正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)

1、第四章 正態(tài)分布4.1 4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)數(shù)正態(tài)分布是最常見因而也是最重要的分布正態(tài)分布是最常見因而也是最重要的分布: :1. 很多隨機現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述或近似描述；2. 在一定條件下，某些概率分布可以利用正態(tài)分布近似計算；3. 在非常一般的充分條件下， 大量獨立隨機變量的和近似地服從正態(tài)分布；4. 數(shù)理統(tǒng)計中的某些常用分布是由正態(tài)分布推導得到的.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù) . ),(2NX記為記為的的概概率率密密度度為為若若連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 X)(xf ,e21222)(x , x,)0(,為常數(shù)為常數(shù)其中其中 的

2、的服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱X,正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. ,0)( xf顯顯然然.1d)( xxf下下面面來來證證明明,)(tx 令令得到得到 xexd21222)( ，tetd2122 ,d22teIt 記記2I uteutdd2)(22 則有則有利用極坐標將它化成累次積分利用極坐標將它化成累次積分, 得到得到 2I 2002dde2 rrr ，2,0 I而而,2故有故有I 即有即有 ttde22 ,2于是于是 xxde21222)( ttde2122 .1性質性質: .1對稱對稱曲線關于曲線關于 x,0 h這這表表明明對對于于任任意意有有 XhP .hXP 時取到最大值時取

3、到最大值當當 x2)( f .21 ;3處處曲曲線線有有拐拐點點在在 x;4軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x.)(的的圖圖形形如如圖圖所所示示xf,5 如果固定如果固定,的值的值改變改變 Ox則則圖圖形形沿沿著著軸平移軸平移, 而不改變其形狀而不改變其形狀, 可見正態(tài)分布的概率密可見正態(tài)分布的概率密 .)(所所確確定定的的位位置置完完全全由由參參數(shù)數(shù)度度曲曲線線 xfy 稱稱 為位置參數(shù)為位置參數(shù). ,6當固定當固定,的大小時的大小時改變改變 圖圖形形的的對對)(xf稱軸不變稱軸不變, 而形狀在改變而形狀在改變, ,越小越小圖形越高越瘦圖形越高越瘦, ,越大越大圖形越矮越胖圖形越矮越胖.

4、分分布布函函數(shù)數(shù)為為)(xF txutde21222)( ,0 當當.1服服從從標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布時時稱稱 X ,)(),(表表示示分分別別用用其其概概率率密密度度和和分分布布函函數(shù)數(shù)xx 即有即有 )(x ,e2122x )(x .de2122txt 標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布的圖形 證明證明 . )(1)(xx 證明證明 xxxde2122 )( x xxxde2122 xxde2122 ，xxxde2122 . )(1x 標準正態(tài)分布分布函數(shù)的性質標準正態(tài)分布分布函數(shù)的性質 ; 5 . 0)0( ; 1)( ).(1)(xx 例例11 設X服從標準正態(tài)分布, ) 1 ,0(N求

5、);96. 1() 1 (XP).5 . 26 . 1()2(XP解：解：)96. 1(XP)96. 1 (;975. 0)5 . 26 . 1(XP)6 . 1()5 . 2()6 . 1 (1 )5 . 2()6 . 1 (1)5 . 2(9452. 019938. 0.9390. 0) 1 ()2(正態(tài)分布概率的計算正態(tài)分布概率的計算 )(xFxXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是 初等函數(shù)初等函數(shù) txtde21222)( 方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算方法二方法二:轉化為標準正態(tài)分布查表計算轉化為標準正態(tài)分布查表計算定理定理 , ),(2 NX若若Z證證 的的分分布

6、布函函數(shù)數(shù)為為 XZxZP X . )1 , 0( N xXP xXP ，txtde21222)( ,ut 令令得得 則則 xZP uxude2122 )(x由此知由此知 XZ. )1 , 0( N, ,(21xx則對于任意區(qū)間則對于任意區(qū)間有有 21xXxP 21xXxP .12 xx 定理定理 , ),(2 NX設設例例2 設隨機變量X服從正態(tài)分布, )2 ,1 (2N求概率).4 . 26 . 1(XP解：解：)4 . 26 . 1(XP)216 . 1()214 . 2()3 . 1()7 . 0()3 . 1 (1 )7 . 0()9032. 01 (7580. 0. 2166. 0

7、?01. 0,)2(165)1()cm:()6,170(2車門頂碰頭的幾率小于車門頂碰頭的幾率小于使男子與使男子與車門的高度車門的高度問應如何設計公共汽車問應如何設計公共汽車的比例；的比例；求成年男子身高大于求成年男子身高大于單位單位高高設某城市成年男子的身設某城市成年男子的身cmNX例例3 61701656170165XPXP)83. 0( .7967. 0 解（解（1）)83. 0(1 , )6 ,170()2(2NX由題設知由題設知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l ,01. 0 .99. 0)6170( l 即即,33. 26170 l查表得查表得. )cm(9

8、8.183 l故故 例例4 設隨機變量X服從正態(tài)分布, ),(2N在區(qū)間),(kk內的概率，這里.,3 ,2 ,1k解：解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)(1 )(kk, 1)(2k.,3 ,2 ,1k求X落查附表2得)(XP1) 1 (2,6826. 0)2(XP1)2(2,9544. 0)3(XP1)3(2.9973. 0說明：若, ),(2NX則)3(XP)3(1XP9973. 010027. 0.003. 0由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3， 根據(jù)小概率事件的實際不可能性原理， 通常把區(qū)間這一原理叫做“三倍標準差原理三倍標準差原理”).3(法則或可能的取值)3,3(看作是隨機變量X的實際區(qū)間.1.正態(tài)分布),(2N的概率密度：,e21)(222)(xxf.x2.標準正態(tài)分布) 1 ,0(N的概率密度與分布函數(shù)：)(x,e2122x.x小小 結結.e21)(22dtxxt 若隨機變量, ),2(2NX且