而未利用輸出信息 y(t)，其其相當(dāng)于處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)，未利相當(dāng)于處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)，未利用輸出用輸出y(t) 的觀測(cè)誤差或?qū)顟B(tài)觀測(cè)值進(jìn)行校正。的觀測(cè)誤差或?qū)顟B(tài)觀測(cè)值進(jìn)行校正。

11、即即, 由觀測(cè)器得到的由觀測(cè)器得到的 只是只是 x(t) 的一種開(kāi)環(huán)估計(jì)值。的一種開(kāi)環(huán)估計(jì)值。 為了和下面討論的狀態(tài)觀測(cè)器區(qū)分開(kāi)來(lái)為了和下面討論的狀態(tài)觀測(cè)器區(qū)分開(kāi)來(lái), 通常把該觀測(cè)通常把該觀測(cè)器稱為器稱為開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器。( ) tx2. 漸近狀態(tài)觀測(cè)器漸近狀態(tài)觀測(cè)器 Asymptotic state observerq 前面討論的開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器沒(méi)有利用被控系統(tǒng)的可直接測(cè)量前面討論的開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器沒(méi)有利用被控系統(tǒng)的可直接測(cè)量得到的輸出變量來(lái)對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正，估計(jì)效果不佳得到的輸出變量來(lái)對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正，估計(jì)效果不佳 可以預(yù)見(jiàn)，如果利用輸出變量對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正，可以預(yù)見(jiàn)，

12、如果利用輸出變量對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正，即進(jìn)行即進(jìn)行反饋校正反饋校正，則狀態(tài)估計(jì)效果將有本質(zhì)性的改善。，則狀態(tài)估計(jì)效果將有本質(zhì)性的改善。 下面將討論該類狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)的特性及設(shè)計(jì)方法。下面將討論該類狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)的特性及設(shè)計(jì)方法。 其估計(jì)誤差其估計(jì)誤差 將會(huì)因?yàn)榫仃噷?huì)因?yàn)榫仃嘇 具有在具有在 s 平面平面右半閉平面的特征值，導(dǎo)致不趨于零而趨于無(wú)窮或右半閉平面的特征值，導(dǎo)致不趨于零而趨于無(wú)窮或產(chǎn)生等幅振蕩。產(chǎn)生等幅振蕩。)( )(ttxxq 如果對(duì)任意矩陣如果對(duì)任意矩陣 A 的情況都能設(shè)計(jì)出相應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)器的情況都能設(shè)計(jì)出相應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)器, 對(duì)對(duì)于任意的被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件于任意的

13、被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件:lim ( )( )0tx tx t 即狀態(tài)估計(jì)值可以漸近逼近被估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)即狀態(tài)估計(jì)值可以漸近逼近被估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài), 則稱該狀態(tài)估計(jì)器為則稱該狀態(tài)估計(jì)器為漸近狀態(tài)觀測(cè)器漸近狀態(tài)觀測(cè)器。q 根據(jù)上述利用輸出變量對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正的思想，和狀根據(jù)上述利用輸出變量對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正的思想，和狀態(tài)估計(jì)誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測(cè)器的條件，可得如下的態(tài)估計(jì)誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測(cè)器的條件，可得如下的狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器:()(3 1)ABCGyxyxxuy 其中其中G 稱為稱為狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣。 于是重構(gòu)狀態(tài)方程為于是重構(gòu)狀態(tài)方程為 該

14、狀態(tài)估計(jì)器稱為該狀態(tài)估計(jì)器稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器全維狀態(tài)觀測(cè)器, 簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器,其結(jié)構(gòu)如下圖所示。其結(jié)構(gòu)如下圖所示。()AGCBGxxuy B A C G y B A C x y閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器 x u + + + + + - x x x+ 圖圖3-2 漸近狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖漸近狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖q 定理定理3-1 （觀測(cè)器的存在條件觀測(cè)器的存在條件）線性定常系統(tǒng)）線性定常系統(tǒng) (A, B, C) 具有形如具有形如 (3-1) 的狀態(tài)觀測(cè)器的充分必要條件是的狀態(tài)觀測(cè)器的充分必要條件是系統(tǒng)的系統(tǒng)的不可觀部分（或不可觀模態(tài)）是漸近穩(wěn)定的不可觀部分（或不可觀模態(tài)）是漸近穩(wěn)

15、定的。q 證明證明：充分性。：充分性。因?yàn)橐驗(yàn)?(A,B,C)不可觀時(shí)，按可觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)不可觀時(shí)，按可觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，故這里不妨假定分解，故這里不妨假定 (A,B,C)已具有如下形式：已具有如下形式：11112122200ABABCCAAB定理定理10-2（P255）其中其中(A11, C1)可觀測(cè)，可觀測(cè)，A22的特征值具負(fù)實(shí)部?，F(xiàn)構(gòu)造如下的的特征值具負(fù)實(shí)部?，F(xiàn)構(gòu)造如下的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng) ()ABGCxxuyx()AGCxx根據(jù)前面的分析：根據(jù)前面的分析：11112121220AG CAG CAxx有11112122200AGAGCCAAG因?yàn)橐驗(yàn)門T111()AC,TTT1111AC G

16、1111AG C00lim0,txx x u于是定理的充分性得證。定理的必要性證明略去。于是定理的充分性得證。定理的必要性證明略去。 證畢。證畢。1GT 可控，適當(dāng)選擇可控，適當(dāng)選擇 ，可使，可使的特征值，亦即的特征值，亦即的特征值均具負(fù)實(shí)部；而的特征值均具負(fù)實(shí)部；而A22是系統(tǒng)的不可觀部分，由可檢測(cè)是系統(tǒng)的不可觀部分，由可檢測(cè)的假定，的假定，A22的特征值具有負(fù)實(shí)部，故系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部，故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定，即，即q 先定義如下先定義如下?tīng)顟B(tài)估計(jì)誤差狀態(tài)估計(jì)誤差:()()()()()AGAGAGCCxxxxxyyxxxxx 其中其中 A GC 稱為狀態(tài)觀測(cè)器的稱為狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣

17、系統(tǒng)矩陣。xxx 則有則有 根據(jù)上述誤差方程，被控系統(tǒng)根據(jù)上述誤差方程，被控系統(tǒng) (A, B, C)的漸近狀態(tài)觀測(cè)的漸近狀態(tài)觀測(cè)器，也可簡(jiǎn)記為器，也可簡(jiǎn)記為 。(, , )A GC BCq 下面分析狀態(tài)估計(jì)誤差是否能趨于零。下面分析狀態(tài)估計(jì)誤差是否能趨于零。q 顯然，上述狀態(tài)估計(jì)誤差方程的解為顯然，上述狀態(tài)估計(jì)誤差方程的解為q 當(dāng)狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣當(dāng)狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣 A-GC 的所有特征值位于的所有特征值位于 s 平面的平面的左半開(kāi)平面左半開(kāi)平面, 即具有負(fù)實(shí)部即具有負(fù)實(shí)部, 因此，狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題因此，狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題歸結(jié)為歸結(jié)為求反饋矩陣求反饋矩陣G，使使A-GC 的所有特征

18、值具有負(fù)實(shí)部的所有特征值具有負(fù)實(shí)部及所期望的衰減速度及所期望的衰減速度 即即狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)是否可任意配置問(wèn)題狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)是否可任意配置問(wèn)題。 對(duì)此有如下定理。對(duì)此有如下定理。 則無(wú)論則無(wú)論 等于等于x(0)否否,狀態(tài)估計(jì)誤差狀態(tài)估計(jì)誤差 將隨時(shí)間將隨時(shí)間t趨于無(wú)窮而衰減至零趨于無(wú)窮而衰減至零, 觀測(cè)器為漸近穩(wěn)定的。觀測(cè)器為漸近穩(wěn)定的。(0)x( ) tx( )(0)(0)(0)A GCACttGx texexxq 定理定理 漸近狀態(tài)觀測(cè)器的漸近狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)可以任意配置極點(diǎn)可以任意配置, 即通過(guò)矩陣即通過(guò)矩陣G任意配置任意配置A-GC的特征值的充要條件為的特征值的充要條件為矩陣對(duì)矩陣對(duì)

19、(A,C)可觀可觀。q 證明證明 證明過(guò)程的思路為：證明過(guò)程的思路為：A-GC的極點(diǎn)可的極點(diǎn)可由由G任意配置任意配置兩者極點(diǎn)相等兩者極點(diǎn)相等AT-CTGT的極點(diǎn)的極點(diǎn)可由可由GT任意配置任意配置經(jīng)狀態(tài)反饋經(jīng)狀態(tài)反饋GT系統(tǒng)系統(tǒng) (AT,CT)的極的極點(diǎn)可由點(diǎn)可由GT任意配置任意配置對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理 (A,C)狀態(tài)可觀狀態(tài)可觀需證明需證明的結(jié)論的結(jié)論?系統(tǒng)系統(tǒng) (AT,CT)狀態(tài)可控狀態(tài)可控極點(diǎn)配置的充要條件極點(diǎn)配置的充要條件定理定理10-3（P255）證明過(guò)程為：證明過(guò)程為： 由于由于A-GC 的特征值與的特征值與 AT-CTGT 的特征值完全相同，則的特征值完全相同，則A-GC 的特征值

20、可由的特征值可由 G 任意配置等價(jià)于任意配置等價(jià)于AT-CTGT 的特征的特征值可由值可由 GT 任意配置，即任意配置，即 等價(jià)于系統(tǒng)等價(jià)于系統(tǒng) (AT,CT) 可通過(guò)狀態(tài)反饋陣可通過(guò)狀態(tài)反饋陣 GT 進(jìn)行任進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。意極點(diǎn)配置。 而而 (AT,CT) 的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件為矩陣對(duì)的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件為矩陣對(duì) (AT,CT) 可控，由對(duì)偶性原理知，即矩陣對(duì)可控，由對(duì)偶性原理知，即矩陣對(duì) (A,C) 可觀?？捎^。 因此因此, A-GC 的特征值可任意配置的充要條件為矩陣對(duì)的特征值可任意配置的充要條件為矩陣對(duì)(A,C) 可觀。可觀。 可見(jiàn)，只要被控系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則一定存

21、在可任意極點(diǎn)可見(jiàn)，只要被控系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則一定存在可任意極點(diǎn)配置的漸近狀態(tài)觀測(cè)器。配置的漸近狀態(tài)觀測(cè)器。q 與狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問(wèn)題類似，對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置與狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問(wèn)題類似，對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置問(wèn)題，對(duì)期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問(wèn)題問(wèn)題，對(duì)期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問(wèn)題:1. 對(duì)于對(duì)于n階系統(tǒng)，可以而且必須給出階系統(tǒng)，可以而且必須給出 n 個(gè)期望的極點(diǎn)。個(gè)期望的極點(diǎn)。2. 期望極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。期望極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。3. 為使基于狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的為使基于狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的暫態(tài)過(guò)渡過(guò)程，狀態(tài)觀測(cè)部

22、分應(yīng)比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系暫態(tài)過(guò)渡過(guò)程，狀態(tài)觀測(cè)部分應(yīng)比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的控制部分有更快的時(shí)間常數(shù)統(tǒng)的控制部分有更快的時(shí)間常數(shù)(衰減更快衰減更快), 即即狀態(tài)觀測(cè)部分的極點(diǎn)比其它部分的極點(diǎn)應(yīng)當(dāng)更遠(yuǎn)狀態(tài)觀測(cè)部分的極點(diǎn)比其它部分的極點(diǎn)應(yīng)當(dāng)更遠(yuǎn)離虛軸離虛軸。q 由上述分析過(guò)程，類似于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置技術(shù)，有如下由上述分析過(guò)程，類似于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置技術(shù)，有如下?tīng)顟B(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。q 方法一方法一 方法一的思想方法一的思想: 利用利用對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理，將狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)，將狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)反轉(zhuǎn)化為狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置饋極點(diǎn)配置，然后利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置技術(shù)求狀，然后

23、利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置技術(shù)求狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣態(tài)觀測(cè)器的反饋陣G。 其具體方法是，將可觀矩陣其具體方法是，將可觀矩陣 (A,C) 轉(zhuǎn)換成對(duì)偶的可控矩轉(zhuǎn)換成對(duì)偶的可控矩陣對(duì)陣對(duì)(AT,CT)，再利用極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣，再利用極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣 GT，使得，使得 AT-CTGT 的極點(diǎn)配置在指定的期望位置上。的極點(diǎn)配置在指定的期望位置上。 相應(yīng)地，相應(yīng)地，G 即為被控系統(tǒng)即為被控系統(tǒng) (A, B, C) 的狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)觀測(cè)器 (A-GC, B, C) 的反饋矩陣。的反饋矩陣。 計(jì)算過(guò)程可圖解如下計(jì)算過(guò)程可圖解如下:可觀性矩陣對(duì)可觀性矩陣對(duì)(A,C)可控性矩陣對(duì)可控性矩陣對(duì)(AT,CT)由狀態(tài)

24、反饋極點(diǎn)由狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置技術(shù)計(jì)算配置技術(shù)計(jì)算GT配置配置AT-CTGT的極點(diǎn)的極點(diǎn)由反饋矩陣由反饋矩陣G配置狀態(tài)配置狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)器的A-GC的極點(diǎn)的極點(diǎn)由對(duì)偶原理計(jì)算由對(duì)偶原理計(jì)算由對(duì)偶原理計(jì)算由對(duì)偶原理計(jì)算q 方法二方法二 方法二的思想方法二的思想: 先通過(guò)非奇異線性變換先通過(guò)非奇異線性變換 , 將狀態(tài)完全可觀的將狀態(tài)完全可觀的被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)(A,C) 變換成變換成可觀標(biāo)準(zhǔn)型可觀標(biāo)準(zhǔn)型 , 即有即有 Txx( , )A C 112100010001000010001nnnaaATATaaCCT 其中其中 ai* 和和 ai (i=1, 2, , n)分別為期望的狀態(tài)觀測(cè)器分別為期望的

25、狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)所決定的特征多項(xiàng)式的系數(shù)和原被控系統(tǒng)的的極點(diǎn)所決定的特征多項(xiàng)式的系數(shù)和原被控系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式的系數(shù)。特征多項(xiàng)式的系數(shù)。 對(duì)可觀標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)可觀標(biāo)準(zhǔn)型 進(jìn)行極點(diǎn)配置，求得相應(yīng)的可觀進(jìn)行極點(diǎn)配置，求得相應(yīng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型的觀測(cè)器的反饋陣標(biāo)準(zhǔn)型的觀測(cè)器的反饋陣 如下如下G( , )A C *11*11nnnnaaaaGaa 因此因此, 原系統(tǒng)原系統(tǒng)(A,B,C)的相應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣的相應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣G為為GTGq 例例3-1 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（P265 習(xí)題習(xí)題10-5-5）100231110201001 xxuyx q 解解 ： 方法

26、一方法一：1. 先利用先利用對(duì)偶性方法對(duì)偶性方法，求得原系統(tǒng)的如下，求得原系統(tǒng)的如下對(duì)偶系統(tǒng)對(duì)偶系統(tǒng): 112,100,010210031),(CBA試設(shè)計(jì)一狀態(tài)觀測(cè)器，使其極點(diǎn)配置為試設(shè)計(jì)一狀態(tài)觀測(cè)器，使其極點(diǎn)配置為-3, -4, -5。2. 將上述可控狀態(tài)空間模型化為將上述可控狀態(tài)空間模型化為可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣為的變換矩陣為其中其中1112110011306106pPp Ap A2110 011/60 0pBABA B3. 求對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。求對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。 由于被控系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和期望極點(diǎn)的特征多項(xiàng)由于被控系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和期望極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式分別為式分別為f

27、(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60則對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣則對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K為為1*12332211210015850121306106202512ccKKTaaaaaa T即所求狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣即所求狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣G=KT=20 25 12T則相應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器為則相應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器為100220311125 ()020112001 xxuyyyx(2) 方法二方法二。1. 先將原系統(tǒng)化成先將原系統(tǒng)化成可觀標(biāo)準(zhǔn)型可觀標(biāo)準(zhǔn)型，相應(yīng)的變換矩陣，相應(yīng)的變換矩陣T 為為 211111110306006TtAtA t其中其中1

28、1120011/600020000622011CCAtCA 2. 因此可觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣為因此可觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣為則原被控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣則原被控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣G為為*33*22*11585012aaGaaaa11158201030502560061212GTG可見(jiàn)，用方法二求得的可見(jiàn)，用方法二求得的 G 矩陣與方法一完全相同。矩陣與方法一完全相同。 ) 2)(1(2)()(sssUsY例例：設(shè)被控對(duì)象傳遞函數(shù)為設(shè)被控對(duì)象傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，將極點(diǎn)配置在將極點(diǎn)配置在 -10，-10.解解 ：被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為被

29、控對(duì)象的傳遞函數(shù)為232) 2)(1(2)()(2sssssUsYu xAxBycx0123A10b02c可直接寫(xiě)出系統(tǒng)的可直接寫(xiě)出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形可控標(biāo)準(zhǔn)形其中其中顯然，系統(tǒng)可控且可觀。顯然，系統(tǒng)可控且可觀。 00112101202 2323hhGhh Ac觀測(cè)器特征多項(xiàng)式為觀測(cè)器特征多項(xiàng)式為2001()(23)(622)GhhhIAc期望的特征多項(xiàng)式為期望的特征多項(xiàng)式為22(10)2010020320h10022610 hh5 . 80h令上述兩特征方程同次項(xiàng)系數(shù)相等，可得令上述兩特征方程同次項(xiàng)系數(shù)相等，可得5 .231h5 .231h5 .231h5 .231h 5 .231h即即10.

30、3.2 帶狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)Close-loop control systems with state observerq 狀態(tài)觀測(cè)器解決了狀態(tài)變量不能直接測(cè)量的系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器解決了狀態(tài)變量不能直接測(cè)量的系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，它為問(wèn)題，它為利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)控制利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)控制奠定了基礎(chǔ)。奠定了基礎(chǔ)。 但狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它性能但狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它性能品質(zhì)指標(biāo)的影響如何，則是一個(gè)需要細(xì)致分析的問(wèn)題。品質(zhì)指標(biāo)的影響如何，則是一個(gè)需要細(xì)致分析的問(wèn)題。 本節(jié)主要研究利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)反饋閉環(huán)

31、系統(tǒng)本節(jié)主要研究利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特性的特性, 以及它和直接采用狀態(tài)變量為反饋量時(shí)的異同。以及它和直接采用狀態(tài)變量為反饋量時(shí)的異同。 下面首先導(dǎo)出帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的下面首先導(dǎo)出帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并以此來(lái)進(jìn)行該閉環(huán)系統(tǒng)的特性分析。狀態(tài)空間模型，并以此來(lái)進(jìn)行該閉環(huán)系統(tǒng)的特性分析。q 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) (A,B,C)可控可觀，則該系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋進(jìn)行極可控可觀，則該系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置，以及能建立全維狀態(tài)觀測(cè)器并對(duì)其進(jìn)行極點(diǎn)配置。點(diǎn)配置，以及能建立全維狀態(tài)觀測(cè)器并對(duì)其進(jìn)行極點(diǎn)配置。 若系統(tǒng)若系統(tǒng) (A,B,C)的狀態(tài)變量不

32、能直接測(cè)量，則可由狀態(tài)的狀態(tài)變量不能直接測(cè)量，則可由狀態(tài)觀測(cè)器提供的狀態(tài)變量的估計(jì)值來(lái)構(gòu)成狀態(tài)反饋律。觀測(cè)器提供的狀態(tài)變量的估計(jì)值來(lái)構(gòu)成狀態(tài)反饋律。 即對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)即對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)其全維狀態(tài)觀測(cè)器為其全維狀態(tài)觀測(cè)器為 設(shè)基于狀態(tài)觀測(cè)值設(shè)基于狀態(tài)觀測(cè)值 的狀態(tài)反饋律為的狀態(tài)反饋律為 xABC xxuyx()ABCGxxyxyyuK uxvq帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 B A C G y B A C x y閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器 + K 狀態(tài)反饋部分狀態(tài)反饋部分 x u v - + + + + - + - x x圖圖3-

33、3 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖q 下面分析上述帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的觀測(cè)誤差：下面分析上述帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的觀測(cè)誤差： 首先，定義狀態(tài)觀測(cè)誤差為首先，定義狀態(tài)觀測(cè)誤差為()()()AGxxxxxyy 另外，閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程又可記為另外，閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程又可記為()()()ABKABKBBK xxxxxxvv()()()AGCAGCxxxxx代入被控系統(tǒng)代入被控系統(tǒng)和狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)觀測(cè)器的輸出方程的輸出方程增加增加/減去減去 -BKx項(xiàng)項(xiàng)()ABKBKBxxv 則有則有xxx 因此，帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)

34、反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的因此，帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為狀態(tài)空間模型為000ABKBKBAGCC xxvxxxyxq 上述帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的特性上述帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的特性:1. 分離特性分離特性 Separation Property (Principle) 由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知， 整個(gè)閉環(huán)系整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊統(tǒng)的特征值由矩陣塊 A-BK 的特征值和矩陣塊的特征值和矩陣塊 A-GC 的的特征值所組成特征值所組成, 即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測(cè)器部分的特即由狀態(tài)反饋部分的特征值

35、和狀態(tài)觀測(cè)器部分的特征值所組成。征值所組成。 這兩部分的特征值可單獨(dú)設(shè)計(jì)這兩部分的特征值可單獨(dú)設(shè)計(jì)(配置配置)，互不影響，這種，互不影響，這種特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測(cè)器的特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測(cè)器的分離特性分離特性(原理原理)。 一般在工程上，為了保證有較好的控制精度、快速性和一般在工程上，為了保證有較好的控制精度、快速性和超調(diào)量等動(dòng)態(tài)指標(biāo)，狀態(tài)觀測(cè)器部分超調(diào)量等動(dòng)態(tài)指標(biāo)，狀態(tài)觀測(cè)器部分A-GC 的特征值的的特征值的實(shí)部應(yīng)遠(yuǎn)小于狀態(tài)反饋部分實(shí)部應(yīng)遠(yuǎn)小于狀態(tài)反饋部分 A-BK 的特征值的實(shí)部，即的特征值的實(shí)部，即更遠(yuǎn)離虛軸。更遠(yuǎn)離虛軸。2. 傳遞函數(shù)的不變性傳遞函數(shù)的不變性 由閉環(huán)系

36、統(tǒng)狀態(tài)空間模型，可得帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，可得帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣如下的傳遞函數(shù)陣如下:11,( )000()K GABKBKBGsCsIAGsIAKCCBB 因此，帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接因此，帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 即即狀態(tài)觀測(cè)器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣狀態(tài)觀測(cè)器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣, 也就是也就是不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性。3. 狀態(tài)觀測(cè)誤差不可控狀態(tài)觀測(cè)誤差不可控 由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知

37、，狀態(tài)觀測(cè)誤差由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測(cè)誤差 是是不可控的，即不能由外部輸入去影響它，即與不可控的，即不能由外部輸入去影響它，即與K無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。( )x t 只要矩陣只要矩陣A-GC的特征值具有負(fù)實(shí)部，則不管輸入的特征值具有負(fù)實(shí)部，則不管輸入信號(hào)如何，信號(hào)如何， 一定按一定按A-GC所確定的衰減速度衰所確定的衰減速度衰減至零。減至零。()()()()()()AGCGGACAxxxxxyyxxxxx( )x t 習(xí)題習(xí)題-1（掌握）（掌握）: 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) 其狀態(tài)不能直接測(cè)得，指定期望的閉環(huán)極點(diǎn)為其狀態(tài)不能直接測(cè)得，指定期望的閉環(huán)極點(diǎn)為-1+j，- 1-j，觀測(cè)器的

38、特征值為觀測(cè)器的特征值為 -2，-4，試設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)器，試設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)器狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋系統(tǒng)，并畫(huà)出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，計(jì)算整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳系統(tǒng)，并畫(huà)出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，計(jì)算整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 .01000110 xxuyx q 解解: : 1. 檢查控制系統(tǒng)的能控性和能觀性檢查控制系統(tǒng)的能控性和能觀性 所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控能觀的。從而存在矩陣所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控能觀的。從而存在矩陣K, G使使得系統(tǒng)及觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置。得系統(tǒng)及觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置。2. 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K 設(shè)設(shè)K k1, k2, 則引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為則引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)

39、式為由希望極點(diǎn)確定的特征多項(xiàng)式為由希望極點(diǎn)確定的特征多項(xiàng)式為: (s 1 j)(s 1 j) s2 2s 2從而得到從而得到: k1 2, k2 2, 即即K 2, 2。21001, 20110,rankCACrankrankABBrank1222121110)(kskskskskksIBKAsI 3. 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的輸出反饋矩陣設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的輸出反饋矩陣G狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為 (s 2)(s 4) s2 6s 8設(shè)設(shè)G g1, g2T，則狀態(tài)觀測(cè)器子系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為，則狀態(tài)觀測(cè)器子系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為比較可得比較可得: g1 6, g2 8, 即即G 6, 8

40、T。 4. 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如何如何? 由傳遞函數(shù)的不變性可得由傳遞函數(shù)的不變性可得GK,G(s)=1/(s2 2s 2)2122121101)(gsgssggsggsIGCAsI 習(xí)題習(xí)題-2（ P259，例，例10-3，掌握）掌握） : 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) 試設(shè)計(jì)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，是反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)試設(shè)計(jì)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，是反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在配置在-1+j，- 1-j，觀測(cè)器的特征值為，觀測(cè)器的特征值為 -5，-5 。 設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器，并使觀測(cè)器的極點(diǎn)為設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器，并使觀測(cè)器的極點(diǎn)為*15 *2,344j 解解: :

41、 系統(tǒng)完全可觀測(cè)的，可構(gòu)造任意配置特征值系統(tǒng)完全可觀測(cè)的，可構(gòu)造任意配置特征值 全維狀態(tài)觀測(cè)器。全維狀態(tài)觀測(cè)器。1)1)由由 , ,得得 ；32det()2TsIAsss123210aaa，例例3-2 ：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為uxx001110011000 xy1102) 2) 觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為 得得 *32122()()() (5)(44)(44)1372160sssssjsjsss *1231372160aaa，3)3)*123332211 160 71 11TGgggaaaaaa4)4)21211011121210()101

42、01210021100111100011TTTTTaaQC A CACa5)5)111110222024PQ6)6)1118022216071 110118020312001231TTGG PG ，得全維狀態(tài)觀測(cè)器得全維狀態(tài)觀測(cè)器000801801102001 102001131031080801801192()002003032031xuxAGC xBuyxuyGy 其模擬結(jié)構(gòu)圖如下所示其模擬結(jié)構(gòu)圖如下所示模擬結(jié)構(gòu)圖模擬結(jié)構(gòu)圖10.3.3 降維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)*Reduced-dimension state observerq 用上述方法設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器是用上述方法設(shè)

43、計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器是n階的，即階的，即n維狀態(tài)變量全部維狀態(tài)變量全部由觀測(cè)器獲得，所以該觀測(cè)器又可稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器。由觀測(cè)器獲得，所以該觀測(cè)器又可稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器。 由輸出方程可知，其實(shí)狀態(tài)變量的部分信息可直接由輸由輸出方程可知，其實(shí)狀態(tài)變量的部分信息可直接由輸出變量的測(cè)量值提供，如在特殊形式的下述輸出方程中出變量的測(cè)量值提供，如在特殊形式的下述輸出方程中120( )Iaxyx 狀態(tài)變量向量狀態(tài)變量向量 x2 即為輸出變量即為輸出變量 y, 故該系統(tǒng)只要對(duì)故該系統(tǒng)只要對(duì) x1設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器即可狀態(tài)觀測(cè)器即可, 對(duì)對(duì) x2 就沒(méi)有必要再設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器就沒(méi)有必要再設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。 因此因此,

44、所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)就少于狀態(tài)變量的所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)就少于狀態(tài)變量的維數(shù)維數(shù)n。 該類狀態(tài)觀測(cè)器稱為該類狀態(tài)觀測(cè)器稱為降維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器。q 由線性代數(shù)知識(shí)可知由線性代數(shù)知識(shí)可知, 任何輸出方程任何輸出方程, 只要輸出矩陣只要輸出矩陣 C 滿秩滿秩(行滿秩行滿秩), 總可以找到非奇異的線性變換將輸出方程變換成總可以找到非奇異的線性變換將輸出方程變換成(a) 所示的輸出方程。所示的輸出方程。 變換方法介紹如下變換方法介紹如下:120( )Iaxyx 首先，對(duì)任何輸出矩陣為滿秩的狀態(tài)空間模型，經(jīng)過(guò)首先，對(duì)任何輸出矩陣為滿秩的狀態(tài)空間模型，經(jīng)過(guò)對(duì)狀態(tài)變量的重新排列順序，都可變換

45、成如下形式的對(duì)狀態(tài)變量的重新排列順序，都可變換成如下形式的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型212121212221121121xxyuxxxxCCBBAAAA 其中矩陣其中矩陣 C2為為mm維的可逆方陣維的可逆方陣; 狀態(tài)變量向量狀態(tài)變量向量 x1和和 x2 分別為分別為 n-m 維和維和 m 維的。維的。 當(dāng)選取變換矩陣當(dāng)選取變換矩陣P為為121120CCCIP21112122211211210 xxyuxxxxIBBAAAAq 對(duì)狀態(tài)空間模型對(duì)狀態(tài)空間模型 ，狀態(tài)變量，狀態(tài)變量 即為輸出變量即為輸出變量y(t),因此只需對(duì)狀態(tài)變量因此只需對(duì)狀態(tài)變量 設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器即可。設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器即可。

46、1( ) t x2( ) t x 在求得狀態(tài)變量在求得狀態(tài)變量 的狀態(tài)估計(jì)值后的狀態(tài)估計(jì)值后，作上述線性變換，作上述線性變換的逆變換，則可求得原狀態(tài)變量的逆變換，則可求得原狀態(tài)變量 x(t) 的估計(jì)值。的估計(jì)值。1( ) t x 經(jīng)上述變換后，狀態(tài)變量經(jīng)上述變換后，狀態(tài)變量 所滿足的狀態(tài)方程為所滿足的狀態(tài)方程為1( ) t xuyxuxxx11211112121111BAABAAq 下面介紹下面介紹降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。( ,) A B C其中其中 z 是降維狀態(tài)觀測(cè)器的是降維狀態(tài)觀測(cè)器的n-m維狀態(tài)變量維狀態(tài)變量; 仿照前面介紹的全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，構(gòu)造狀

47、態(tài)仿照前面介紹的全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，構(gòu)造狀態(tài)變量變量 的全維狀態(tài)觀測(cè)器如下的全維狀態(tài)觀測(cè)器如下:1( ) t xyzxuyzzLHGF1 是該降維狀態(tài)觀測(cè)器的輸出變量，即變換后的系是該降維狀態(tài)觀測(cè)器的輸出變量，即變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)變量統(tǒng)的狀態(tài)變量 的估計(jì)值的估計(jì)值;1 ( ) tx1( ) t x矩陣矩陣 F, G, H 和和 L 為適宜維數(shù)的待定常數(shù)矩陣。為適宜維數(shù)的待定常數(shù)矩陣。q 降維狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖如圖降維狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖如圖3-4所示。所示。 B A C G y H F 線性線性變換變換P x 降維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器 x u + + + + + + - z L z1

48、xx 圖圖3-4 降維狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖降維狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖q 下面討論如何選取下面討論如何選取降維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器(b)的各矩陣，才能使得的各矩陣，才能使得 11lim0txx1( )LFGHLcxzyzyuyyxzL1 將上式及將上式及y= 代入式代入式(c), 可得可得2x 和和 由狀態(tài)觀測(cè)器方程由狀態(tài)觀測(cè)器方程(b)，有有22212211xuxxxxuxyxxLHGLFLHGLF1( )FGHbL zzyuxzy 將式將式(d)減去上式減去上式, 可得狀態(tài)估計(jì)誤差可得狀態(tài)估計(jì)誤差 所滿足的動(dòng)態(tài)所滿足的動(dòng)態(tài)方程方程11xx 將狀態(tài)空間模型中將狀態(tài)空間模型中 所滿足的狀態(tài)方程代入上式所滿足的狀態(tài)方程代入上式, 可得可得2x uxxxuxxuxxxx2222121122221212211BLHFLALGALFBAALHGLF11111122112