第一部分多項式矩陣理論

1、2022年年7月月4日日電氣與信息工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院 控制科學(xué)與工程系控制科學(xué)與工程系主要參考書： 1）線性系統(tǒng)理論鄭大鐘 清華大學(xué)出版社 2）線性控制系統(tǒng)陳際達 中南大學(xué)出版社 3）線性系統(tǒng)T. Kailath 科學(xué)出版社主講：劉國才教授、博士生導(dǎo)師，1、多項式矩陣、多項式矩陣2、初等變換和初等矩陣、初等變換和初等矩陣3、單模陣、單模陣4、既約性、既約性5、互質(zhì)性、互質(zhì)性第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論定義：定義：以多項式為元構(gòu)成的矩陣稱為多項式矩陣。以多項式為元構(gòu)成的矩陣稱為多項式矩陣。引例：引例：第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論2111212355

2、6851231512G ()()()ssssXxuYxsCs IABGs線 性 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 空 間 表 達 式 ：根 據(jù)可 知系 統(tǒng) 傳 遞 函 數(shù) 為 ：其中其中X=Ax+Bu，Y=Cx 多項式矩陣的奇異和非奇異性的定義和實數(shù)多項式矩陣的奇異和非奇異性的定義和實數(shù)矩陣相同。矩陣相同。 需注意的是，多項式矩陣的秩，多項式向量需注意的是，多項式矩陣的秩，多項式向量的線性無關(guān)性必需在有理分式域中定義。的線性無關(guān)性必需在有理分式域中定義。 例：例： 顯然其行列式顯然其行列式DetQ(s)=0，但在實數(shù)域內(nèi)其列，但在實數(shù)域內(nèi)其列向量不相關(guān)向量不相關(guān)。 矩陣秩的一個重要性質(zhì)：矩陣秩的一個重要性質(zhì)：2

3、213( )3256ssQsssss)(),(min()()(BrArsBsrankA第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論EI初等矩陣單位矩陣初等變換矩陣矩陣A的行初等變換相當于左乘相應(yīng)的初等矩陣的行初等變換相當于左乘相應(yīng)的初等矩陣E矩陣矩陣A的列初等變換相當于右乘相應(yīng)的初等矩陣的列初等變換相當于右乘相應(yīng)的初等矩陣E第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論4321)(sssssQ單模矩陣定義：單模矩陣定義：稱方陣稱方陣Q(s)為單模陣，當且僅當其行列式為單模陣，當且僅當其行列式detQ(s)=c為獨立于為獨立于s的非零常數(shù)。的非零常數(shù)。 例例1：非奇異的常數(shù)矩陣非奇異的常數(shù)

4、矩陣 例例2：通過計算，可以得到：通過計算，可以得到：據(jù)定義可知，據(jù)定義可知，Q(s)為單模陣。為單模陣。2) 3)(2() 4)(1()(detsssssQ第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論單模陣的特性單模陣的特性|單模陣單模陣M(s)可逆且其可逆矩陣還是單模陣可逆且其可逆矩陣還是單模陣|單模陣的乘積仍為單模陣單模陣的乘積仍為單模陣|單模陣可以分解為一系列初等矩陣的乘積，反之亦然。因單模陣可以分解為一系列初等矩陣的乘積，反之亦然。因此，一系列初等變換等價于一個單模變換。此，一系列初等變換等價于一個單模變換。(1)多項式矩陣的奇異性、非奇異性和單模性存在如下對應(yīng)關(guān)多項式矩陣的奇異

5、性、非奇異性和單模性存在如下對應(yīng)關(guān)系：系：0)det(,)(0)(det,)(0)(dets)(sssQsQssQsQsQ成立對所有單模成立對幾乎所有非奇異，成立不存在一個奇異第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論多項式向量的次數(shù)多項式向量的次數(shù) 對列或行多項式向量:其次數(shù)定義為其元多項式次數(shù)的最大值，即)()()(1sasasaq, 2 , 1),(maxdeg)()(qisasasai的次數(shù)第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論列既約性的定義：列既約性的定義：給定給定方非奇異多項式矩陣方非奇異多項式矩陣M(s) ci M(s)為其相應(yīng)的列次數(shù)，為其相應(yīng)的列次數(shù)，i=1，

6、2，p。稱稱M(s)為列既約的，當且僅當：為列既約的，當且僅當：其行列式的次數(shù)等于其所有列次數(shù)的和，即其行列式的次數(shù)等于其所有列次數(shù)的和，即picisMsM1)()(detdeg第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論列次表達式：列次表達式：對于多項式矩陣M(s)， 其列次數(shù)記為：pjkscjMcj, 2 , 1)(,111111(),()1ccnpc pc pkkccppkkpc jjsssSsssssnk其 中( )( )( )h cclcch clcMsMSsMsMM其 中 ,和為 常 數(shù) 系 數(shù) 矩 陣 則可將則可將M(s)表達為其列次表達式：表達為其列次表達式：第一部分：多項

7、式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論( )( )( )h cclcch clcMsMSsMsMM其 中 ,和為 常 數(shù) 系 數(shù) 矩 陣引言引言MIMOs多變量線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣可表達為多變量線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣可表達為如下如下“分式分式”形式：形式：)()()()()(sDsNgsGqpcij其中N(s)和D(s)的最大公因子為單模陣，即N和D互質(zhì)。互質(zhì)性可分為右互質(zhì)性和左互質(zhì)性。右互質(zhì)多項式矩陣D(s)和N(s)列數(shù)相同。左互質(zhì)多項式矩陣DL(s)和NL(s)行數(shù)相同。第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論互質(zhì)性是對兩個多項式矩陣間的

8、不可簡約屬性的表征。公因子和最大公因子公因子和最大公因子 右公因子：右公因子：稱多項式矩陣稱多項式矩陣R(s)為列數(shù)相同的兩個多項式為列數(shù)相同的兩個多項式矩陣矩陣D(S)和和N(s)的一個右公因子，如果存在多項式矩陣：的一個右公因子，如果存在多項式矩陣：( )N( ),D( )( ) ( ),( )( ) ( )D sssD s R s N sN s R s和使得：左公因子有類似定義。左公因子有類似定義。左公因子和線性系統(tǒng)能觀性有關(guān)，左公因子和線性系統(tǒng)能觀性有關(guān)，右公因子和線性系統(tǒng)能控性有關(guān)。右公因子和線性系統(tǒng)能控性有關(guān)。第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論| )()()(sRsW

9、sR第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論最大公因子最大公因子gcrd的構(gòu)造定理的構(gòu)造定理 對列數(shù)相同的兩個多項式矩陣對列數(shù)相同的兩個多項式矩陣D(s)和和N(s), 如果可以找到如果可以找到 一單模陣一單模陣U(s), 使得：使得： 則導(dǎo)出的多項式矩陣則導(dǎo)出的多項式矩陣R(s)為為D(s)和和N(s)的一個最大的一個最大右公因子。且滿足如下右公因子。且滿足如下貝左特等式：貝左特等式：R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)11122122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0U sU sDsDsR sU sU sU sN sN s 第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論| 第一部分：多項式矩陣理論第一部分：多項式矩陣理論右互質(zhì)定義右互質(zhì)定義如果列數(shù)相同的兩個多項式矩陣如果列數(shù)相同的兩個多項式矩陣D(s)和和N(s)的最的最大右公因子大右公因子R(s)為一個單模陣，則稱為一個單模陣，則稱D(s)和和N(s)右互質(zhì)。右互質(zhì)。右互質(zhì)的